第9讲函数模型及其应用

第9讲函数模型及其应用一、填空题1．某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不给予折扣；②如一次购物超过200元而不超过500元，按标准价给予九折优惠；③如一次购物超过500元，其中500元的部分给予九折优惠，超过500元的剩余部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元．如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为________元．解析设购物应付款x元，实际付款y元，则由题意知：y＝x0＜x≤2000.9x200＜x≤5000.85x＋25x＞500，那么该人两次实际购物应付款分别为x1＝176元，x2＝432÷0.9＝480元，则x1＋x2＝656元，如果他只去一次，则应该付款y＝0.85×656＋25＝582.6元．答案582.62．从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．解析所倒次数1次，则y＝19；所倒次数2次，则y＝19×1920，……，所倒次数x次，则y＝191920x－1＝201920x.答案y＝201920x3．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文为________．解析依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案44．某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式为________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，……x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案y＝a(1＋r)x，x∈N*5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应分别为________．解析由三角形相似，得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，所以S＝xy＝－54(y－12)2＋180，所以当y＝12时，Smax＝180，此时x＝15.答案15,126．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为________．解析令18a＝aent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案107．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王的存款到期利息为________元．解析依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝12×12＋12ar＝78ar元．答案78ar8．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入一年总投资)．解析本题考查了函数的实际应用．当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x20时，y＝260－100－x＝160－x.故y＝－x2＋32x－100，0x≤20，160－x，x20(x∈N*)．当0x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x20时，160－x140，故x＝16时取得最大年利润．答案y＝－x2＋32x－100，0x≤20，160－x，x20(x∈N*)；169．某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为________．解析设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝54a，所以y＝b·20%·x＝54a·20%·x，即y＝a4x(x∈N*)．答案y＝a4x(x∈N*)10.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．①则第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)＝________.②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．则服药一次后治疗有效的时间是________小时．解析①设y＝kt，0≤t≤1，12t－a，t＞1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，由121－a＝4得a＝3.则y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t＞1.②由y≥0.25得0≤t≤1，4t≥0.25或t＞1，12t－3≥0.25，解得116≤t≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．答案①y＝4t，0≤t≤1，12t－3，t＞1②7916二、解答题11．即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通．根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次．每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指火车运送的人数)解设这列火车每天来回次数为t次，每次拖挂车厢n节，则设t＝kn＋b.由16＝4k＋b，10＝7k＋b，解得k＝－2，b＝24.所以t＝－2n＋24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y人，则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2640n)．当n＝2640440＝6时，总人数最多为15840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人．12．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y＝10x－3ax＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．解：(1)对于函数模型y＝f(x)＝x150＋2，当x∈[10,1000]时，f(x)为增函数，f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝203＋29，所以f(x)≤9恒成立，但当x＝10时，f(10)＝115＋2105，即f(x)≤x5不恒成立，故函数模型y＝x150＋2不符合公司要求．(2)对于函数模型y＝g(x)＝10x－3ax＋2，即g(x)＝10－3a＋20x＋2，当3a＋200，即a－203时递增，为使g(x)≤9对于x∈[10,1000]恒成立，即要g(1000)≤9,3a＋18≥1000，即a≥9823，[来源:学科网ZXXK]为使g(x)≤x5对于x∈[10,1000]恒成立，即要10x－3ax＋2≤5，即x2－48x＋15a≥0恒成立，即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1000])恒成立，又24∈[10,1000]，故只需15a－576≥0即可，所以a≥1925.综上，a≥1925，故最小的正整数a的值为39.13．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；③每户每月的定额损耗费a不超过5元．(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)一417二523三2.511试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．解：(1)依题意，得y＝9＋a，0x≤m，*9＋nx－m＋a，xm，**其中0a≤5.(2)∵0a≤5，∴99＋a≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．将x＝4，y＝17和x＝5，y＝23分别代入(**)得17＝9＋n4－m＋a，23＝9＋n5－m＋a.两式相减，得n＝6.代入17＝9＋n(4－m)＋a得a＝6m－16.又三月份用水量为2.5立方米，若m2.5，将x＝2.5，y＝11代入(**)，得a＝6m－13，这与a＝6m－16矛盾．∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量，将x＝2.5，y＝11代入(*)得11＝9＋a.由a＝6m－16，11＝9＋a解得a＝2，m＝3.所以，该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，m＝3，n＝6，a＝2.14．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝24003x＋5＋3x＋5－10≥2×2400－10＝70(当且仅当4003x＋5＝3x＋5，即x＝5时，“＝”成立)，所以当x＝5时，f(x)min＝f(5)＝70.故隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.