胞映射方法的研究和进展-2-28

1胞映射方法的研究和进展徐伟【1】*孙建桥【2】贺群【3】【1】西北工业大学，西安；【2】美国加州大学Merced分校，天津大学力学系【3】西安武警技术学院摘要本文介绍了胞映射方法的研究和进展。归纳了目前胞映射方法的几种主要研究方法,主要包括简单胞映射、广义胞映射、图胞映射、图胞映射的符号分析方法、图胞映射的面向集合方法、邻接胞映射、庞加莱型的简单胞映射、插值胞映射以及参照点映射方法，分析了各类方法的基本特点和特色,简述了这几种胞映射方法的最新国内外进展；综述了胞映射方法在控制及相关领域的应用研究及进展；给出了胞映射方法研究的一些展望，提出了胞映射方法研究可能率先突破的几个研究方向。关键词:胞映射方法,全局分析，控制及相关领域Abstract：Thispaperintroducestheresearchanddevelopmentofcellmappingmethod.Severalmaincellmappingmethodsaresummarized,includingsimplecellmapping,generalizedcellmapping,digraphcellmapping,symbolicanalysismethodofdigraphcellmapping,set-orientedmethodofdigraphcellmapping,adjoiningcellmapping,Poincare-likesimplecellmapping,interpolatedcellmappingandpointmappingundercellreference.Forthesemethods,thebasicfeaturesandcharacteristicsareanalyzedandthedomesticandforeignresearchdevelopmentsarestated.Furthermore,theresearchdevelopmentsofcellmappingmethodoncontrolanditsrelatedfieldsarepresented.Finally,thepaperbringsforwardsomeresearchprospectsandsomedirectionsthatmaybebrokenthroughfirstintheresearchfieldofcellmappingmethod.Keywords:cellmappingmethod,globalanalysis,controlanditsrelatedfieldCorrespondingAuthors:徐伟Email:[e-mail]非线性系统的动力学特性分析[1-3]可分为：局部分析和全局分析。局部分析通常关注的是周期解和解的稳定性，以及参数变化对解的影响；全局分析主要关注各个吸引子及其吸引域的空间位置，不稳定解的稳定与不稳定流形，以及参数变化对相空间全局结构的影响。由于全局分析能够使人们获得非线性系统的更多信息，因此对系统进行全局分析是一项非常重要的工作。2非线性系统的全局分析方法可以分为解析方法和数值方法。解析方法中较为著名的是Melnikov方法[1,4,5]，该方法通过度量系统稳定流形与不稳定流形之间的距离，并经过一阶近似简化后成为Melnikov函数，然后判断它是否存在简单零点，如果存在则表明系统的稳定流形和不稳定流形横截相交而形成Smale马蹄[6]，从而导致混沌的出现。由于适用于该方法的系统需要满足一定的条件，如，未受扰动的平面可积系统存在双曲鞍点和连接鞍点的同宿轨道或异宿环，因此，它只适用于部分非线性系统。此外，由于非线性问题的“个性”很强，目前尚没有统一的求解方法，因此在对系统进行全局分析的研究工具中，数值方法一直占有重要的地位，它是人们进行全局分析的有效选择，也是工程和科学领域许多学者研究的主题。利用数值方法研究动力系统的全局特性，人们首先想到的是直接数值模拟法[7]，例如，若要确定相空间中系统的吸引子，可以从某一初始点出发数值积分，当充分长时间后系统的最终运动行为就确定了吸引子的位置，而所有可以到达该吸引子的初始点的集合就构成了该吸引子的吸引域。尽管这种方法直观明了，然而实施时却要耗费很长的时间，特别当系统存在多个吸引子及其吸引域时，为了不漏掉每个吸引子，需要在相空间内选取大量的初始点，当每个初始点出发的轨线演化充分长时间后再来确定吸引子的位置和个数，然后对所有初始点进行分类确定出吸引域。显然，通过直接数值模拟法对系统进行全局分析需要更长的时间，常常使人们无法忍受。因此，设计一些高效的数值方法对系统进行全局分析是十分必要的。胞映射方法就是基于上述目的而产生的一种有效的全局分析方法。一、胞映射方法的理论研究及进展胞映射方法最先由Hsu[8]在上世纪80年代初提出。方法一经出现，便以其所具有的快速、准确和适用范围广等特点而被众多研究者所关注，成为研究的热点。它的基本思想[9-11]是将动力系统状态空间离散化为许多小的几何体（胞），全部胞构成的集合形成胞空间。在将动力系统状态空间转化为胞空间后，动力系统中状态的转移就自然地对应成为胞之间的转移。进而通过对胞之间转移关系的研究完成对原动力系统的相应研究。这就是胞映射方法的基本思想。相对于直接数值模拟法，胞映射方法以胞作为研究单元，根据动力系统的转移关系形成胞之间的转移关系（胞映射动力系统）。对胞映射动力系统进行研究后，得到胞空间的分类。进而对分类结果进行动力学解释，完成对动力系统的相关研究。胞映射方法不是孤立地研究动力系统中每条轨线的演化，而是从整体上关注各状态胞之间的信息传递，避免了直接数值3模拟法简单孤立地对待所处理的信息，从而极大地提高了效率。此外，通过对状态胞之间转移信息的深入分析，可以获得直接数值模拟法较难得到的某些动力学行为（如：图胞映射方法分析中得到的不稳定解或鞍[12,13]）。