第8章级数

12/19/2019111111123nnn级数-1211(0)nnnaqaaqaqaqa级数021nnxxx1(11)1xx231(1),(ln(1,1]2)31nnxxxxxnx收敛发散12/19/20192无穷级数从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用.本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数—幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题.12/19/201938.1常数项级数的概念与性质8.2正项级数敛散性的判别第八章无穷级数8.3任意项级数敛散性的判别8.4幂级数8.5函数的幂级数展开12/19/20194§8.1常数项级数的概念与性质1.级数的基本概念2.级数的重要性质12/19/201951.级数的基本概念()称为级数的或通项一般项。1nu数列的各项依次相加所定义得的表达式121nnnuuuu＋＋＋＝nuuu12().,,,,数项级数称为或简无穷级数级数称等依nnu次称为级数的第一项，第二项，，第项，，其中又12(221,,)nnSuuun＋定＋义1nnun称为级数的前项部分和。部分和数列,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus12/19/201961nnu则称级数发散。3nnS若级数的部分和数列定收敛，即当义时存在nnnnuSSS1lim极限，则称级数，并称极限值收敛为该级limnnnSS若级数的部分和数列，即发散不存在，nnuS1数的和，记为。当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然1nnnuS常数项级数与其部分和数列具有相同的敛散性。12/19/20197-12111()0nnnaqaaqaqaqa讨论级数例的敛散性。aq该级数称为（或)等比级数几何级数首，称为，称项为公比.解1)若12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q,0limnnq由于从而limnnaSq1因此级数收敛,;aq1,1时当q,limnnq由于从而,limnnS则部分和因此级数发散.其和为1,q12/19/201982)若,1q,1时当qanSn因此级数发散;,1时当qaaaaan1)1(因此nSn为奇数n为偶数从而nnSlim综合1)、2)可知,1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.则,级数成为,a,0不存在,因此级数发散.-12111()0nnnaqaaqaqaqa讨论级数例的敛散性。12/19/2019911ln(1)2nn讨论级数的敛散性。例解lnn11lnnn1ln()lnnn1ln()nnkSn111[lnln]21[lnln]32[ln()ln]nn1[lnln]43ln()n1lim,nnS故原级数发散1(2)(1)nnn判别下列级数的敛散性，并求收敛级练习1数的和。11(1);(1)nnn12/19/2019101(2)(1)nnn判别下列级数的敛散性，并求收敛级练习1数的和。11(1);(1)nnn()()1111nnn1111nnn解112nS111n1(n）所以级数收敛,其和为1.11231134111nn(2)21nS11n(n）所以级数发散32431nn12/19/201911111113123nnn讨论级数的例敛散性.yxxnnnnnnnln,[,1],11ln(1)ln,1由拉格朗日中值定理，nSn111123ln2ln1nln1)（lim,nnS故原级数发散解ln3ln2ln4ln3ln(1)lnnn12/19/201912p该级数称为。它是级数的特调和级数殊形式。1(0)101pppnppn=1级数称为，当时，收敛级数当时发散。111113123nnn讨论级数的例敛散性.12/19/20191311,nnu（级数收敛的）若定理必要条数件级收敛则lim0nnu该命题的逆否命题如注1何叙述？1lim0nnnnuu若（包括这个极限不存在),则级数必发散。1lim0nnnnuu即使，级数也未注2必收敛。例如发散-1nnnuSS利用012/19/201914111+nnnnnnnAuAuBvBv11nnnnuv（收敛级数的线性运算性质）若级数与性质1都1+nnnABAuBv收敛，与是两常数，则级数必收敛，且111+nnnnnnnuvAuBv若级数注1收敛，发散，则级数必发散。例如:,)1(2nnu取,)1(12nnv反证法2.级数的重要性质111+nnnnnnnuvAuBv注2级数与都发散是发散的。12/19/201915121111(1)2,5,4nnnnnnnuuu已知求例.112341(1)++2nnnuuuuu解nnuuuuu2113571++++=5uuuu24685-23nnuuuuuu12345153812/19/2019163从级数中任意去掉有限项，或添加有限项，或改变有限项，都不影响级性质数的敛散性.