第9章线性定常系统的多项式矩阵描述

1.多项式矩阵描述（PMD）2.PMD的状态空间实现3.PMD的互质性与状态空间描述的可控性和可观测性4.传输零点和解耦零点5.系统矩阵6.系统的严格等价第九章线性定常系统的多项式矩阵描述引言多项式矩阵描述（PMD，PolynomialMatrixDescription）事由英国学者H.H.Rosenbrock在20世纪60年代提出的。这是线性定常系统的一种更具普遍性的描述，常被用于系统的复频域分析和綜合。1.系统多项式矩阵描述的目的：描述系统的变量像输入输出描述那样具有明确的物理意义；描述系统的变量像状态空间描述那样全面深刻地指出系统的内部特性和外部特性。2.代表人物：V.Belevitch、H.H.Rosenbrock、C.A.Desoer等。3.主要内容：以电路系统为例探讨怎样系统地得到多变量系统的PMD，以及如何由PMD求出传递函数矩阵。PMD及其与其他形式描述之间的关系；互质性、可控性和可观测性；传输零点和解耦零点；以及严格系统等价等。9.1多项式矩阵描述1多项式描述的形式为引入PMD的表示形式，首先讨论一个电路实例。如图9-1所示，假设，取两个回路的电流为广义状态变量，为输入变量，为输出变量。根据电路原理，写出两个回路的微分方程和输出方程，并作拉氏变换得)29()(2)()19(0)()13112()(31)()(31)()3123(22121sssysssssssusssss对上述方程化简改写，可得到下式将以上两式表示成向量方程形式，有)49()(0)(2)(0)()39(0)()436()()(3)()()169(21221212sussssyssssssussss)69()(0)()(20)()59()(03)()(43611169212122sussssysusssssss+_3H1F3F2H+_图9-1示例电路211ˆ2ˆ)(ˆtu)(ˆty21ˆˆ、uˆyˆ上述两个方程就是描述给定电路的广义状态方程和输出方程，且系数矩阵都是多项式矩阵形式，我们称这两个方程是给定电路的一个PMD。现在，推广到一般形式的MIMO线性定常系统，定义：)79(ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆ111qmpyyyuuu，输出广义状态输入那么，根据对上述电路的PMD的推广，可以导出系统的PMD为其中，P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)、W(s)为m×p、q×m、q×p多项式矩阵。)89()()()()()()()()()(susWssRsysusQssP(2)对PMD的基本假设为保证式(9-8)给出的PMD有惟一解，假定P(s)非奇异，即P-1(s)存在。(1)PMD的属性式(9-8)给出的PMD，本质上属于系统的内部描述，但不同于系统的状态空间描述。这里引入的是一种广义状态或伪状态，并不要求按状态定义进行严格限定。ˆ2PMD与其他形式数学描述间的关系这里将简单介绍线性定常系统的PMD与传递函数矩阵、状态空间描述、左右MFD等之间的关系。(1)PMD的传递函数矩阵对线性定常系统，式(9-8)给出的PMD的传递函数矩阵G(s)为G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)(9-10)事实上，以上公式很容易证明。由于P(s)非奇异，式(9-8)中的第一个关系式两边同乘P-1(s)得ξ(s)=P-1(s)Q(s)u(s)(9-11)将其代入(9-8)中的第二个关系式，可以得到y(s)=[R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)]u(s)(9-12)由此可导出式(9-10)。证明完成。)139()(0,upDCxytBuAxx(2)状态空间描述的PMD给定线性定常系统的状态空间描述：其中，D(p)为多项式矩阵，p=d/dt为微分算子，x(0)=0，且D(p)的存在反映系统的非真性。那么，与(9-13)所示状态空间描述等价的PMD为其中，ξ(s)=x(s)为n×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为证将式(9-13)取拉氏变换，再令ξ(s)=x(s)，即可导出式(9-14)。)149()()()()()()()(susDsCsysBusAsI(3)MFD的PMD设q×p线性定常系统的右MFDNr(s)Dr-1(s)+E(s)和左MFDDl-1(s)Nl(s)+E(s)，其中Nr(s)Dr-1(s)、Dl-1(s)Nl(s)为严格真MFD，E(s)为多项式矩阵。那么，等价于Nr(s)Dr-1(s)+E(s)的PMD为其中，ξ(s)=Dr-1(s)Iu(s)为p×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为)159()()(,)()(),()(sDsWCsRBsQAsIsP)169()()()()()()()()(susEssNsysuIssDrr)179()()(),()()(),()(sEsWsNsRIsQsDsPrr等价于Dl-1(s)Nl(s))+E(s)的PMD为其中，ξ(s)=Dr-1(s)Nl(s)u(s)为q×1广义状态，PMD的各个系数矩阵为)189()()()()()()()(susEsIsysuNssDll)199()()(,)()()(),()(sEsWIsRsNsQsDsPll证对Nr(s)Dr-1(s)+E(s)，可以导出y(s)=[Nr(s)Dr-1(s)+E(s)]u(s)=Nr(s)Dr-1(s)Iu(s)+E(s)u(s)(9-20)将上式与PMD的传递函数矩阵(9-12)相比较，就可导出系数矩阵关系式(9-17)。基于此，令ξ(s)=Dr-1(s)Iu(s)，可得式(9-16)。类似地，可以证明式(9-18)。证毕。从前面的讨论中可以看出，PMD是线性定常系统的最为一般的描述，系统的其他数学描述均可认为是PMD的特殊情况。