第9章模拟信号的数字传输

第9章模拟信号的数字传输学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点：（1）抽样定理；（2）自然抽样和平顶抽样；（3）均匀量化和非均匀量化；（4）PCM原理，A律13折线编、译码；（5）M原理，不过载条件和编码范围；（6）PCM、M系统的抗噪声性能（7）时分复用和多路数字电话系统原理9.1引言数字化3步骤：抽样、量化和编码图9-1抽样、量化和编码图9.2模拟信号的抽样9.2.1低通模拟信号的抽样定理抽样定理：设一个连续模拟信号m(t)中的最高频率fH，则以间隔时间为T1/2fH的周期性冲激脉冲对它抽样时，m(t)将被这些抽样值所完全确定。【证】设有一个最高频率小于fH的信号m(t)。将这个信号和周期性单位冲激脉冲T(t)相乘，其重复周期为T，重复频率为fs=1/T。乘积就是抽样信号，它是一系列间隔为T秒的强度不等的冲激脉冲。这些冲激脉冲的强度等于相应时刻上信号的抽样值。现用ms(t)=m(kT)表示此抽样信号序列。故有)()()(ttmtmTs用波形图示出如下：图9-2抽样定理波形图令M(f)、(f)和Ms(f)分别表示m(t)、T(t)和ms(t)的频谱。按照频率卷积定理，m(t)T(t)的傅里叶变换等于M(f)和(f)的卷积。因此，ms(t)的傅里叶变换Ms(f)可以写为：)()()(ffMfMs（9-1）而(f)是周期性单位冲激脉冲的频谱，它可以求出等于：nsnffTf)(1)(（9-2）式中，Tfs/1将上式代入Ms(f)的卷积式，得到nssnfffMTfM)()(1)(（9-3）上式中的卷积，可以利用卷积公式：)()()()()(tfdtfttf（9-4）进行计算，得到)(1)()(1)(snssnffMTnfffMTfM（9-5）上式表明，由于M(f-nfs)是信号频谱M(f)在频率轴上平移了nfs的结果，所以抽样信号的频谱Ms(f)是无数间隔频率为fs的原信号频谱M(f)相叠加而成。用频谱图示出如下图9-3抽样定理频谱图因为已经假设信号m(t)的最高频率小于fH，所以若频率间隔fs2fH，则Ms(f)中包含的每个原信号频谱M(f)之间互不重叠，如上图所示。这样就能够从Ms(f)中用一个低通滤波器分离出信号m(t)的频谱M(f)，也就是能从抽样信号中恢复原信号。这里，恢复原信号的条件是：Hsff2即抽样频率fs应不小于Hf的两倍。这一最低抽样速率2fH称为奈奎斯特速率。与此相应的最小抽样时间间隔称为奈奎斯特间隔。恢复原信号的方法：从上图可以看出，当fs2fH时，用一个截止频率为fH的理想低通滤波器就能够从抽样信号中分离出原信号。从时域中看，当用抽样脉冲序列冲激此理想低通滤波器时，滤波器的输出就是一系列冲激响应之和，如下图所示。这些冲激响应之和就构成了原信号。图9-4滤波器输出冲激响应理想滤波器是不能实现的。实用滤波器的截止边缘不可能做到如此陡峭。所以，实用的抽样频率fs必须比2fH大一些。例如，典型电话信号的最高频率通常限制在3400Hz，而抽样频率通常采用8000Hz。9.2.2带通模拟信号的抽样定理设带通模拟信号的频带限制在fL和fH之间。即其频谱最低频率大于fL，最高频率小于fH，信号带宽B=fH－fL。可以证明，此带通模拟信号所需最小抽样频率fs等于)1(2nkBfs（9-6）式中，B－信号带宽；n－商(fH/B)的整数部分，n=1，2，…；k－商(fH/B)的小数部分，0k1。按照上式画出的fs和fL关系曲线示于下图：图9-5带通模拟信号的抽样定理图由于原信号频谱的最低频率fL和最高频率fH之差永远等于信号带宽B，所以当0fLB时，有BfH2B。这时n=1，而上式变成了fs=2B(1+k)。故当k从0变到1时，fs从2B变到4B，即图中左边第一段曲线。当fL＝B时，fH＝2B，这时n=2。