相比原级数新级数是有的和注变化的。11111,22,nnnnnnnnnnuvuvnuv若级数与都收敛，且性质则12/19/2019171,4nnu（收敛级数的顺项可括性质）若级数则不改变级数各项的顺序所得的任何新级数仍收敛，且级收敛加括数的性号质和不变.32313212111(++)(+)=nnnnnnnnnuuuuuu－nnu1若级数收敛，则将其相继两项或相继三项加括号所得nnnnnnnuuuuu2123231311(+)(++)－的级数与都收敛，且若某级数有一个顺项加括号所注1得的级逆否命题：数发散，则该级数必发散。某级数有一个顺项括号所得的级数收敛，原级数注2未必收敛。,0)11()11(发散.例如12/19/201918nnuS,1收敛于则nnuSu111收敛于，nnuSuu2121收敛于121122()()nnnnuuuSSuSuuSu1收敛于12,()______2nnnnnnuSuuu11若级数收敛于则收敛于练习.Su212/19/201919判定下列说法是否正确，并说明理由练习或举例。=1{}nnnuu（1）数列和级数同时收敛或同时发散；=1=1nnnnkkuu（2）设为常数，如果级数收敛，则级数收敛；=1=1=1()nnnnnnnuvuv（3）如果级数收敛，级数发散，则级数一定发散；=1=1=1()nnnnnnnuvuv（4）如果级数和级数都发散，那么级数可能收敛；√√212=1=1=15nnnnnnuuu（）如果级数和级数都收敛，那么级数收敛212=1=1()nnnnnuuu（6）如果级数收敛，则级数收敛。√0k12/19/201920小结一、级数的概念与性质无穷级数部分和二、级数收敛与发散级数与部分和具有相同的敛散性nnu=1nnSuuuu12312/19/201921三、性质性质1级数收敛的必要条件nnu=1收敛nnulim=0nnu=1发散nnulim0逆否命题判断级数发散性质2nnus=1=nnkuks=1=nnus=1,=nnnuvst=1()=nnvt=1=性质3nnu=1收敛nnkuk1(1)收敛性质4收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和推论如果加括号后所成的级数发散，则原级数发散12/19/201922敛散性判别1.2.3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun1nnu1q时,等比级数收敛;1q时,等比级数发散.1nnu收敛发散1nnu发散设收敛级数则必有1.2.3.12/19/201924§8.2正项级数敛散性的判别正项级数常数项级数任意项级数12/19/201925123nSSSS1(011,2,).nnnnuu若，则称级数为定义正项级数10(1,2,)nnnnunuS因，从而正项级数的部分和数列单调非减，即1(){}11,2,nnnnuMSMSMn正项级数收敛的充分必要条件时：存在常数，使得级数的部分和以正项级数收为上界，即（定敛的充分要条件理必）1{}nnnuS正项级数收敛部分和有界1.正项级数收敛性12/19/201926111111(1,22,)nnnnnnnnnnnnnnuvnuuvvuv设和都是正项级数，且，则当时,必收敛，定理（比较判别法）收敛发散当时,必发散。pnpn121讨论级数称为－级数，讨论例其敛散性。101pp当时，当收敛时发散.12/19/201927pnpn121讨论级数称为－级数，讨论例其敛散性。解,1p因为当,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111)1(111ppnnp考虑强级数1121)1(1ppnnn的部分和n111)1(11ppnkkkn故强级数收敛,由比较判别法知p级数收敛.时,1)1(11pn11111)1(113121211pppppnn12)若12/19/201928比较判别法是一基本方法，虽然有用，但应用起来却有许多不便，因为它需要建立定理所要求的不等式，而这种不等式常常不易建立，为此介绍在应用上更为方便的比较判别法的极限形式。练习1证明级数1)1(1nnn是发散的.证明,11)1(1nnn,111nn发散而级数.)1(11nnn发散级数12/19/201929111111(1,22,)nnnnnnnnnnnnnnuvnuuvvuv设和都是正项级数，且，则当时,必收敛，定理（比较判别法）收敛发散当时,必发散。11111111(1)0,,(2)=0(3)=3limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuvluulluvvvulv设和都是正项级数，且当同时收敛或同时发散；当时，收敛收敛，当定理（比较判别法的极限形式），时，发散发散。12/19/201930211(1cos)31nnnnnn判别下列级数的敛散性.（1）（2）例221cos~2nn2222221cos2limlim122nnnnnn2212nn收敛，1(1co