聚焦中位线定理的运用

聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD,垂足为D，AE=EC.求证：DE∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD交BC于点F.因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD.因为AD⊥BD,所以∠BDA=∠BDF=900.又BD=BD,所以△BDA≌△BDF(ASA).所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE∥FC,即DE∥BC（三角形的中位线定理）.二、用于证明角相等例2如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，已知AC=BD,M,N分别是AD、BC的中点，MN与AC、BD分别交于E、F点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAPNMCD分析：可取CD或AB的中点构造中位线.证明：可取AB的中点P，连接PM、PN.因为AM=MD,AP=BP,BN=NC,所以MPBD21,PNAC21(三角形中位线定理).所以∠1=∠3，∠2=∠4.又因为AC=BD,所以MP=NP,∠3=∠4,所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM（等角的补角相等）.三、用于证明线段相等例3如图3，△ABC的AB、AC向形外作正三角形ABD和ACE,分别取BD、BC、CE的中点P、M、Q.求证：PM=QM.图3QPMBCEAD分析：中点P、M所在线段DB、CB有公共端点B，若连接它们的另一端D、C，则PM使成为△BCD的中位线，同理连接BE之后MQ也成为△BEC的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC与BE相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4如图4，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、AC、BD的中点，且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分.分析：要证明EF和GH互相平分，可证明四边形EGFH是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBEACFD证明：连接EG、GF、FH、HE.因为AE=EB,BH=HD,所以EHAD21.同理FGAD21.所以EHFG.所以四边形EGFH是平行四边形.所以EF和GH互相平分.