第一章-5-飞行动力学-飞机的纵向运动.

第一章飞行动力学第八节飞机的纵向运动北京航空航天大学自动化学院张平2012，3一、纵向运动方程纵向运动飞机在自身对称面内运动：升降、加减速、俯仰纵向运动的外力与力矩1、发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T重心对推力线的垂距为zT，当重心在推力线之上zT为正值时，推力T对重心之矩为正2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正；3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正；4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。5、重力G，永远指向地心。一、纵向运动方程由受力图可得方程组:第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率第三式是绕oy轴的转动动力学方程，第四式与第五式是补充几何关系。注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。速度的切向方向-速度的法向方向-cos()sinsin()cosTTayTdVmTDGdtdmVTLGdtdqIMTzdtdqdt1.纵向方程1）法向方程d/dt=an的由来：飞机质心速度V由理论力学，法向加速度an=V2/R，式中：V-切向速度，R-重心轨迹曲率半径由于速度为轨迹弧长对时间的导数：V=ds/dt,微段弧长：s=R,取微分为：ds=Rd,因此有：21nVVdsRddaVVVVRRRdtRdtdt2.切向方程巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上是一个很小的角度，所以3.纵向方程推力远小于重力，第二式中：，可忽略所以纵向方程：cos()1T1022sincosayTdVmTDGdtdmVLGdtdIMTzdt二、纵向运动方程的线性化推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转角有关阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角）有关俯仰力矩：,还与动导数有关基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略简化的力与力矩：(,,,,,)aaeMMVq(,)(,,)(,)(,,,,)TeaaeTTVLLVDDVMMVq各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一阶项,得令得到力与力矩的线性化描述：0000TVTVeeVaaaaaaaVeeqTTTVTLLLVLLDDDVDMMMVMMMMq(一)切向动力学方程的线性化切向加速度：，基准运动航迹倾角0=0，故且则第一式的线性化方程为由于有=-，0=0-0=0，所以有：=-代入上式：式中，—无因次速度Tv，TT可由发动机特性曲线求出Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出也可写成：TVTdVXVXXXdtXVXX-XT1(sin)dVTDGdtm(二)法向动力学方程的线性化法向加速度为对于等速直线平飞的基准运动有代入几何关系得：考虑升力表达式代入得对于基准运动，有L0-G=0，而cos=1则式中，Lv，L，Le是升力对速度、迎角和升降舵偏角的偏导数令也可写成：高阶小量000coseVeddmVmVLLVLLGdtdtdqdtZZV-ZeeVedZZVqZdt00（三）绕oy轴转动动力学方程的线性化由基准运动可知：代入力矩：可得整理后得令可得：或dqdtdq/dtqMMV-Me-MTMqMeTeTVqeTVqeTdqMVMMMqMMdtdqMVMMMqMMdt控制力矩纵向方程描述归纳纵向4阶状态方程系数矩阵—雅可比矩阵令p=d/dt，可得另一种描述：式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）；而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）；上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dtTVTdVXVXXXdteVedZZVqZdtdqdteTVqeTdqMVMMMqMMdt纵向方程系数表示式大导数的意义与计算公式三、纵向扰动运动的两种典型模态以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机恢复到基准运动的过渡过程。完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵:主要的结构参数及纵向气动参数：代入纵向方程研究初始条件为t=0时，的扰动运动的解。(一)扰动运动的解用拉氏变换求解，令考虑到前面给出的初始条件，有代人微分方程组，得拉氏变换代数方程组：方程的系数行列式(特征行列式)为展开系数行列式，得特征多项式：分解因式得:有两对极点：1,23,40.73222.8998,0.0060.038sjsj接近原点分母行列式：各分子行列式为：求分子的变量的那一列用方程右边的列代入分解为两项之和：可计算受扰动时的响应经拉氏反变换即得相应的函数。设得V、和扰动运动过程曲线—扰动响应：可通过d/dt得到q的响应曲线，与接近，q变化快—短周期运动V，变化慢—长周期运动(二)两种扰动运动模态短周期模态：，q，对应一对大共轭复根长周期模态：V，，对应一对小共轭复根固定翼飞机(或导弹)的纵向扰动运动都具有上述长、短周期模态的特点。