第8章矩阵分式描述

内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述是复频率域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。采用矩阵分式描述和基于多项式矩阵理论使有可能对线性时不变系统的复频率域分析和综合建立简便和实用的理论和方法。矩阵分式描述(matrix-fractiondescription，MFD)实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表为两个多项式矩阵之“比”。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝本章主要内容☑右MFD和左MFD☑MFD的特性8.1矩阵分式描述8.2矩阵分式描述的真性和严真性8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述8.4不可简约矩阵分式描述8.5规范矩阵分式描述☑不可简约MFD☑不可简约MFD的基本特性内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝给定有理分式矩阵，存在和多项式阵和，使成立，则称为的一个右。8.1矩阵分式描述一、定义1.右MFDqp()Gsppqp()Ds()Ns1()()()GsNsDs1()()NsDs()GsMFD2.左MFD给定有理分式矩阵，存在和多项式阵和，使成立，则称为的一个左。qp()Gsqqqp()LDs()LNs1()()()LLGsDsNs1()()LLDsNs()GsMFD内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.1矩阵分式描述二、MFD的求取1.右MFD①找出G(s)各列的最小公分母②写出G(s)的右MFD222221(2)(3)(3)()(1)(3)(3)sssssGsssss221()(2)(3)cdsss22()(3)cdss122221(2)(3)()(1)(2)(3)ssssGsssss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.1矩阵分式描述2.左MFD①找出G(s)各行的最小公分母②写出G(s)的左MFD222221(2)(3)(3)()(1)(3)(3)sssssGsssss221()(2)(3)rdsss22()(3)rdss12222(2)(3)1(2)()(3)(1)sssssGssss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.1矩阵分式描述三、MFD的特性1.MFD的次数11()()()()()LLGsNsDsDsNs=degdet()MFDDs右的次数=degdet()LMFDDs左的次数2.MFD的不惟一性不惟一不惟一(),()NsDsdegdet()Ds12222222221222(1)(2)(2)(1)(2)()(1)(2)(2)(2)00(1)(2)(2)2sssssssssGssssssssssssssss内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.1矩阵分式描述3.右MFD扩展构造对传递函数矩阵，设为的一个右，为任一非奇异多项式矩阵，且，则也为的一个右，且。qp()Gs()Ws()Gs()()()NsNsWs1()()NsDs()GsMFDpp()()()DsDsWs1()()NsDsMFDdegdet()degdet()DsDs证明：1111()()()()()()()()()NsDsNsWsWsDsNsDsGs由()()()DsDsWsdegdet()degdet()degdet()DsDsWsdegdet()degdet()DsDs当W(s)为单模阵，等号成立。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.1矩阵分式描述4.最小阶MFD（不可简约MFD）1()()degdet()NsDsMFDDs为最小阶右最小内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.2矩阵分式描述的真性和严真性1.MFD的真性一、基本概念中的元素满足，称为真，为真。()Gs()()ijijnsdsdeg()deg()ijijnsds()GsMFD2.MFD的严真性中的元素满足，称为严真，为严真。()Gs()()ijijnsdsdeg()deg()ijijnsds()GsMFD3.另一种定义形式0lim()sGsGlim()0sGs（非零常阵）G(s)为真G(s)为严真内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.2矩阵分式描述的真性和严真性二、判据1.为的右，为列既约，则为真的充要条件是，为严格真的充要条件是。()Gs()Gs()Ds1()()NsDsMFD()()cjcjNsDs()()cjcjNsDs()Gs证明：只限证明真性，严真性可类似证明。必要性：已知为真，欲证1()()NsDs()()cjcjNsDs由1()()()GsNsDs()()()NsGsDs表的元为()Ns()ijns的元为()Ds()ijds的元为()Gs()ijgs111()()()()()()()jpijiipikkjkpjdsnsgsgsgsdsds内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.2矩阵分式描述的真性和严真性111()()()()()()()jpijiipikkjkpjdsnsgsgsgsdsds为真有理分式，分子次数必小于或等于分母次数。