误差理论与数据处理动力工程测控技术

热工测量及自动控制热工程研究所章立新§2.误差理论与数据处理§2.1直接测量的误差分析§2.1.1测定值的分布规律测定值分析的基本概念我们将所研究对象的单个测量值称为个体，全部测量值称为母体，母体中的一部分称为子样，子样中所包含的个体数目称为子样容量。在随机因素的作用下用等精度测量法对同一对象进行多次测量，测定值用ξ表示。当测量次数无限增加时，ξ小于任何一个实数X出现的次数有确定的概率，这样的测定值ξ称为随机变量。测量误差所表现出来的数据也是随机变量。§2.1直接测量的误差分析例：透平机械同一稳定工况下对其转速进行多次测量，得到的结果如下:4752.84754.54753.74753.94753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74750.04751.04752.34751.84750.64752.54752.44751.64747.94748.34753.44753.54752.74749.14753.24751.94753.44755.64750.24756.74752.14752.04751.14752.64753.64749.14755.64754.0§2.1直接测量的误差分析问题在这些数据中究竟哪一个数据是最可信赖的？也就是说被测量的物理量的真值最大可能是什么？能不能以99%的把握断定真值在哪一个数据区间中?特点随机性：在等精度的测量条件下，测定值互不相等，呈现波动状态，这就是数据的随机性.测定值皆在4747.0到4758.0之间,范围并不大,并且落在4750.0到4754.0之间的次数很多,而落在这一区间以外的数据却很少，这种在数值上的有界性和中间大两头小的单峰性规律在被测量技术中是普遍存在的.§2.1直接测量的误差分析测量值分布规律研究方法对所研究的子样，找出最大值和最小值；在此间分10~20组，组数根据子样容量而定，组距可等分也可不等分，以突出子样的特点并冲淡子样的随机波动为原则，分点值比原测量精度高一位以免个体数据落在分点上；列表用唱票的方法数出落在各组的个体数，称为频数，各组频数与子样容量之比称为频率；计算出测定值最小的组至最大组的累积频数和频率；绘制频数（频率）直方图和累积频率直方图。当子样容量无限大，组数无限多时，各组的频率可任意接近于某一定值，此值即称为概率，而直方图演变为光滑曲线。§2.1直接测量的误差分析组次组区间频数组频率累积频数累积频率14747.05~4748.0510.0210.0224748.05~4749.0520.0430.0634749.05~4750.0540.0870.1444750.05~4751.0560.12130.2654751.05~4752.0570.14200.4064752.05~4753.05130.26330.6674753.05~4754.05110.22440.8884754.05~4755.0520.04460.9294755.05~4756.0520.04480.96104756.05~4757.0510.02490.98114757.05~4758.0510.02501.00总和501501.00§2.1直接测量的误差分析频率分布直方图与累积频率分布（经验分布）图§2.1直接测量的误差分析§2.1.2随机误差评估与数据处理随机误差的分布规律大量的试验结果表明：测量值的随机误差分布规律有正态分布、t分布、均匀分布等，但多数都服从正态分布。令222)(21),;(mxemxnniinmxn12)(1limmxu2221)1,0;(ueuntuduetN2221)1,0;(正态分布的概率密度函数，x为测量值，m为被测量值的数学期望，δ=x-m为随机误差正态分布的标准偏差，代表测量数据分布离散程度的特征值标准正态分布的概率密度分布函数标准正态分布函数§2.1直接测量的误差分析正态分布密度函数随m和σ变化的情况§2.1直接测量的误差分析标准正态分布密度函数（a）与标准正态分布函数（b）图§2.1直接测量的误差分析2221)1,0;(ueuntuduetN2221)1,0;(u0?..90.00.39890.3973?..1.00.24200.2203?..2.00.05400.0449?..3.00.00440.0034?..3.90.00020.0001t0?..90.00.500000.53586?..1.00.841340.86214?..2.00.977250.98169?..3.00.998654.00.9999685.00.99999997§2.1直接测量的误差分析随机误差的分布规律：对称性、单峰性、有界性、抵偿性绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相同绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大绝对值很大的误差出现的概率近于零当测量次数趋于无穷大时，全部误差的代数和趋于零§2.1直接测量的误差分析例：某一正态分布函数的标准偏差为σ，试求绝对误差的绝对值分别小于σ和3σ之概率。解：令则=2×(0.84134-0.5)=68.268%02)()(212)(22mxdemxNmxdzemxdezmx102102)(22212)(212mxz§2.1直接测量的误差分析同理：=2×(0.99865-0.5)=99.730%302)()(212)33(22mxdemxNmxdzemxdezmx302302)(22212)(212对被测量量真值的估计§2.1直接测量的误差分析在一列等精度的测量中，算术平均值是对被测量量之真值的最佳估计。