第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及答案

第1页（共6页）首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz，2:11Lxyz，3:11Lxyz的圆柱面的方程.二、（20分）设nnC是nn复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa.（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，若AFFA，证明：121112111nnnnAaFaFaFaE；（2）求nnC的子空间()|nnCFXCFXXF的维数.三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换.如果fggff，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.四、（10分）设()nfx是定义在,ab上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,ab上满足'()nfxM.（1）证明()nfx在,ab上一致收敛；（2）设()lim()nnfxfx，问()fx是否一定在,ab上处处可导,为什么？五、（10分）设320sinsinnntatdtt，证明11nna发散.六、（15分）(,)fxy是22(,)|1xyxy上二次连续可微函数，满足222222ffxyxy，计算积分2222221xyxfyfIdxdyxyxyxy.七、（15分））假设函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点(0,(0))Af，与点(1,(1))Bf的直线与曲线()yfx相交于点(,())Ccfc，其中01c.证明：在(0,1)内至少存在一点，使()0f。第2页（共6页）首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学类，2010）考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分.一、填空题（共8分，每空2分.）(1)设0，则2220xxdxeex=_____________.(2)若关于x的方程211(0)kxkx在区间(0,)内有惟一实数解，则常数k_____________.(3)设函数()fx在区间[,]ab上连续.由积分中值公式有()()()xaftdtxaf()axb.若导数()fa存在且非零，则limxaaxa的值等于_____________.(4)设()6abc，则()()()abbcac=_____________.二、（10分）设()fx在(1,1)内有定义，在0x处可导，且(0)0f.证明:21(0)lim2nnkkffn.三、（12分）设()fx在[0,)上一致连续，且对于固定的[0,)x。当自然数n时()0fxn。证明:函数序列{()1,2,}fxnn：在[0,1]上一致收敛于0.四、（12分）设22{(,):1}Dxyxy，(,)fxy在D内连续，(,)gxy在D内连续有界，且满足条件：(1)当221xy时，(,)fxy；(2)在D中f与g有二阶偏导数，2222fffexy,2222gggexy。证明：(,)(,)fxygxy在D内处处成立.五、（10分）设{(,):01;01}Rxyxy，{(,):01;01}Rxyxy.考虑积分1RdxdyIxy，1RdxdyIxy，定义0limII。（1）证明211nIn；（2）利用变量替换：1()21()2uxyvyx计算积分I的值，并由此推出22116nn.第3页（共6页）六、（13分）已知两直线的方程：:Lxyz，:11xyzbLa.（1）问：参数,ab满足什么条件时，L与L是异面直线？（2）当L与L不重合时，求L绕L旋转所生成的旋转面的方程，并指出曲面的类型.七、(20分)设,AB均为n阶半正定实对称矩阵，且满足1ranknAn.证明:存在实可逆矩阵C使得TTCACCBC和均为对角阵.八、(15分)设V是复数域C上的n维线性空间，:jfVC(1,2j)是非零的线性函数。且线性无关.证明:任意的V都可表为12。使得112()()ff，221()()ff.参考答案（精简版）首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类，2009）一、（15分）求经过三平行直线1:Lxyz，2:11Lxyz，3:11Lxyz的圆柱面的方程.解：先求圆柱面的轴0L的方程.由已知条件易知，圆柱面母线的方向是(1,1,1)n，且圆柱面经过点(0,0,0)O，过点(0,0,0)O且垂直于(1,1,1)n的平面的方程为：0xyz.……………………………（3分)与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)OPQ…………（5分)圆柱面的轴0L是到这三点等距离的点的轨迹，即222222222222(1)(1)(1)(1)xyzxyzxyzxyz，即11xzyz，……………………………………………（9分)将0L的方程改为标准方程11xyz.圆柱面的半径即为平行直线xyz和11xyz之间的距离.0(1,1,0)P第4页（共6页）为0L上的点.……………………………………………………………….