物理成因:飞机受到外界扰动后，出现不平衡的外力和外力矩，外力要改变飞行速度是不易的。外力矩改变迎角(包括俯仰角)比较容易。从飞机方程可知，有迎角扰动：时，，q表明飞机的角度运动，Iy小，改变容易，快V，表明飞机的轨迹运动，G大，改变慢1,23,40.73222.8998,0.0060.038sjsj长周期运动—飞机的沉浮运动设短周期运动结束后，飞机的航迹倾斜角为负值，即飞机向下滑在重力沿轨迹切线方向分力（）的作用下逐渐加速，速度增加则动压增大，升力也增大。当LG,轨迹向上弯曲轨迹向上则重力分力又使飞机减速，动压又逐渐减小。LG时轨迹向下弯曲。这种交替变化，实际上就是飞机动能与位能的交替转换，表现为速度V与轨迹角的振荡运动。起恢复作用和起阻尼作用的气动力远远小于飞机质量(ｍ)，因此振荡周期长、衰减慢—长周期模态的特点。在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为沉浮运动。区分长短周期对于简化、分析和设计系统有很重要的意义。四、关于模态的概念模态，即运动的基本动态形式，是线性时不变系统的固有特性。线性系统中，一个模态对应一个实根或一对共轭复根，实根对应单调过程，复根对应振荡过程。同一个模态的扰动响应与跟踪响应的动态过程相同。高阶系统有多个模态，各模态相互独立，总的运动是各模态的线性叠加。同一个模态各运动参数的幅值有固定的比例关系，各运动参数之间的相位差也是固定的，并以同一个频率，同一个衰减速率(或增长速率)运动。（如短周期和q；长周期V和）。不同的初始条件只影响各模态的系数大小，而不影晌同一模态中不同运动参数间的幅值比例关系。飞机的纵侧向运动都用模态的概念来描述，各个模态的数学描述对应着不同的飞行的基础物理运动。五、纵向运动的传递函数扰动运动—齐次微分方程，无输入，起始条件响应传递函数—输入输出关系，操纵响应(一)纵向运动的传递函数（仅考虑e输入）纵向方程中，令油门杆输入T=0，各变量初始条件为0，以e为输入，V为输出的传递函数：各系数定义：p,p,TV—长周期参数阻尼比、振荡频率时间常数s,s，T*—短周期参数阻尼比、振荡频率时间常数以e为输入，为输出的传递函数：以e为输入，为输出的传递函数：三个传递函数的分母多项式△(s)即纵向扰动运动的特征多项式。是两个二次因式之积，分别代表长周期和短周期运动模态。在某些情况下，长周期模态可能变成一正一负的两个实根，其中正实根是不稳定的，表现为单调发散运动。短周期模态在一般情况下不会变成不稳定，只有重心移到焦点之后的飞机，短周期模态才变成一正一负两个实根，其中正实根表征不稳定的单调发散运动，且单调发散的指数比较大。(二)传递函数及其频率特性某飞机，有关数据如下:各大导数：代入传递函数：传递函数与的传递系数均为负值，表示负的e产生正和正。对数频率特性图1V/e：短周期固有频率上的幅值远小于长周期固有频率上的幅值，说明短周期响应中飞行速度的变化很小。图2/e：在短周期频率范围内，的频率特性接近于一个二阶振荡环节，主要反映短周期频率特性。图3/e：长、短周期固有频率上均有相当的数值，说明无论是以长周期频率操纵飞机，还是以短周期频率操纵飞机，都会产生相当数量的变化。短周期固有频率s长周期固有频率p短周期s升降舵e脉冲偏转响应在短周期运动中，V和H的幅值变化很小，长周期运动中的幅值几乎为零。因此可将短周期运动和长周期运动分开处理，使分析过程大为简化。摄动理论用于纵侧向解耦设计非线性动态逆设计短周期响应长周期响应六、短周期运动的近似传递函数纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞行速度变化不大，可以认为速度增量V=0。纵向运动方程式中第一式(切向力方程)可以删去，其他两式当V=0时，得经拉氏变换，得：简化后为二阶系统.分母上有一个积分环节用q就没有分母上的s了常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上，平尾上的舵面小偏转引起的法向力足以产生较大的纵向控制力矩。从工程近似的意义上来说，可认为Ze=0，分母上的s消失传递函数进一步简化为：力矩方程不变：q/e另外依据航迹倾斜角增量，和的关系：也可得到：短周期简化模型便于研究飞机参数与动态过程的关系短周期运动的近似传递函数（续）+七、长周期运动的近似传递函数长周期模态主要是飞机质心的轨迹运动。与短周期相比，长周期运动响应的各参数变化缓慢得多，因此在长周期运动期间，短周期动态过程已基本结束，对短周期模态起重要作用的纵向转动方程基本上处于静力矩平衡状态。第三式中忽略动态惯性力矩项和阻尼力矩项，微分方程式变成代数方程式：变成二阶系统，且Ze=0长周期近似传递函数：展开行列式，得：代数方程直接代入行列式可用MATLAB的符号语言求解传递函数由第三个代数方程式，可得代入速度V对舵面的传递函数，代入给定数据，得：右图：V/e,/e,/e表明，二阶简化系统与未简化（三阶）系统的频率特性在低频段（低于1rad/s）几乎完全一致，高频段差别增大左图：升降舵脉冲偏转的长周期近似响应。从图中可看出，短周期结束后二阶简化系统与未简化系统的时间响应相差不大。八、定速静稳定与定载静稳定定速静稳定性Cm=Cm/0马赫数M为常值V=常值的情况下，迎角变化引起俯仰力矩变化而决定的静稳定性，表明当变化引起升力L变化时，过载nz=L/G也变化，也叫按过载的静稳定性，是短周期模态稳定的决定因素。定载静稳定性由CmM—俯仰力矩随M数变化的关系导出。飞行速度增加时，为满足nz=1，则迎角减小，为负，由可知，产生抬头力矩阻止迎角减小，同时使阻力增大，飞行速度减小。反之，若，则速度增加时，nz=1，仍为负，此时飞机低头而迎角进一步减小，也使阻力减小而飞行速度进一步增加，速度不稳定。也称作按速度的静稳定性，是长周期模态稳定的决定因素飞机进入跨音速区，长周期不稳，需要“M数保持”控制10zmmndCCd