第一章12充分条件与必要条件

返回1.2充分条件与必要条件返回[提出问题]分条件与必要条件在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？提示：一定亮．问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C开关闭合．返回[导入新知]充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系Pqpq条件关系p是q的条件q是p的条件Pq的充分条件qp的必要条件⇒充分必要不是不是返回[化解疑难]1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.返回充要条件[提出问题]如图是一物理电路图．提示：一定闭合．问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：p⇔q.问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？返回[化解疑难]根据充要条件的意义，如果原命题“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”都是真命题，那么p，q互为充要条件．返回充分条件、必要条件、充要条件的判断[例1]判断下列各题中p是q的什么条件．(1)在△ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)p：x1，q：x21；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：ab，q：ab1.返回[解](1)由三角形中大角对大边可知，若AB，则BCAC；反之，若BCAC，则AB.因此，p是q的充要条件．(2)由x1可以推出x21；由x21，得x－1，或x1，不一定有x1.因此，p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．返回(4)由于ab，当b0时，ab1；当b0时，ab1，故若ab，不一定有ab1；当a0，b0，ab1时，可以推出ab；当a0，b0，ab1时，可以推出ab.因此p是q的既不充分也不必要条件．返回[类题通法]充要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．返回[活学活用]指出下列各组命题中，p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.返回解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.返回[例2]试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.充要条件的证明[证明](1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac0，x1x2＝ca0(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.返回(2)充分性：由ac0可推得Δ＝b2－4ac0及x1x2＝ca0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.返回[类题通法]充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．返回(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．返回[活学活用]已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.证明：(1)必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0，又由xy，得y－x0，所以xy0.(2)充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.综上所述，1x1y的充要条件是xy0.返回充分、必要条件的应用[例3]已知关于x的不等式p：|2x－3|m，q：x(x－3)0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是什么？[解]设|2x－3|m，x(x－3)0的解集分别为A，B.由题意知B＝{x|0x3}．当m≤0时，A＝∅，符合题意；当m0时，A＝x3－m2x3＋m2，因为3－m2＝0，即m＝3时，3＋m2＝3，A＝B，返回所以要使AB，应有3－m20，3＋m23，m0，得0m3.综上，实数m的取值范围是(－∞，3)．返回[类题通法]根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．返回[活学活用]已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|x2－4x＋30}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．解：由题意知，Q＝{x|1x3}，QP，所以a－4≤1，a＋4≥3，解得－1≤a≤5.故实数a的取值范围是[－1,5].返回1.诠释充要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．返回1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：返回[例1]已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件返回[解析]依题意得f(x)＝a2x2＋2(a·b)x＋b2.由函数f(x)是偶函数，得a·b＝0，又a，b为非零向量，所以a⊥b；反过来，由a⊥b得，a·b＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函数f(x)是偶函数．综上所述，“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，选C.[答案]C返回[活学活用]“sinα＝12”是“cos2α＝12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件返回解析：由cos2α＝12可得sin2α＝14，即sinα＝±12，故sinα＝12是cos2α＝12的充分不必要条件．答案：A返回2．等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：返回[例2]已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．[解析]綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p⇒綈q，而綈q⇒/綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．[答案]必要不充分返回[活学活用]“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．答案：必要不充分返回3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：返回[例3]指出下列命题中，p是q的什么条件．(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x2；(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.[解](1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x2}．显然，AB，所以p⇒q，但q⇒/p，即p是q的充分不必要条件．返回(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．返回[活学活用]一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a0B．a0C．a－1D．a1返回解析：∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴Δ0，x1x20，即4－4a0，1a0，解得a0.由于{a|a－1}{a|a0}，故选C.答案：C返回[随堂即时演练]1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．答案:B返回2．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，∴a·b＝a·c⇒/b＝c；反之，b＝c⇒a·b＝a·c.答案：B返回3．已知M＝{x|0x≤3}，N＝{x|0x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．解析：∵由a∈M⇒/a∈N，但a∈N⇒a∈M，∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．答案：必要不充分返回4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－23.答案：－23返回5．已知M＝{x|(x－a)21}，N＝{x|x2－5x－240}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．解：由(x－a)21，得a－1xa＋1，由x2－5x－240，得－3x8.∵N是M的必要条件，∴M⊆N.于是a－1≥－3，a＋1≤8，从而可得－2≤a≤7.故a的取值范围为[－2,7]．返回[课时达标检测]