而且，基于胞的概念，还可以对直接数值模拟法进行改进，得到更为高效的点映射方法[14-16]。事实上，先于Hsu提出胞映射方法，已有类似方法在相应的文献中出现过，正如《非线性动力学系统的数值研究》[17]一书中所指出的：“将状态空间（或称相空间）离散化的思想，在Kolmogorov（1959）和Sinai（1959）的著作中就可以找到。他们把状态空间加以分割，以便克服确定测度熵时遇到的困难。与先前研究者不同，Hsu是首先全面、系统地研究胞映射方法，并将其应用于各种确定性、随机非线性动力系统的动力学行为与控制研究中的学者。随后，受此启发，各国学者基于胞映射的思想发展出各种胞映射方法，发表了大量相关论文，并在科学与工程实际领域取得了丰富的成果。1、简单胞映射简单胞映射（SCM）[8]方法由Hsu在1980年首次提出。该方法的基本思想是将连续状态空间离散化为许多小的几何体（胞）,状态空间离散化为大量胞的集合，胞的集合构成胞状态空间并且被整序数所标识。对每一个胞的中心点进行短时积分（映射），则可以建立该胞与积分结果所达之胞的映射关系，从而就构造出一个基于胞空间上的映射，即胞映射动力系统。对简单胞映射动力系统进行分析，可求得运动方程的周期解及稳态解的吸引域。事实上，前面提到的直接数值模拟法也可以看作为某种程度的简单胞映射，因为对于实际中的一个点来说，由于有限截断和噪声等因素的影响，计算机无法将该点精确地表示出来，而计算机表示出来的只是该点邻域内某一点的位置信息（该邻域半径非常小）。简单胞映射方法实际上是从状态空间和映射方式上对原动力系统进行了简化。它最大的优点是它的含义简单明了，易于程序化，运行速度快，至今仍为许多从事实际研究工作的研究人员所喜爱。它的缺点在于由于每一个胞只有一个像胞与之对应，损失的原系统信息过多，故只能得到原系统动力学行为的一个近似描述（如对应于原系统的混沌运动，简单胞映射动力系统只能用有限周期的周期胞群来表征），有时甚至产生“伪解”。为了克服这一缺陷，需要采用较小尺寸的胞，合理选取映射点，更为重要的是需要使用者具有一定的经验。42、广义胞映射方法对于简单胞映射方法，一个胞中只有一个代表点，由于计算机处理能力的有限性，胞总是具有一定的几何体积（特别是受限于80年代的计算机处理能力，当时采用的胞结构较粗糙），仅用一个内点信息来近似动力系统，在一些情况下可能会产生很大的误差（如系统的吸引域边界具有分形结构时）。为了更准确地反映动力系统的真实信息，自然的想法是在每个胞中选取更多的代表点，广义胞映射方法（GCM）[18]就是这一想法的直接体现，它由Hsu在1981年提出。广义胞映射方法延续了简单胞映射方法将状态空间离散为胞空间的思想，但在建立胞与胞之间映射关系的过程中采用一个胞可以发出多条轨线，一个胞可以有多个像胞的方法；而在分析过程中，将广义胞映射动力系统等价于一个Markov链，采用Markov链的分析方法对广义胞映射动力系统进行分析。相比于简单胞映射方法，广义胞映射方法的这种改变优点在于：它不仅保留了原动力系统的更多信息，而且更能从统计意义上反映动力系统流的观点，其研究领域自然延伸到随机动力系统。广义胞映射方法不仅适用于研究系统的拓扑结构等定性性质，如计算系统的吸引子和吸引域、确定各吸引子的吸引域边界，还适用于从统计角度分析系统的定量性质，如吸引子的极限概率分布、奇怪吸引子的空间概率特征、熵演化的不变分布以及李雅普诺夫指数等，这些工作在Hsu的专著[9]都有详细介绍。1992年Hsu进一步推广了广义胞映射分析方法[10]，发现了瞬态过程中有着规律性层次结构，并将这些结构反映于Markov链的转移概率矩阵，构造了瞬态胞转移概率矩阵内结构的驻址基范式（domicile-basednormalform）；这一发现使得广义胞映射方法不仅可以刻画系统最终的动力学行为，同时也能够揭示系统瞬态过程的演化信息，适合控制与优化控制等研究领域。与简单胞映射方法相比，广义胞映射方法对于动力系统的描述有了本质的改进。通过对广义胞映射动力系统的研究，得到原动力系统的信息也就更多、更为深入。此外，该方法还是研究随机动力系统的天然工具，而简单胞映射方法不具备此性质。但其不足也十分明显，首先是其算法复杂，要求使用者具有纯熟的编程技巧，以便当胞的数目巨大时（通常均在百万级别），计算时间不会太多[19]。另外，由于广义胞映射方法依然以胞之间的转移来表征动力系统中状态的转移，而一个胞又存在多个像胞，故可能形成胞流的扩张，即使对于较小尺寸的胞，也无法从根本上消除这种现象。胞流的扩张使得广义胞映射方法的准确性降低了，影响了其使用[17]。广义胞映射方法既有理论上的优势，又有实际处理过程中技术上的困难。JosephLevitas[20]对于这种情况作出了如下评价：“WhileSCMandICMaredescribedabove,5severalwordsshouldbedevotedtoGCM.ThismethodisageneralizationofSCM,whichinvolvesstatisticalcalculations,Markov'schainsandtransitionprobabilitiesbetweendifferentstates.Intheauthor'sopinionitisthemostinterestingmethodamongcelltechniques,butunfortunatelyitisalsoverycumbersomeanduntilnowitappearstobenotverypractical.”3、图胞映射方法1995年，Hsu在以前分析方法的基础上，将图论理论与广义胞映射方法相结合，提出了广义胞映射与偏序集(poset)和图论数学分支的对应[11]（以下简称图胞映射方法）。对于胞映射动力系统，将每个胞对应于有向图的一个顶点，如果两个胞之间存在一步可达关系，则相应顶点之间存在一条有向边，如果有必要还可进一步定义该有向边上