3不可简约MFD定义9-1称(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约PMD，当且仅当{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}右互质(9-21)构造不可简约PMD的方法：(1)情形1：{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}右互质设m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取)239()()()(),()()(11sQsHsQsPsHsP则，可简约PMD的一个不可简约PMD为)249()()()()()()()()()(susWssRsysusQssP(2)情形2：{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}非右互质设m×m多项式矩阵F(s)为非右互质{P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取，即有)()()(ssFs)279()()()(),()()(11sFsRsRsFsPsP则，可简约PMD的一个不可简约PMD为)289()()()()()()()()()(susWssRsysusQssP(3)情形3：{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}非右互质设m×m多项式矩阵H(s)为非左互质{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取，m×m多项式矩阵的任一最大右公因子，再取，即有)299()()()(~),()()(~),()()()(~1111sFsRsRsQsHsQsFsPsHsP则，可简约PMD的一个不可简约PMD为)309()()()(~)(~)()()(~)(~)(~susWssRsysusQssP4不可简约PMD的不惟一性设(P(s),Q(s),R(s),W(s))为线性定常系统的一个不可简约PMD，P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)、W(s)为m×p、q×m、q×p多项式矩阵。表U(s)、V(s)为任意两个m×m单模阵，取)()()(~ssFs)319()()()(),()()(),()()()(sVsRsRsQsUsQsVsPsUsP则，也为系统的一个不可简约PMD。))(),(),(),((sWsRsQsP)()()(1sPsHsP)}(),({)(sRsPsF为证略。9.2PMD的状态空间实现1PMD的实现定义9-2考虑线性定常系统，其PMD为)389()()()()()()()()()(susWssRsysusQssP其中，P(s)为m×m多项式矩阵，Q(s)、R(s)、W(s)为m×p、q×m、q×p多项式矩阵。如果某状态空间描述)589(|)()(])([,psAsooosDpDCsRCBBAA的传递函数阵与式(9-38)所示PMD的传递函数阵相等，即R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+D(s)(9-40)则，称式(9-39)为式(9-38)给出的PMD的一个实现。其中，D(s)=D(p)|p=s。)399()(upDCxyBuAxx2构造PMD实现的方法对线性定常系统的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，表P-1(s)Q(s)=Pl-1(s)Ql(s)，其中Pl(s)为行既约，，而(Ao,Bo,Co)为严格真的观测器型实现，则PMD的一个实现(A,B,C,D(p))为)()()()()(11sYsQsPsQsPllll)()(1sQsPll其中，)]()()()([)(])([))(()(sWsYsRBsXsDCsRAsIsXCsRAsoo3PMD的最小实现PMD的维数最小的一类实现称为最小实现。(1)最小实现的时间域条件设(A,B,C,D(p))为(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个实现，则有(A,B,C,D(p))为最小实现⇔(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测(9-59)(2)最小实现的复频域条件设(A,B,C,D(p))为(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个维数为n=degdetP(s)的实现，则有(A,B,C,D(p))为最小实现⇔(P(s),Q(s),R(s),W(s))不可简约(9-60)证下一节将会证明，对(P(s),Q(s),R(s),W(s))及其实现(A,B,C,D(p))，有(A,B)完全可控⇔(P(s),Q(s))左互质(A,C)完全可观测⇔(P(s),R(s))右互质基此，并利用上述“最小实现的时间域条件”，即可证得(A,B,C,D(p))为最小实现⇔(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测⇔(P(s),Q(s))左互质，(P(s),R(s))右互质⇔(P(s),Q(s),R(s),W(s))不可简约(3)最小实现的不惟一性(4)最小实现的复频域构造方法对于PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其最小实现(A,B,C,D(p))可按如下方法构造：首先，导出PMD的一个不可简约PMD；然后，按具体需要和情形，为不可简约PMD构造控制器型、观测器型、可控性型或可观测性型实现。PMD的最小实现(A,B,C,D(p))不惟一，但必须具有相同的维数。设(A,B,C,D(p))为(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个最小实现，T为与A同维的任一非奇异常阵，则(TAT-1,TB,CT-1,E(p))也必为一个最小实现。,,,CBA11,,CHCHBBHAHA最小实现之间具有代数等价性，即，若(A,B,C,D(p))和(D(p))是(P(s),Q(s),R(s),W(s))的维数为n的两个任意最小实现，则必可构造出一个特定n×n非奇异常阵H，使下式成立9.3PMD的互质性和状态空间描述的可控性与可观测性可控性、可