第6章趋势外推预测法.

授课内容MATLAB基本计算经济预测概述灰色预测法弹性预测法定性预测法趋势外推法时间序列预测法干预模型法投入产出法马尔可夫法景气预测法神经网络法第6章趋势外推预测法6.1线性回归基本理论6.2多项式曲线拟合法6.3多元回归法6.4交互式回归法练习与提高（三）6.5加权拟合直线方程法6.6非线性回归法6.1线性回归基本理论回归分析是根据样本观测值对模型的参数进行估计，求得回归方程，再对回归方程、参数估计值进行显著性检验，然后利用回归方程进行预测（1）一元线性回归模型的基本形式：其中未知参数、称为回归系数。01yx2(0,)N01若根据一组观测值，求估计值和，则称：(,)iixy0ˆ1ˆ0ˆy1ˆx为一元回归直线方程，这也是点预测公式。用最小二乘法进行参数的估计：二、估计参数ˆiy设回归（拟合）直线方程为：其中：为第i期的预测值ˆiy则离差平方和：21ˆ()niiiQyy21ˆˆ()niiiyabx为使Q最小，只需对求偏导：ˆˆ,abˆˆiabx即1ˆˆ2()0ˆniiiQyabxa1ˆˆ2()0ˆniiiiQyabxxb解得11ˆˆnniiiinabxy2111ˆˆnnniiiiiiiaxbxxy即得估计式为2ˆiiixxyybxxˆˆaybx或得1111ˆˆnniiiiaybxnn1112211ˆ()nnniiiiiiinniiiinxyxybnxx一元线性回归函数矩阵(1,)iiiayabxxb12nyyYy12111nxxXx其最小二乘解为1()TTAXXXY4）对误差方差的估计残差平方和剩余方差为（5）模型的检验21ˆ()niiiQyy2/(2)sQn1)拟合优度检验(检验)2R拟合优度检验是指对样本回归直线与样本观测值之间的检验，其度量的指标是可决系数或判定系数2R22221112211()ˆ()nniiiinniiiinxxRnyy越接近1，拟合程度越好，反之越差。2)相关性检验(r检验)相关系数只反映变量间的线性相关的强弱和共同变动的方向一元线性回归方程，相关系数与判别系数关系为|r|越接近1，表x与y相关程度越高12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy2rR线性相关程度或相关等级划分应根据样本容量的大小来确定。当相关系数求出后，可根据样本容量n和显著性水平，查相关系数检验表得到临界值，再按以下经验准则判断：若|r|，则称x与y有显著的线性关系若|r|，则称x与y有线性关系不显著rrr3)回归方程的显著性检验(F检验)首页F检验是对回归方程中的自变量和因变量之间的关系是否具有显著性进行的一种假设检验回归平方和当，拒绝原假设，即认为回归显著，说明y与x存在线性关系，所求的线性回归方程有意义/(2)UFQn21ˆ()niiUyy21ˆ()niiiQyy残差平方和1(1,2)FFn否则结果相反.4）回归系数的显著性检验(t检验)首页t检验是对回归系数是否显著性的一种假设检验。当，拒绝原假设，接受备选假设即与0有显著性区别，所对应的变量x对y的影响不容忽视即x作为y的解释变量，其线性关系是显著的；211ˆ()/(2)niixxTQn12||(2)Ttn01:0H11:0H1否则，结果相反6.2多项式曲线拟合法曲线拟合就是设法找出某条光滑曲线，使它最佳地拟合数据.曲线限定为多项式时，那么曲线拟合称为多项式的最小二乘曲线拟合。（1）一元多项式的基本形式：1121nnnnyaxaxaxa（2）多项式拟合的命令p=polyfit(x,y,n)x，y是同维的向量,p是多项式系数，[p,S]=polyfit(x,y,n）n是多项式次数,S是矩阵Y=polyval(p,x),求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha)%求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间YDELTA；alpha缺省时为0.5。【例6-1】经测量某人从出生到成年之间的体重，得到年龄与体重的数据如表6-1所示，试建立其关系。首页x=[00.51368121518]';y=[3.55691418264060]';p=polyfit(x,y,2)Y=polyval(p,x)plot(x,y,'o',x,Y)xlabel('年龄')ylabel('体重')年龄（周岁）00.51368121518体重（千克）3.55691420264060【例6-2】我国从1980年至2007年的实际投资额如表6-2，试用拟合曲线法，建立年份与投资额的关系，并预测2008年的投资额。首页最后得出预测结论年份1980198119821983198419851986投资额910.99611230.41430.11832.92543.23120.6年份1987198819891990199119921993投资额3791.74753.84410..4045175594.58080.113072.3年份1994199519961997199819992000投资额17042.120019.322913.524941.128406.229854.732917.7年份2001200220032004200520062007投资额37213.543499.9155566.6170477.488604.28109869.8137239t=0:0.1:2.7x=[910.99611230.41430.11832.92543.23120.6...3791.74753.84410.445175594.58080.113072.3...17042.120019.32291324