xmnmnmnxxnniininiinii1111iimx§2.1直接测量的误差分析实验标准（偏）差-----子样方差niixxns12)(11n-1称为自由度，反映测量重复次数，故s也称为“重复性标准差”。另外还有多种估计标准偏差的方法，如极差法：§2.1直接测量的误差分析nndxxdRsminmax其中R为极差，dn为极差系数n23456789dn1.131.642.062.332.5.2.702.852.97§2.1直接测量的误差分析在无限次或有限次测量中，有68.268%的测量值落在（-σ，σ）或（-s，s）的区间内，该区间以m或为中心。σ或s越小，精密度越高，σ或s称为标准误差，它们是测量值出现的概率密度变化率由小变大的转折点。3σ或3s则称为极限误差，测量值落在（-3σ，3σ）或（-3s，3s）区间内的概率为99.730%，即每测量1000次，误差绝对值大于3σ或3s的次数还不到3次，因此3σ或3s常作为粗大误差的判据之一。x标准误差和极限误差§2.1直接测量的误差分析平均误差测量值全部随机误差绝对值的算术平均值定义为平均误差。几何上，正好处在概率密度曲线左半边或右半边重心的横坐标上。547979.01nnii%5.57)(mxp§2.1直接测量的误差分析或然误差算术平均值的标准误差误差的绝对值小于γ和大于γ出现的概率相等，γ称为或然误差，而γ=0.6745σ。%50)(mxp%5.95)33(mxpxi是随机变量，则也是随机变量，它应该有标准误差，可以证明：xxnxnlim§2.1直接测量的误差分析由于实际测量时，n总是有限的，所以用下式计算：，此时与之间也存在误差，所谓误差的误差问题，其通式为：当ξ分别为σ、γ、时，z分别等于1、0.6745、0.7979。n与/σ及n与/的关系如图。xnsxxxxnlim1707.0nzx§2.1直接测量的误差分析§2.1直接测量的误差分析§2.1直接测量的误差分析测量次数对测量精密度的影响从图中看出，n10以后，随n增加而减小的趋势变得缓慢了，/随n增加而减小的趋势也变得缓慢了，所以一般测量中，n取10至30次就有相当的精度了，只有对特别要求精密的量，才作30次以上的测量。xx§2.1直接测量的误差分析测量结果的置信区间与置信度用子样作为母体参数m的估计值，为了衡量的准确度，可以设法找到两个数λ和α，使关系式：成立的概率为1-α。区间称为置信区间，1-α称为置信度，α称为危险率，则对测量结果的评定可表述为在一定的置信度1-α下：测量结果=子样平均值±置信区间的半长=±λxmxxx],[xxx§2.1直接测量的误差分析对正态分布而言，λ与σ和α有明确的数量对应关系，即子样遵循p（；m，）时：1-α99.73%95.5%68.268%57.5%50%xxnnstnsx33nsx6745.033nsxnsx7979.0nsx6745.0§2.1直接测量的误差分析小子样误差分析——t分布§2.1直接测量的误差分析§2.1直接测量的误差分析t分布只取决于子样容量n而与母体标准误差σ无关。它也具有对称性，与正态分布相比，t分布的中心值比较小，而分散度比较大。γ越小，中心值越低，分散度越大。当γ大于等于30时，t分布趋于正态分布。§2.1直接测量的误差分析对一定的危险率α和自由度γ，对应确定的tp值。三者间已知任意两者，通过查表，可确定第三者，从而建立以下置信区间与置信度之间的关系：}{1}{pppttttnsxmtnsxp§2.1直接测量的误差分析§2.1.3粗大误差的剔除处理原则1.应首先检查读数是否有差错。2.如读数肯定无差错，应分析某种瞬变的系统误差（如电压突然跳动等）是否存在；同时在相同条件下，增补测量次数，取得更多的数据，以削弱弥散特大的个别数据对最终估计值的影响。3.最后回过头来判别这些个别值的合理性。§2.1直接测量的误差分析拉伊特准则3xxii判为粗大误差。i判据实质上是建立在基础上的。当n有限或n较小时，并不十分可靠，容易混入该剔除的数据，而相对于t分布，当n较大时，又容易舍去一些不该舍去的值。3n§2.1直接测量的误差分析肖维涅判据当xi对应的值，大于下列值时，判xi存在粗大误差。n567891011121314(xi-)/S1.651.731.791.861.921.962.002.042.072.10n15161718192021222324(xi-)/S2.132.162.182.202.222.242.262.282.302.32n2526272829303540(xi-)/S2.332.342.352.372.382.392.452.50ixxS§2.1直接测量的误差分析格拉布斯判据当xi对应的值，大于T(n,α)时，判xi存在粗大误差。它与肖维涅判据类似，不同的是有5.0%、2.5%和1.0%的3组危险率，此处危险率指将实际并不是异常数据而被误剔除的概率。用肖维涅判据的危险率高于5.0%。ixxS§2.1直接测量的误差分析测量结果的一般处理步骤1.将测量得到的一列数据x1、x2…………xn排列成表。2.求出（）3.求出剩余误差（残差）Vi（）4.求出子样标准方差5.按一定的危险率判别有无可疑数据。如有，则剔除；重复步骤1～4。再判别。每次判别只能舍弃一个可疑数据，直至到无可疑数据为止。x11niixxn211()1niiSxxnxxVii§2.1直接测量的误差分析6.在舍弃可疑数据后，计算出新的和S及平均值的标准误差，7.写出测量结果：8.对正态分布而言，上述结果的置信度为99.73%；但当n’较小时，应用t分布估出上述结果的置信度。xx'Snx