（12分)对圆柱面上任意一点(,,)Sxyz，有00||||||||nPSnPOnn，即222(1)(1)(2)6yzxzxy，所以，所求圆柱面的方程为：222330xyzxyxzyzxy.……………….（15分)二、（20分）设nnC是nn复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，121000100010001nnnaaFaa.（1）假设111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa，若AFFA，证明：121112111nnnnAaFaFaFaE；（2）求nnC的子空间()|nnCFXCFXXF的维数.（1）的证明:记12(,,,)nA，121112111nnnnMaFaFaFaE.要证明MA，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ie记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，()iiiMeAe.………………………（2分)若记11(,,,)Tnnaaa，则23(,,,,)nFeee.注意到，21212123111,,,()nnnnFeeFeFeeFeFFeFee（*）…..（6分)由12111121111121111121111111112121111...............................................(10()nnnnnnnnnnnnMeaFaFaFaEeaFeaFeaFeaEeaeaeaeaeAe分）知211112MeMFeFMeFAeAFeAe第5页（共6页）2222311113MeMFeFMeFAeAFeAe11111111nnnnnnMeMFeFMeFAeAFeAe所以，MA.…………………………..（14分)（2）解：由（1），21(){,,,,}nCFspanEFFF，…………（16分)设210121nnxExFxFxFO，等式两边同右乘1e，利用（*）得21101211()nnOexExFxFxFe21011121110112231.........................(18nnnnxEexFexFexFexexexexe分）因123,,,,neeee线性无关，故，01210nxxxx…………（19分)所以，21,,,,nEFFF线性无关.因此，21,,,,nEFFF是()CF的基，特别地，dim()CFn.……………………………（20分)三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（0n），,fg是V上的线性变换.如果fggff，证明：f的特征值都是0，且,fg有公共特征向量.证明：假设0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即0|()WVf.于是，W在f下是不变的.…………………………（1分)下面先证明，0=0.任取非零W，记m为使得2,(),(),,()mggg线性相关的最小的非负整数，于是，当01im时，2,(),(),,()iggg线性无关…..（2分)01im时令21{,(),(),,()}iiWspanggg,其中，0{}W.因此，dimiWi（1im），并且，12mmm.显然，1()iigWW，特别地，mW在g下是不变的.………………（4分)下面证明，mW在f下也是不变的.事实上，由0()f，知00()()()()fggffg…………（5分)第6页（共6页）200002000(6.............................()()()(())(())()2()fggfgfgggggg分）根据1111()()()()()()kkkkkfggfgfggfgfg用归纳法不难证明，()kfg一定可以表示成2,(),(),,()kggg的线性组合，且表示式中()kg前的系数为0.………………………………….（8分)因此，mW在f下也是不变的，f在mW上的限制在基21,(),(),,()mggg下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是0，因而，这一限制的迹为0m.…..（10分)由于fggff在mW上仍然成立，而fggf的迹一定为零，故00m，即0=0.…………………………..（12分)任取W，由于()f，()()()()()fggffgf，所以，()gW.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是,fg的公共特征向量.……………………………….（15分)四、（10分）设()nfx是定义在,ab上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,ab上满足'()nfxM.（1）证明()nfx在,ab上一致收敛；（2）设()lim()nnfxfx，问()fx是否一定在,ab上处处可导,为什么？证明：（1）0，将区间,abK等分，分点为(),0,1,2,,jjbaxajKK，使得baK.由于()nfx在有限个点,0,1,2,,jxjK上收敛，因此N，mnN，使得()()mjnjfxfx对每个0,1,2,,jK成立.…………………………..（3分)于是[,]xab，设1[,]jjxxx，则()()()()()()()()mnmmjmjnjnjnfxfxfxfxfxfxfxfx，'()()()()'()()mjmjnjnjfxxfxfxfxx21M.…（5分)第7页（共6