第8章等截面直杆的扭转

第一节扭转问题中应力及位移第二节扭转问题中的薄膜比拟第三节矩形截面杆的扭转第四节薄壁杆的扭转第五节椭圆杆的扭转§8-1扭转问题中应力及位移1.应力函数及应力分量设有等截面直杆，体力可以不计，在两端平面内受有转向相反的两个力偶，取杆的上端平面为xoy面，z轴铅直向下。（8-1）代入平衡微分方程，且，得：图8-1按应力求解，采用半逆解法求解，按材料力学解答，假设：除了横截面上的切应力以外，其它的应力分量都等于零，即0xyzyx0zyxfff0zzx0zzy0yxyzxz，，（a）由前两式可知，及只是x、y的函数，不随z变化。第三式可写为：zxzx)()(yzxzyx根据全微分理论，一定存在一个函数，使得),(yxyxzxyz，此处的为扭转问题中的应力函数。由此得用应力函数表示的应力分量：),(yxyxzxzxzyyz，（8-2）将（8-1）代入相容方程（7-13），可见其中的前三式及最后一式总能满足，而其余两式成为：02yz02zx，将（8-2）代入，得：02x02y，C2（8-3）考虑边界条件，在杆侧面，，面力，可见应力边界条件（6-5）式中的前两式总能满足，第三式成为：0n0zyxfff0)()(syzsxzml将（8-2）式代入，有0)()(ssxmyl由于在边界上，，（见差分法）dsdyldsdxm0)()(dsddsdxxdsdyyss说明在杆的侧面，应力函数所取的边界值应是常量（单连体，加减常数不影响应力分量），为简便，即取为零s0s（8-4）在杆的任一端（如上端z=0），，，应力边界条件（6-5）的第三式总能满足，而前两式成为：0ml1nxzzxf0)(yzzyf0)(，由于面力不知道，无法精确满足，应用圣维南原理，改为用主矢、主矩来代替，即：（b）0)(0AxAzzxdxdyfdxdy0)(0AyAzzydxdyfdxdy（c）（d）MdxdyfxfydxdyxyAyxAzzyzx)()(0（e）由（8-2）可知，式（c）左边为：sABAAzxdxdyydxdxdyydxdy)(由于=0，可见式（c）能满足。)(AB同理，可知式（d）也能够满足。而式（e）左边也可写成为：dxxxdydyyydxdxdyxxyydxdyxyAAzyzx)()(AAABBdxdydyyydxdyyydx)(同理：Adxdydxxxdy于是，（e）式为：MdxdyA2（8-5）总结：为求应力，需求出应力函数，使其满足方程（8-3）至（8-5），然后由式（8-2）求出应力分量。2.位移分量将应力分量（8-1）及（8-2）代入物理方程（6-12），得：0x0y0zxGyz1yGzx10xy，，，，，再代入几何方程（6-8）式，得：0,11,0,0,0yuxvyGxwzuxGzvywzwyvxu（f）通过积分运算，由以上的第一、二及六式求得：Kyzyzuuzy0Kxzzxvvxz0，其中的积分常数也代表刚体位移，若不计刚体位移，只保留与形变有关的位移，则：KyzuKxzv，（8-6）若用圆柱坐标表示，就是：，。0uzKu可见，每个横截面在坐标面上的投影不改变，而只是转动一个角度。由此可见，杆在单位长度内的扭转角是。xyKzKdzd将（8-6）代入（f）式的第五、四两式，得：KyyGxw1KxxGyw1，（8-7）可以用来求位移分量w。将上列两式分别对y和x求导，然后相减，移项，得GK22则方程（8-3）中的常数C是有物理意义的，可表示为：GKC2（8-8）（8-9）§8-2扭转问题中的薄膜比拟xyzTF薄膜在受均布压力下的垂度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。用薄膜来比拟扭杆，有助于寻求扭转问题的解答，称为薄膜比拟。设有一块均匀薄膜，张在一个水平边界上，水平边界形状与某一扭杆的横截面边界形状相同。当薄膜承受微小的气体压力时，薄膜各点将发生微小的垂度。设边界所在的水平面为面xy，薄膜的垂度为z。薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，只承受均匀的拉力FT。。图8-2从薄膜中取微小单元abcd，它在xy面上的投影是一个矩形，边长为dx和dy。在ab边界上的拉力是FTdy（FT是单位宽度上的拉力），它在z轴上的投影是；在cd边上的拉力也是FTdy，在z轴上的投影是。在ad边界上的拉力是FTdx，它在z轴上的投影是；在bc边上的拉力也是FTdx，在z轴上的投影是。单元abcd受到的压力是qdxdy，由，得xzdyFT)(dxxzzxdyFTyzdxFT)(dyyzzydxFT0zF0)()(qdxdydyyzzydxFyzdxFdxxzzxdyFxzdyFTTTT简化后，得0)(2222qyzxzFTTFqz2（8-10）此外，薄膜在边界上的垂度为零，即：0sz（8-11）将薄膜垂度z的微分方程（8-10）式与扭杆应力函数的微分方程（8-8）式对比，并将（8-11）式与（8-4）式对比，可见，如果使薄膜的相当于扭杆的2GK，薄膜的垂度z就相当于扭杆应力函数。TFq由于扭矩，而薄膜与边界平面（xy面）之间的体积的两倍是：AdxdyM2AzdxdyV22可见，为了使得薄膜垂度z相当于扭杆应力函数，也可以使薄膜与边界平面之间的体积的两倍相当于扭矩。