第9章大学物理

第九章机械振动和机械波机械振动：物体在某一位置附近所作的周期性往复运动。波动：振动状态在空间或媒质中的传播过程。简称为波。机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。振动:描述物体状态的物理量在某一数值附近所作的周期性变化。简谐振动是最简单、最基本的振动，是研究各种复杂振动的基础。振动和波动是紧密联系的两种物质运动形式，振动的规律是研究波动的必备基础。9.1简谐振动物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为简谐振动。OFmxxk9.1.1简谐振动的特征和运动方程弹簧振子：一个质量可忽略的弹簧和一个刚体所组成的振动系统。下面以水平弹簧振子为例讨论。坐标原点O为平衡位置；取坐标轴x向右，所受弹性力为：Fkx负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反，始终指向运动物体的平衡位置，故称之为线性回复力。1、受力特征在线性回复力作用下物体沿x轴围绕平衡位置O点作周期性往复运动。（2）平衡位置是物体受力为零的位置。（1）位移是相对平衡位置的。说明2、动力学方程特征Fkx由牛顿第二定律，有：22ddtxmxk则有：加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。令：2mk0dd222xtxOFmxxk简谐振动的动力学微分方程注意：ω仅由系统本身决定，与振动情况无关。若某系统的运动规律满足上述微分方程，且ω由系统性质决定，则该系统做简谐振动。（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。3、运动学方程（振动方程）由：0dd222xtx可解得：或：sin()xAt简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。A—振幅（离开平衡位置的最大距离）ω—角频率（2π秒内振动次数或单位时间相位改变）cos()xAt—相位（描述运动状态的量）t)cos(tAxAxOt—初相位利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：(1)确定研究对象，分析受力。(2)找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复力矩）的表达式。(3)写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。4、简谐振动的判椐若位移x，满足,xtx0dd222Fkx)cos(tAx或或结论：如果质点所受的力可以表示为Fkx或质点的位移与时间的关系可以表示为,xtx0dd222)cos(tAx或则质点做简谐振动。5、简谐振动的速度和加速度由：)cos(tAx1)v、a与x的ω相同。2)Aa,Avmaxmax24)三者相位依次差π/2。)sin(ddtAtxv)cos(dd2tAtva)2cos(/tAv)cos(2tAa3)a与x方向相反，且成正比。xa2说明对时间t求一阶和二阶导数，得9.1.2描述简谐振动的特征量(1)振幅A(2)角频率)cos(tAx)cos(tAxTxAto描述物体振动强弱的物理量描述振动状态恢复的快慢。周期T:振动物体作一次完全振动（即一次往复运动）所经历的时间。单位：秒（s）cos()cos[()]AtAtT2T2T频率ν：周期的倒数，即单位时间内物体振动的次数。单位：赫兹（Hz）21T22T则称为角频率或圆频率，单位为rads1对于弹簧振子，kmT22mkT211mk固有周期固有频率(3)初相位、相位和相位差—t=0时的相位，反映初始时刻振动物体的运动状态。初相位—描述物体振动状态的物理量t相位相位差：)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122tt同相两振动步调相反。①同相和反相2(012....)kk、、两振动步调相同。(21)(012...)kk.、、反相)(Δ12txoA1A2x1x2同相x2xox1t反相A1A2两个同频率的简谐振动：②超前和滞后超前。比振动振动时当120,x2比x1较早达到正最大。超前比振动振动121A2x1xtox2A落后。比振动振动时当120,x1比x2较早达到正最大。1x1A2xtox2A落后比振动振动12(4)振幅和初相位的确定由：)cos(tAxsin()vAt初始条件：000vv,xxt时，)1cos0Axsin0Av写为：）2sin0Av22020vxA00arctan()vx联立1)和2)式，得：b）仅由中之一不能决定，需由其中两个方程可求出。cossintg,,a）尚需满足1）和2）所决定的状态。注意例题1、单摆：质量m，摆长l，试分析单摆的运动规律。gmtFT解：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移θ的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：sintmFg负号表明该力的方向与角位移的方向相反。0dd22lgtsindd22gtl若θ很小，则有：sin即：摆球的切向运动方程为：sinmgmaFtt22ddddtlltvat因此，单摆在小角度下的摆动是简谐振动。其中：lg0dd222t22lTg单摆的周期：例题2、一长为l的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。