()ikgsdeg()maxdeg()ijkjnsds等价地，可以导出()()cjcjNsDs充分性：已知，欲证为真。1()()NsDs()()cjcjNsDs利用列次表达式表示D(s)和N(s),1()()()[()()]()hccCLhcCLccDsDSsDsDDsSsSs1()()()[()()]()hccCLhcCLccNsNSsNsNNsSsSs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.2矩阵分式描述的真性和严真性1()()()[()()]()hccCLhcCLccDsDSsDsDDsSsSs1()()()[()()]()hccCLhcCLccNsNSsNsNNsSsSs11111()()()[()()]()()[()()]hcCLccchcCLcGsNsDsNNsSsSsSsDDsSs()()cjCLcjcNsSs1lim()()0CLcsNsSs()()cjCLcjcDsSs1lim()()0CLcsDsSsD(s)为列既约，即存在。1()hcDs1lim()hchcsGsND()()cjcjNsDs由已知hcN为非零常阵1lim()hchcsGsND常数矩阵，即为真。1()()NsDs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.2矩阵分式描述的真性和严真性222214()7374261ssNsssssss例：322021()242sssDssssD(s)为列既约11()2()2ccNsDs22()2()3ccNsDs为真1()()NsDs2.为的一个右，为非列既约，引入单模阵，使为列既约，，则为真的充要条件是，为严格真的充要条件是。()Gs()Ds1()()NsDsMFD()()cjcjNsDs()()cjcjNsDs()Ws()()()DsDsWs()()()NsNsWs1()()NsDs1()()NsDs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述1()()()GsNsDs为非真1()()()()()spGsNsDsQsGs()spGs为严真部分为多项式()Qs()()()()()()()()spNsQsDsGsDsQsDsRs()()()()RsNsQsDs为多项式且为严真1()()RsDsMFD22()(1)(2)(2)Nssss例：(2)(1)1()21sssDsss为非真1()()NsDsMFD解：内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述22()(1)(2)(2)Nssss(2)(1)1()21sssDsss322122475265()()()4553(26)()()spsssssGsNsDsssssssQsGssss2(2)(1)1455()()()4812spssssRsGsDsssssss11(2)(1)1()()4812sssRsDssss严真为MFD内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.4不可简约矩阵分式描述一、定义称的一个右为不可简约，当且仅当和为右互质。()Gs1()()MFDNsDs()Ns()Ds1()()LLMFDDsNs称的一个左为不可简约，当且仅当和为左互质。()Gs()LNs()LDs二、基本特性1.不可简约MFD的不惟一性对传递函数矩阵，其右不可简约和左不可简约均为不惟一。()GsMFDqpMFD2.两个不可简约MFD间的关系设和为传递函数矩阵的任意两个右不可简约，则存在单模阵使成立：()GsMFD()Us111()()NsDs122()()NsDsqppp12()()()DsDsUs12()()()NsNsUs内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.4不可简约矩阵分式描述12()()()DsDsUs12()()()NsNsUs证明：（1）构造矩阵U(s)111122()()()()NsDsNsDs由11221()()()()NsNsDsDs取121()()()UsDsDs有12()()()NsNsUs112212()()()()()()DsDsDsDsDsUs且由D(s)非奇异知U(s)非奇异。（2）证明U(s)为多项式矩阵由和右互质，存在多项式矩阵和，使成立：2()Ds2()Ns()Xs()Ys22()()()()XsDsYsNsI由121()()()DsDsUs121()()()NsNsUs有1111()()()()()()XsDsUsYsNsUsI11()()()()()UsXsDsYsNs为多项式矩阵。内蒙古工业大学电力学院自动化系第8章传递函数矩阵的矩阵分式描述☝8.4不可简约矩阵分式描述（3）证明U(s)为单模阵由和右互质，存在多项式矩阵和，使成立：1()Ds1()Ns()Xs()Ys11()()()()XsDsYsNsI由有22()()()()()()XsDsUsYsNsUsI122()()()()()UsXsDsYsNs为多项式矩阵。12()()()DsDsUs12()()()NsNsUs故：U(s)为单模阵3.不可简约MFD的广义惟一性若为传递函数矩阵的右不可简约，且取，为任一单模阵，则也为的右不可简约。()GsMFD()Us()()()DsDsUs1()()NsDsqp()()()NsN