在扭杆的横截面上，沿x方向上的切应力为，另一方面，薄膜沿y方向的斜率为。yzxyziy可见，扭杆横截面上沿x方向上的切应力相当于薄膜沿y方向的斜率。由于x轴和y轴可以取在任意两个垂直的方向上。故可知：在扭杆横截面上某一点的沿任一方向的切应力，就等于薄膜在对应点的，沿垂直方向的斜率。§8-3矩形截面杆的扭转横截面为矩形，边长为a和b，如图8-3。图8-31.狭长矩形截面杆即ab，则由薄膜比拟可以推断，应力函数在绝大部分横截面上几乎与x无关，因为对应的薄膜几乎不受短边约束的影响，近似于柱面。于是可以假设为0xdydy，而式（8-3）成为：Cdyd22积分，并注意有：边界条件，可得：0)(2by)4(222byC（a）为求常数C，将（a）式代入（8-5）式，得：MdxdybyCaabb222222)4(22积分，有，，得：MCab6336abMC（b）代入（a）式，得：)4(3223ybabM（c）将（c）式代入（8-2）式，得应力分量：yabMyxz360xzy，（8-12）由薄膜比拟可知，最大切应力发生在矩形截面的长边上，例如A点（），其大小为：2by22max3)(abMbyzx将（b）式代入（8-9）式，得扭角：GabMGCK332（8-13）（8-14）2.任意矩形截面杆横截面边长比a/b为任意数值，经进一步的分析可见式（8-12）和式（8-14）须修正为：12maxabMGabMK3（8-15）（8-16）（具体推导见徐芝伦：《弹性力学》，P247～249）其中因子和1只与比值a/b有关，具体数值见有关参考书中表格。对于很狭的矩形截面扭杆（a/b很大），和1趋于，则式（8-15）和式（8-16）分别简化为式（8-13）和式（8-14）。§8-4薄壁杆的扭转工程中通常使用的薄壁杆，它们的横截面大都是等宽度的狭矩形组成的。这些狭矩形可能是直的或是曲的。1.开口薄壁杆的扭转由薄膜比拟可以想见，如果一个直的狭矩形和另一个曲的狭矩形具有相同的长度a和宽度b，则当张在这两个狭矩形边界上的薄膜具有相同的张力FT并受有相同的压力q时，两个薄膜和各自的边界平面之间的体积、以及两个薄膜的斜率都将没有多大差别。推断：如果有两个狭矩形截面的扭杆，它们的扭角K相同，剪切弹性模量G也相同（因而它们的2GK相同），则两个扭杆的扭矩M及切应力也就没有多大差别。因此，一个曲的狭长矩形截面，可以用一个同宽度同长度的直的狭矩形截面来代替，而不致引起多大的误差。用ai、bi表示i个狭矩形的长和宽，Mi代表该矩形截面受到的扭矩（整个截面上扭矩的一部分）。i代表该矩形长边中点附近的切应力，K代表该扭杆的扭角，则有：23iiiibaMGbaMKiii3333iiibGKaM扭杆在整个横截面上的扭矩为：33iiibaGKMM（a）（b）（c）（d）由（c）式和（d）式消去K得：，代入（a）式和（b）式，得：MbabaMiiiii3333iiiibaMb33iibaGMK（8-17）（8-18）这些公式是近似的，因为我们应用了狭矩形的近似公式，而没有考虑圆角的影响和两狭矩形连接处的局部影响。2.闭口薄壁杆的扭转用薄膜比拟法分析，薄膜的外边界AB处的垂度取为零（），令内边界CD处的垂度为h，（为了薄膜在内边界处的垂度为常量，可以假想CD是一块不变形的无重平板）。由于杆壁的厚度d很小，薄膜的斜率沿厚度方向的变化可以不计，则在薄壁厚度为d处，切应力的大小（等于薄膜的斜率）是：01shs2)tan(sindh（e）扭矩M应当等于体积ABDC的两倍，即AhM2（f）由（e）式和（f）式消去h得：dAM2（8-19）可见最大切应力发生在杆壁最薄处。为确定扭矩K，考虑平板CD的平衡，在杆壁中线的微小长度ds上，薄膜对平板所施的拉力是TTds，这个拉力在z轴上的投影是FTdssina，可近似取为FTdstan，即FTdsh/d，平板受到的压力是qA，可以由平衡条件，得：0zFqAhdsFTd（FT，h为常数）TFqdsAhd由（f）得，，代入上式，而q/FT即为2GK，故有：AMh2GKdsAM222dddsGAMK24（8-20）对于均匀厚度的闭口薄壁杆，d是常量，上式简化为：dGAMsK24（8-21）其中s是薄壁中线的全长。注意：在截面有凹角处的局部最大切应力max可能远大于公式（8-19）给出的值，max/比值/d的关系见有关参考文献。§8-5椭圆截面杆的扭转1.应力分量等截面直杆，横截面为椭圆，半轴分别为a和b，椭圆的方程为：图8-4012222byax（a）而应力函数在横截面的边界上应等于零，所以假设：)1(2222byaxm（b）m是常数，考察是否满足一切条件。将（b）式代入微分方程（8-3）式，得：Cbmam2222CbababaCm)(222222222可以满足基本微分方程（8-3）式，而式（b）应取为)1()(222222222byaxCbaba由式（8-5）来求常数C，将（c）式代入（8-5）式，有：（c）MdxdydxdyybdxdyxaCbabaAAA)11()(22222222（d）式中A为椭圆截面面积。由材力可知：432baIdxdyxyA432abIdxdyyxAabdxdyA；；代入（d）式得：3322)(2baMbaC代入（c）式得：)1(2222byaxabM（f）（e）这个应力函数满足了一切所有条件。应力分量由式（8-2）知：yabMz