sin2lMmgJmglsin2θ很小，则：02dd31222lgtl即：023dd22lgtlg232glT3222由转动定律：22ddtJ222dd31tmlOgml所以是简谐振动，其周期为：例题3、一质点沿x轴作简谐振动，其角频率。在t=0时刻，其初始位移，初始速度。求此简谐振动的表达式。1rads10cm07.5x1cms075.0v解：质点的振动方程及速度表达式分别为cos()xAtsin()vAtm2222200220.750.07510.610()10vAx则根据初始条件可得：000.753arctan()arctan()100.07544或-vx将初始条件和角频率代入振动方程有0.075cosAcos0所以因此可以确定4所以该质点作简谐振动的表达式为m210.610cos(10)()4xt例题4、一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。x/m0.040.04O/st0.5解：质点作简谐振动，其振动方程及速度表达式分别为cos()xAtsin()vAt由振动曲线可知m0.04Ass20.51T1rads22T0t00x，00v时，由图可知，即0cos0xA0sin0vA可以确定2则该简谐振动的表达式为m0.04cos(2)()2xt9.1.3简谐振动的旋转矢量表示法—振幅A作坐标轴Ox,自O点作一矢量OM，用表示。AAAt时刻与x轴的夹角—相位ωt+A以恒定角速度ω绕O点作逆时针转动—角频率ωA在t=0时与x轴的夹角—初相A矢量的端点M在x轴上的投影点P的坐标为：A)cos(tAx所以，P点的运动为简谐振动。pAxoM0ttAP点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。0.010.02Om/xs/t1例题5、一作简谐振动的物体，其振动曲线如图所示。试写出该振动的表达式。cos()xAt解：振动方程为由振动曲线可知，振幅为m0.02At=0时，m00.012Ax且其初始速度00v作旋转矢量图，如右图。0.01可得其振动初相位为3xy0.02O又t=1s时，0x，0v由旋转矢量图可知：s1()2tt1rads56m50.02cos()()63xt则振动方程为：例题6、一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。(2)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：3O20Ax0vx)cos(tAx解(1)取平衡位置为坐标原点。设振动方程为：T20.12cos()3xt(2)由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：A/t65s830.2tv00时，在3，4象限。v00时，在1，2象限。x00时，在1，4象限。x00时，在2，3象限。AA0v0x0v0x0v0x0v0x讨论：65239.1.4简谐振动的能量)(sin21212222tmAmvEk2、简谐振动的势能)(cos2121222tkAkxEp)(sin2122tkA1、简谐振动的动能)sin(tAv3、简谐振动的总能量221kAEEEpkkpEEEtOT2T4T34TEkEpE(以弹簧振子为例)振动能量曲线如右图)0(①Ep与Ek振幅相同，变化规律相同，周期相同，相位相反。②系统总能量守恒，与振幅的平方成正比，动能与势能相互转换，系统与外界无能量交换（无阻尼自由振动系统）③E∝A2，这是一切振动形式的共同性质。说明221sin()2kEkAt221cos()2pEkAt212EkA9.2简谐振动的合成9.2.1同方向同频率的两个简谐振动的合成：)cos(222tAx)cos(111tAx则合振动的运动方程：22112211coscossinsintgAAAA)cos(212212221AAAAA设质点同时参与两个独立的同振动方向，同频率的简谐振动222coscossinsinAtt12xxx11221122(coscos)cos(sinsin)sinAAtAAt111coscossinsinAtt)cos(tAx有:11221122coscoscossinsinsinAAAAAA令其中：合成结果仍为简谐运动合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。说明：用旋转矢量法研究同方向、同频率简谐振动的合成：由旋转矢量图可以直接得到合振动的振幅及初相位。22sinA11sinAx22cosA11cosAA2A1A21讨论：(1)(2)同相，合振幅最大反相，合振幅最小当A1=A2时，质点静止。A1A2A1212AAAA时，当221212212cos()AAAAAA1A2A(3)一般情况（相位差任意）1212()AAAAA相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用k12A1A2A,,,kk210212,,,kk210)12(1221AAA12AAA9.2.2同方向不同频率的两个简谐振动的合成两振动的相位差随时间变化。一般情况下，合振动不再是简谐振动。合振动的运动方程为：212102cos2)cos(2)22Att（)()()()(12121122ttt1111cos()xAt2222cos()xAt21210()()2coscos[]22ttA101cos()xAt202cos()xAt0102cos()co