故当k＝0时，上式变成了fs=2B，即fs从4B跳回2B。当BfL2B时，有2BfH3B。这时，n=2，上式变成了fs=2B(1+k/2)，故若k从0变到1，则fs从2B变到3B，即图中左边第二段曲线。当fL＝2B时，fH＝3B，这时n=3。当k＝0时，上式又变成了fs=2B，即fs从3B又跳回2B。依此类推。由上图可见，当fL=0时，fs＝2B，就是低通模拟信号的抽样情况；当fL很大时，fs趋近于2B。fL很大意味着这个信号是一个窄带信号。许多无线电信号，例如在无线电接收机的高频和中频系统中的信号，都是这种窄带信号。所以对于这种信号抽样，无论fH是否为B的整数倍，在理论上，都可以近似地将fs取为略大于2B。图中的曲线表示要求的最小抽样频率fs，但是这并不意味着用任何大于该值的频率抽样都能保证频谱不混叠。9.3模拟脉冲调制模拟脉冲调制的种类周期性脉冲序列有4个参量：脉冲重复周期、脉冲振幅、脉冲宽度和脉冲相位（位置）。其中脉冲重复周期（抽样周期）一般由抽样定理决定，故只有其他3个参量可以受调制。3种脉冲调制：脉冲振幅调制(PAM)脉冲宽度调制(PDM)脉冲位置调制(PPM)仍然是模拟调制，因为其代表信息的参量仍然是可以连续变化的。模拟脉冲调制波形图9-6几种模拟脉冲调制PAM调制PAM调制信号的频谱设：基带模拟信号的波形为m(t)，其频谱为M(f)；用这个信号对一个脉冲载波s(t)调幅，s(t)的周期为T，其频谱为S(f)；脉冲宽度为，幅度为A；并设抽样信号ms(t)是m(t)和s(t)的乘积。则抽样信号ms(t)的频谱就是两者频谱的卷积：nHHsnffMfncTAfSfMfM)2()(sin)()()(（9-7）式中sinc(nfH)=sin(nfH)/(nfH)PAM调制过程的波形和频谱图图9-7PAM调制过程的波形和频谱图由上图看出，若s(t)的周期T(1/2fH)，或其重复频率fs2fH，则采用一个截止频率为fH的低通滤波器仍可以分离出原模拟信号。自然抽样和平顶抽样在上述PAM调制中，得到的已调信号ms(t)的脉冲顶部和原模拟信号波形相同。这种PAM常称为自然抽样。在实际应用中，则常用“抽样保持电路”产生PAM信号。这种电路的原理方框图如右：图9-8PAM自然抽样原理图平顶抽样输出波形图9-9平顶抽样输出波形平顶抽样输出频谱设保持电路的传输函数为H(f)，则其输出信号的频谱MH(f)为：)()()(fHfMfMsH上式中的Ms(f)用nssnffMTfM)(1)(（9-8）代入，得到nsHnffMfHTfM)()(1)(（9-9）比较上面的MH(f)表示式和Ms(f)表示式可见，其区别在于和式中的每一项都被H(f)加权。因此，不能用低通滤波器恢复（解调）原始模拟信号了。但是从原理上看，若在低通滤波器之前加一个传输函数为1/H(f)的修正滤波器，就能无失真地恢复原模拟信号了。9.4抽样信号的量化9.4.1量化原理设模拟信号的抽样值为m(kT)，其中T是抽样周期，k是整数。此抽样值仍然是一个取值连续的变量。若仅用N个不同的二进制数字码元来代表此抽样值的大小，则N个不同的二进制码元只能代表M=2N个不同的抽样值。因此，必须将抽样值的范围划分成M个区间，每个区间用一个电平表示。这样，共有M个离散电平，它们称为量化电平。用这M个量化电平表示连续抽样值的方法称为量化。量化器在原理上，量化过程可以认为是在一个量化器中完成的。量化器的输入信号为m(kT)，输出信号为mq(kT)，如下图所示。图9-10量化原理图在实际中，量化过程常是和后续的编码过程结合在一起完成的，不一定存在独立的量化器。9.4.2均匀量化均匀量化的表示式设模拟抽样信号的取值范围在a和b之间，量化电平数为M，则在均匀量化时的量化间隔为Mabv（9-10）且量化区间的端点为viamii=0,1,…,MMabv（9-11）若量化输出电平qi取为量化间隔的中点，则Mimmqiii,...,2,1,21显然，量化输出电平和量化前信号的抽样值一般不同，即量化输出电平有误差。