第一章函数极限和连续

1微积分（高等数学）上册2参考书目1.《高等数学》（第六版）同济大学数学系，2.《高等数学》学习指导，同济大学编写的《高等数学》配套指导书。31.集合的表示:(1)列举法：A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)描述法：M={(x,y)|x2+y2=1}。2.常用集合符号:N表示自然数集合，简称自然数集。R表示实数集合，简称实数集。Z表示整数集合，简称整数集。Q表示有理数集合，简称有理集。3.关系：NZ，ZQ，QR。第一章函数、极限与连续41.开区间：(a,b)={x|axb}。xOab(a，b)2.闭区间：[a,b]={x|axb}。xOab[a，b]3.半开区间：[a,b)={x|axb}及(a,b]={x|axb}xOab[a，b)xOab(a，b]区间:4.有限区间：上述三类区间称为有限区间。其中a和b称为区间的端点，b-a称为区间的长度。5xOa[a，+)xOb(-，b](-,b]={x|xb}，(-,+)整个数轴[a,+)={x|ax}，5.无限区间：xOb(-，b)(-,b)={x|xb}，(a,+)={x|ax}，axO(a，+)6邻域:1.点a的邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。2.点a的邻域:称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，U(a,)={x|a-xa+}={x||x-a|}。其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。3.去心邻域:记为(a,)={x|0|x-a|}。UxOa-a+U(a,)，xOa-a+(a，)Ua71.函数设数集DR，则称映射为定义在D上的函数，记为y=f(x)，xD。其中x叫做自变量，y叫做因变量，D叫做函数的定义域。2.映射设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的映射，记作:fDR:fXY8函数要素与定义域：1.f(x)=sinx,x[0,1]；2.圆的面积公式f(x)=，x半径2xπ3.f(x)=2141xx+--95.函数的值域：所有函数值的集合称为函数的值域W={y|y=f(x)，xD}。3.函数的定义域：（1）给定定义域：y=f(x)，xD；（2）实际定义域：根据函数表示的实际意义确定的定义域（3）自然定义域：使函数表达式（解析式）有意义的一切实数值集合。4.函数值：当x取数值x0D时，与x0对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记为f(x0)。10),0(+=xxy称为，多值函数.注：1多值函数不是函数2不作特别声明的情况下，我们所说的函数指的都是单值函数。定义：多值函数11分段函数:定义:用公式法表示函数时,有时需要在自变量不同的取值范围中用不同的表达式来表示一个函数,则称为分段函数.例1-==010001sgnxxxy(符号函数)-==00xxxxxy例2（绝对值函数）xyo11-12例3称函数y=[x]为取整函数-5-4-3-2-1O12345xy54321-1-2-3-4-5y=[x][3.5],[0.2],[0.8],[3.9]--计算下列取整函数值132.函数的几种特性:1.奇偶性:)()(xfxf-=-)(xf为奇函数.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称任意两点1x及2x,当21xx时,,恒有)()(21xfxf2单调性:)(xfy=在区间I上有定义,如果对于I上设函数)()(xfxf=-)(xf为偶函数.14单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.(或)()(21xfxf)则)(xf称在区间I上是单调增加的.减少的)(或(3).周期性:零常数T,使得对任一xD有.xTD+且()()fxTfx+=恒成立，则称)(xf是周期函数。T通常只的是函数最小的正周期.)(xfy=的定义域为D.如果存在一个非设函数15图象特点：y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy（4）有界性1上界：若存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数f(x)在X上的一个上界。162.下界如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方y=Ky=f(x)Oxy17有界函数的图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=-M和y=M的之间。3有界：若存在数M，使对任一xX，有|f(x)|M，则称函数f(x)在X上有界；4无界：如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在x1X，使|f(x)|M。y=f(x)Oxyy=-Ky=K18Oxy12y=1/x函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数特点：函数f(x)=1/x在(0,1)内有下界，无上界。此函数在(1,2)内是有界的。190x0y0x0yxyDR)(xfy=函数oxyDR)(yx=反函数o习惯上,反函数x=(y)写成y=(x)=f-1(x).1.反函数：设有函数y=f(x)(xD)，其值域R=f(D).若对于R中每一个y值,都可由方程f(x)=y确定唯一的x值:x=(y),称为y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),读“f逆”。3.反函数与复合函数.20Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y结论：单调函数存在反函数求反函数解析式的方法：将原函数用x表示y转化为用y表示x，对x和y互换，得到的函数就是所求的反函数。2.反函数存在的条件：什么样的函数存在反函数？21)(xfy=直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy=反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy=22(2).复合函数:.u称为中间变量.)]([xfy=记作)(ufy=的定义域为,函数定义1.1.3若函数1D)(xu=在2D上有定义,而}),({22Dxxuuw==且12Dw.因此,对于这个u值,通过函数)(ufy=有确定的y值与之对应，这样,对于任一2Dx,通过u有确定的y的值)(ufy=和)(xu=复合而成的复合函数.到一个以xy为自变量,为因变量的函数.称这个函数为与之对应,从而得23)))))2,0,2,0,fxfxgfxfxfx-=+解:22,0,2,0.xxxx+=+例2求复合函数例1求复合函数)))22,0,,0,.2,0,,0,xxxxgxfxfxxxxx-==+-设求g)))22,0,,1,.2,0,,1,xxxxgxfxgfxxxxx-==+-设求24基本初等函数1）幂函数)(是常数=xy2）指数函数)1,0(=aaayx3）对数函数)1,0(log=aaxya4）三角函数;cosxy=;sinxy=5）反三角函数;arccosxy=;arcsinxy=;cotxy=;tanxy=;arctanxy==ycotarcx初等函数:基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算和有限次函数的复合运算所得到的并可用一个解析表达式表示的函数，称为初等函数.25基本初等函数1.幂函数)(是常数xy=oxy)1,1(112xy=xy=1yx=xy=262.指数函数)1,0(=aaayxxay=xay)1(=)1(a)1,0(xey=273.对数函数)1,0(log=aaxyaxyln=xyalog=xya1log=)1(a)0,1(284.三角函数正弦函数xysin=xysin=o29xycos=xycos=余弦函数o30正切函数xytan=xytan=o31xycot=余切函数xycot=o32正割函数xysec=xysec=o33xycsc=余割函数xycsc=o345.反三角函数xyarcsin=xyarcsin=反正弦函数o35xyarccos=xyarccos=反余弦函数o36xyarctan=xyarctan=反正切函数xy22-37幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycotarc=反余切函数xycot=arco38其中r表示点P到极点O的距离,表示射线OP与极轴正向的夹角，称做极角.这里5.极坐标在平面上定义由一定点和一条定轴所组成的坐标系称为极坐标系，其中定点称为极点，定轴称为极轴.如图坐标系中的点P用有序数(r,)表示.r≥0,02.x39若取极点作为原点，极轴作为x轴建立直角坐标系，这样得到极坐标与直角坐标的关系：或(2)x=rcos，y=rsin(1)建立r与关系的等式称为极坐标方程，如r=1，表示圆心在极点，半径为1的圆.22,arctan.yrxyx=+=利用式(1)、(2)可以把直角坐标方程和极坐标方程进行互化.xyo),Pryrx40r2=2rcos,例将极坐标方程r=2cos解方程两边同乘以r得化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线.则x2+y2=2x(x-1)2+y2=1,所以它表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.1xy