第一章导数及其应用阶段复习课

阶段复习课第一章【答案速填】①导数及其应用②导数的运算③曲线的切线斜率④导数的四则运算⑤函数的单调性⑥曲线的切线⑦最优化问题⑧曲边梯形的面积⑨微积分基本定理的应用【核心解读】1.导数几何意义2.导数计算公式(1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0.(2)若f(x)=xα(α∈Q*)，则f′(x)=α·xα-1.(3)若f(x)=sinx，则f′(x)=cosx.000x0f(xx)f(x)klimf(x).x(4)若f(x)=cosx，则f′(x)=-sinx.(5)若f(x)=ax，则f′(x)=axlna.(6)若f(x)=ex，则f′(x)=ex.(7)若f(x)=logax，则f′(x)=(8)若f(x)=lnx，则f′(x)=1.xlna1.x3.导数运算法则条件：f(x)，g(x)是可导的.结论：(1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x).(2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).(3)f(x)[]g(x)2f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0).[g(x)]4.函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减.反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件.5.定积分的性质(1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数).(2)［f1(x)±f2(x)］dx=f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a＜c＜b).6.微积分基本定理如果f(x)是区间［a，b］上的连续函数，并且F′(x)=f(x)，那么f(x)dx=F(b)-F(a).babababababacabcba7.定积分与平面图形面积的关系已知函数f(x)在［a，b］上是连续函数，由直线y=0，x=a，x=b与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S，f(x)≥0，S=f(x)dx；f(x)＜0，S=-f(x)dx.baba主题一导数的概念与几何意义【典例1】(1)(2013·广东高考)若曲线y=kx+lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k=__________.(2)已知函数y=x3-x，求函数图象①在点(1，0)处的切线方程.②过点(1，0)的切线方程.【自主解答】(1)对y=kx+lnx求导得y′=k+，而x轴的斜率为0，所以在点(1，k)处切线的斜率为y′|x=1=k+1=0，解得k=-1.答案：-1(2)①函数y=x3-x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k=y′|x=1=(3x2-1)|x=1=2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y=2x-2.1x②设函数y=x3-x图象上切点的坐标为P(x0，x03-x0)，则切线斜率为切线方程为y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0-(x03-x0)=(3x02-1)(1-x0)，整理，得2x03-3x02+1=0，即2(x03-1)-3(x02-1)=0，所以2(x0-1)(x02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0，所以(x0-1)2(2x0+1)=0，02xx0ky|3x1，解得x0=1或x0=所以P(1，0)或P()，所以切线方程为y=2x-2或1.21328，11yx.44【延伸探究】在题(2)中，与直线y=-x+1平行的切线是否存在？若存在，求出切线方程.【解析】假设存在，则切线斜率为k=-1，设切点为(x0，y0)，由y′=3x02-1=-1，解得x0=0，故切点为(0，0)，所以切线方程为y=-x，所以切线存在.【方法技巧】求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求某点处的切线，该点在曲线上，且此点是切点，切线斜率(2)求过某点P的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程.0xxky|.0xxky|,【补偿训练】(2013·北京高考)设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.(1)求l的方程.(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.【解题指南】(1)先求出切点处的导数，再代入点斜式方程求切线方程.(2)转化为直线l上点的纵坐标大于曲线C上点的纵坐标，再转化为函数，用极小值解决.lnxyx【解析】(1)y′=，于是y′|x=1=1，因此l的方程为y=x-1.(2)只需要证明∀x0且x≠1时，x-1设f(x)=x(x-1)-lnx，x0，则f′(x)=2x-1-=当x∈(0，1)时，f′(x)0；当x∈(1，+∞)时，f′(x)0.所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值.所以f(x)f(1)=0(x≠1).因此，除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.21lnxxlnx.x1x(2x1)(x1)x，主题二求函数单调区间【典例2】(2013·山东高考改编)已知函数f(x)=ax2+bx-lnx(a，b∈R).设a≥0，求f(x)的单调区间.【自主解答】由f(x)=ax2+bx-lnx，x∈(0，+∞)，得f′(x)=22axbx1.x(1)当a=0时，f′(x)=①若b≤0，当x0时，f′(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，+∞).②若b0，当0x时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞).bx1x，1b1b1b1b(2)当a0时，f′(x)=0，得2ax2+bx-1=0，由Δ=b2+8a0，得显然，x10，x20.