第一章正交实验设计

试验设计与分析1实验分析与设计朱昌明上海交通大学试验设计与分析2绪论长期以来在实验领域中，特别是对于多因素试验，传统的试验方法往往只能被动地处理试验数据，而对试验方案及试验过程的优化，常常显得无能为力。这不仅造成盲目地增加试验次数，而且往往不能提供充分可靠的信息，以致达不到预期的目的，造成人力、物力和时间的大量浪费。近代创立和发展起来的试验设计及优化技术，将优化思想和要求贯穿于试验的全过程，从此试验才真正走上了科学的轨道，使试验领域发生了深刻的变化，也有力地促进了现代优化技术地发展。1、试验设计及优化的概念实验是揭示尚未完全认识的事物，发现其规律，是具有很强的探索性活动。它也是一项目的性、计划性很强，很严密的科学活动。有严格的程序：（1）有明确的实验目的、目标和要求；（2）应编写试验大纲、制定实验计划；（3）有实验实施过程的具体步骤；（4）选用合适的实验数据处理技术；（5）最终的理性归纳和完整的实验报告。这些要求是与学生按课堂教学所完成的教学实验完全不同的。这里讲的实验实际是工程实验。实验大纲的内容包括：a).考察目标和测试参数；b).环境条件要求，仪器设备的选用；c).取样方式，测点布置，工况的组合；d).数据处理方法；e).试验报告的整理要求。由此可见，影响和制约实验过程的不仅是物质条件，还有思维方式，而对思维方式起指导作用的是实验设计方法及其相关的理论。具体地说，设计试验方案时，不仅使试验方案具有一定的优良性，试验点（试验次数）大大减少，但仍能获取丰富的试验信息，得出正确的结论；实施试验方案时，能有效地控制试验干扰，保证试验精度；处理试验结果时，通过简便的计算及分析，可以获得较多的优化结果。显然，试验设计是一个全过程、多目标的优化。对于多快好省地进行多因素试验，对于构造各种线性与非线性数学模型，对于科学研究中发现规律、探寻生产实际中的新工艺、产品设计中进行优质设计、管理科学中寻求最佳决策等，试验优化都是一种非常有效的数学工具。试验设计与分析3通常，试验是指实物试验。但对于试验优化，常常进行的是广义试验。凡是能获取信息的有效的科学手段和方法，都可以作为广义试验的试验方法。目前在科研与生产的实际应用中，试验设计及优化主要是进行离散优化，有时也进行序惯优化（所谓序惯优化就是遵循一定优化路径逐渐寻找最优点的方法，它是单向寻优，常用的方法有0.618法、单纯形法、梯度法、渐进分式法等。）有时则必须综合应用离散优化和序惯优化。所谓离散优化，就是在试验区域内，有目的有规律地散布一定量的试验点，多方向同时寻找优化目标，如果优化目标是最优点，则离散优化只是一种试验点优选法，优选过程不一定遵循一定的寻优路径，而只是对给定条件下一切可能的试验点进行选优。因此离散优化不能真正实现全域优化，但实际应用表明，离散优化完全能够满足一般科研和生产的需要。这种离散优化法有正交设计，SN比设计，均匀设计等。如果优化目标是最优回归方程，这种离散优化法就是回归设计。2、实验在科技发展中的地位现代科技的发展离不开实验分析，现代实验不单是通过观察现象和测试数据来验证假设，更重要的是现代科技创新和发明的重要手段。所有理论分析不能解决的问题均可利用实验的手段去摸索，特别是在工程领域内。科研是很注重实际应用效果，无论是对零件、部件和整机的结构、性能研究，还是对新配方、新工艺的探索，实验都是必须的手段。几乎没有一项应用研究成果是不需要实验分析和实验论证的。试验设计及优化技术由于具有设计灵活、计算简便、试验次数少、可靠性高、适用面广等特点，因而发展迅速，应用广泛，已成为现代设计方法中的一个重要分支。