941.128406.229854.7...32917.737213.543499.9155566.6170477.4...88604.28109869.83137239.01];X=x./mean(x);p=polyfit(t,X,5)Y=polyval(p,t)plot(t,X,'o',t,Y)xlabel('时间')ylabel('投资额')Y2008=polyval(p,2.8)%2008年预测值x2008=Y2008*mean(x)%2008年预测值的还原值（3）多元线性回归的矩阵表示法YXA12myyYy1212222111mmnnmxxxxXxx12mA12m则线性回归方程为011kkyxx（2）多元线性回归法的命令首页b=regress(Y,X)%确定回归系数的点估计值[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)%求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型说明：Y=[y1,y2,…,yn]‘，X=[ones(size(x1)),x1,x2,…，xk]alpha：显著性水平，缺省时为0.05b：回归系数的最小二乘估计值；bint：回归系数的区间估计r：模型拟合残差；rint：残差的置信区间stats：用于检验回归模型的统计量，有四个数值：可决系数R2、方差分析F统计量的值、方差分析的显著性概率p的值以及模型方差估计值（剩余方差）。预测值为：Z=[ones(size(x1)),x1,x2,…，xk]*b【例6-3】某地区测得女子的身高x与其腿长Y的数据如表6-3所示，试建立其关系。x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';Y=[8885889192939395969897969899100102]';X=[ones(16,1)x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)f=finv(0.95,1,14)%F统计量临界值z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')身高143145146147149150153154155156157158159160162164腿长88858891929393959698979698991001026.3.2多项式回归若只求回归系数，可用最小平方拟合来确定，即直接对模型（6-7）式两端左除（\），通过解方程组的方法求得：A=X\Y预测值为：Y=X*A【例6-4】（续例6-1）设多项式为：x=[00.51368121518]';y=[3.55691418264060]';X=[ones(size(x))xx.^2]a=X\y%回归系数Y=[ones(size(x))xx.^2]*a%预测值plot(x,y,'o',x,Y)YXA2012yaaxax6.3.3多元参数回归我们也可以对其它函数进行回归，譬如对指数函数，对数函数、反函数等各类函数进行回归处理。【例6-5】研究某一质点在直线上运动的轨迹，观察时间与距离的数据如表6-4所示，试建立时间与距离的关系。时间（分）00.30.50.811.21.52.02.5距离（厘米）0.50.821.01.141.21.251.351.391.45设函数形如：012xxyaaeaxex=[00.30.50.811.21.52.02.5]'y=[0.50.821.01.141.21.251.351.391.45]'X=[ones(size(x))exp(-x)x.*exp(-x)];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)z=[ones(size(x))exp(-x)x.*exp(-x)]*bplot(x,y,'k+',x,z,'r')首页6.4交互式回归法6.4.1一元多项式回归设一元多项式形式一元多项式回归命令：polytool（x，y，m）1121mmmmyaxaxaxa【例6-6】（续例6-5）直接运行命令：x=[00.30.50.81.21.622.33]';y=[0.50.821.01.141.251.351.391.421.45]';polytool(x,y,2)运行结果是得到交互式图（如图6-5）。6.4.2多元二项式回归命令（1）多元二项式常用形式线性型：纯二次型交叉型01122mmyxxx2011221nmmjjjjyxxxx011221mmjkjkjknyxxxxx完全型011221,mmjkjkjknyxxxxx（2）多元二项式回归命令格式：rstool（X，Y，’model’,alpha）说明：X：n×m矩阵，Y：n列向量。Model：表多元二项式模型的形式，有“linear”、“PureQuadratic”、“interactions”、“FullQuadratic”【例6-7】设某商品的需求量、消费者的平均收入和商品价格的统计数据如表6-5所示，试建立回归模型，并预测平均收入为1000元、价格为6元时的商品需求量。MATLAB程序如下：x1=[10006001200500300400130011001300300]';x2=[5766875439]';y=[10075807050659010011060]';x=[x1x2];rstool(x,y,'purequadratic')需求量（件）10075807050659010011060收入（元）100060012005003004001300110013003