当0xx2时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当xx2时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞).2212bb8abb8axx4a4a，，2bb8a4a2bb8a4a综上所述，当a=0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，+∞)；当a=0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，+∞).1b1b2bb8a4a2bb8a4a【方法技巧】求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)计算函数f(x)的导数f′(x).(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间.提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误.【拓展延伸】确定导函数符号的方法确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确定可以借助以下方法完成：(1)解关于导函数的不等式.(2)利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导数判定导函数的单调性.(3)数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间.(4)含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后，确定导函数值的符号.【补偿训练】若a≥-1，求函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)的单调区间.【解析】由已知得函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，且f′(x)=(a≥-1)，(1)当-1≤a≤0时，f′(x)0，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递减.ax1x1(2)当a0时，由f′(x)=0，解得f′(x)，f(x)随x的变化情况如表从上表可知，当x∈(-1，)时，f′(x)0，函数f(x)在(-1，)上单调递减；1x.axf′(x)-0+f(x)↘极小值↗1(1)a，1a1()a，1a1a当x∈(，+∞)时，f′(x)0，函数f(x)在(，+∞)上单调递增.综上所述，当-1≤a≤0时，函数f(x)在(-1，+∞)上单调递减.当a0时，函数f(x)在(-1，)上单调递减，函数f(x)在(，+∞)上单调递增.1a1a1a1a主题三利用导数求函数极值【典例3】(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值.(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.【解题指南】(1)求导函数f′(x)，令f′(x)=0求极值点，列表求极值.(2)设切线，表示出切线l的方程，令y=0得l在x轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围.【自主解答】(1)f′(x)=e-x(-x2+2x)，令f′(x)=0，得x=0或2.列表如下函数f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘24.e(2)设切点为(x0，)，则切线l的斜率为k=(-x02+2x0)，此时切线l的方程为y-=(-x02+2x0)(x-x0)，令y=0，得x=，由已知和(1)得x0∈(-∞，0)∪(2，+∞).令t=x0-2，则t∈(-∞，-2)∪(0，+∞)，令h(t)=t+，则当t∈(0，+∞)时，h(t)的取值范围为［，+∞)；当t∈(-∞，-2)时，h(t)的取值范围是(-∞，-3)，所以当x0∈(-∞，0)∪(2，+∞)时，x的取值范围是(-∞，0)∪0x20xe0x20xe0xe0xe000xxx.x2002x23x22t22［，+∞)，综上，l在x轴上的截距的取值范围是(-∞，0)∪［，+∞).223223【方法技巧】求函数的极值的方法步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值.【补偿训练】求f(x)=的极值.【解析】f(x)=所以f′(x)=令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况为所以当x=-1时，f(x)极小值=-3；当x=1时，f(x)极大值=-1.222x2x2x12222x2x22x2x1x1，222222(x1)2x2x2(1x)(1x)(x1)(x1)，x(-∞，-1)-1(-1，1)1(1，+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘极小↗极大↘主题四利用导数求函数最值【典例4】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0，1]上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)-f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值.【解题指南】(1)利用f(0)=1，f(1)=0，将f(x)用a表示出来，然后利用f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0，1]上单调递减⇔f′(x)≤0在x∈[0，1]上恒成立且f′(x)=0不恒成立，然后通过分类讨论求得a的取值范围.(2)化简g(x)=f(x)-f′(x)，通过对g(x)求导，然后分类讨论求最值.【自主解答】(1)由f(0)=1，f(1)=0，得c=1，a+b=-1，则f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex，f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex，依题意对于任意x∈[0，1]，f′(x)≤0恒成立，且f′(x)=0不恒成立