这个误差常称为量化噪声，并用信号功率与量化噪声之比衡量其对信号影响的大小。9.4.3非均匀量化非均匀量化的目的：在实际应用中，对于给定的量化器，量化电平数M和量化间隔v都是确定的，量化噪声Nq也是确定的。但是，信号的强度可能随时间变化（例如，语音信号）。当信号小时，信号量噪比也小。所以，这种均匀量化器对于小输入信号很不利。为了克服这个缺点，改善小信号时的信号量噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。非均匀量化的数学分析当量化区间划分很多时，在每一量化区间内压缩特性曲线可以近似看作为一段直线。因此，这段直线的斜率可以写为：ydxdyxyMabv（9-12）并有ydydxx设此压缩器的输入和输出电压范围都限制在0和1之间，即作归一化，且纵坐标y在0和1之间均匀划分成N个量化区间，则每个量化区间的间隔应该等于Ny1Mabv（9-13）将其代入上式，得到dydxNydydxx1xNdydxMabv（9-14）为了对不同的信号强度保持信号量噪比恒定，当输入电压x减小时，应当使量化间隔x按比例地减小，即要求xx因此上式可以写成xdydx或kxdydx式中，k－比例常数。上式是一个线性微分方程，其解为ckyxln为了求出常数c，将边界条件(当x=1时，y=1)，代入上式，得到k+c=0故求出c=-k将c的值代入上式，得到kkyxln（9-15）即要求y＝f(x)具有如下形式：xkyln11由上式看出，为了对不同的信号强度保持信号量噪比恒定，在理论上要求压缩特性具有对数特性。但是，该式不符合因果律，不能物理实现，因为当输入x＝0时，输出y＝-，其曲线和上图中的曲线不同。所以，在实用中这个理想压缩特性的具体形式，按照不同情况，还要作适当修正，使当x＝0时，y＝0。关于电话信号的压缩特性，国际电信联盟(ITU)制定了两种建议，即A压缩律和压缩律，以及相应的近似算法－13折线法和15折线法。我国大陆、欧洲各国以及国际间互连时采用A律及相应的13折线法，北美、日本和韩国等少数国家和地区采用律及15折线法。下面将分别讨论这两种压缩律及其近似实现方法。A压缩律A压缩律是指符合下式的对数压缩规律：11,ln1ln110,ln1xAAAxAxAAxy（9-16）式中，x－压缩器归一化输入电压；y－压缩器归一化输出电压；A－常数，它决定压缩程度。A律是从前式修正而来的。它由两个表示式组成。第一个表示式中的y和x成正比，是一条直线方程；第二个表示式中的y和x是对数关系，类似理论上为保持信号量噪比恒定所需的理想特性的关系。A律的导出由式xkyln11画出的曲线示于下图中。为了使此曲线通过原点，修正的办法是通过原点对此曲线作切线ob，用直线段ob代替原曲线段，就得到A律。此切点b的坐标(x1,y1)为kek/1,1或（1/A,Ax1/(1+lnA)）A律是物理可实现的。其中的常数A不同，则压缩曲线的形状不同，这将特别影响小电压时的信号量噪比的大小。在实用中，选择A等于87.6。图9-11A压缩律13折线压缩特性－A律的近似A律表示式是一条平滑曲线，用电子线路很难准确地实现。这种特性很容易用数字电路来近似实现。13折线特性就是近似于A律的特性。在下图中示出了这种特性曲线：图9-1213折线特性图中横坐标x在0至1区间中分为不均匀的8段。1/2至1间的线段称为第8段；1/4至1/2间的线段称为第7段；1/8至1/4间的线段称为第6段；依此类推，直到0至1/128间的线段称为第1段。图中纵坐标y则均匀地划分作8段。将与这8段相应的座标点(x,y)相连，就得到了一条折线。由图可见，除第1和2段外，其他各段折线的斜率都不相同。在下表中列出了这些斜率因