试验设计技术应该是研究人员、工程技术人员和管理人员的必备技术，是科技人员共同语言的一部分。据说在日本，一个工程师如果没有试验设计这方面的知识就只能算半个工程师。3、实验设计的目标最大限度地提高实验效率；最大限度地提高实验精度。4、实验工作与现代科学方法论的关系科学方法论是关于正确进行科学研究的原理、方法的理论。实验是伴随着科学技术而同步发展的必需手段，现代实验不仅拥有了丰富而尖深的实验硬技术，而且软技术的比重也在增加，系统论、信息论、控制论的慨念早已渗透到实验中，人们已经把实验条件、实验对象和实验结果的分析处理作为系统来考虑，将信息量的研究贯穿始试验设计与分析4终，研究信息的获取、变换和分析处理的方法。有些实验结果中包含了预报的内容，为进一步反馈，达到实时在线控制创造条件。实验设计是研究方法的学科，也具有横向交叉的综合性。现代科学方法论必然赋予试验设计以新观点、新思路和新的理论工具，使试验设计更具有充实的内容。我们正处于信息时代，知识、信息和技术都是重要的生产力，一切设计、控制和决策都必须从信息载体中获取有用的信息。从这个意义上说，试验设计与优化技术能够满足时代的需要。因为试验优化是一门关于信息量的学科，运用试验优化技术，可以既快又省地获取既多又好的信息，并能科学地分析和利用已获取地信息。5、广义试验设计问题通常认为试验设计是一门实物试验的软科学，事实上，试验设计是一种数学方法。它也可以有效地解决广义试验的优化问题。所谓广义试验，是指为了观察某些事或物的性能而从事的某种活动。显然，这种活动不限于实物试验。从数理统计角度讲，抽样就是广义试验。一次抽样结果是一个随机事件，也就是广义试验的一个指标。可以说，凡是需要抽样，需要获取信息的场合，都可能用到广义试验设计。在技术领域中，除专门组织的实物与非实物试验外，在实际的生产现场，在质量管理中也有许多用途。如生产线故障判断分析。往往产生故障的产品数百个才产生一个，为寻找原因，从生产线上随机抽样，来重新组装零部件，结果发现极大部分的零部件都是物无缺陷的。为寻求被蕴藏在很多零件中、故障率又非常低的缺陷的原因，利用试验设计技术是有效的。如，用正交表安排寿命试验，就可以减少试验次数，提高试验结果的适用性和代表性。6、本课程的性质与任务本课程是实验的软技术课程，属基础技术课。课程的任务是使学习者建立实验设计的基本概念和主要思路，带着方法论的主动意识学会一般的试验设计方法，并能对一般的工程实验独立地设计方案，选择数据处理方法和分析实验误差，掌握实验设计与分析中的关键环节，对工程实验设计与分析过程有一个完整的了解。试验设计与分析5第一章正交实验设计§1.1概述一．实验设计的目标任何一个试验都存在：如何安排试验及如何分析试验结果这两个问题。对于科学的实验设计应能做到：1).试验次数尽可能少；2).少量试验所获数据能得出正确结论。对单因素或双因素的实验设计，可进行全组合，逐一交叉重复的实验方式，即可以进行全面实验（但水平数必须有限）。对多于两个因素的，单用全面实验方法，其工作量将随因素的个数按指数方式剧增，即不经济，又费时间。这种全面实验方法不叫优选法，而叫选优法。对于单因素试验，可采用0.618法，对分法，平行线法，交替法，调优法等优选法进行试验，以减少试验次数。对多因素，正交实验设计是一种显著有效的方法。正交试验设计就是利用正交表来合理安排试验的一种方法。二.基本术语试验因素：对试验结果可能会产生影响的原因，是实验过程中的一些自变量，或称条件变量，是输入参数。如炼钢中的某些特种元素的含量，机加工中的刀具形式、走刀量等。试验指标：试验研究的指标，即实验得出的结果(输出的参数)。水平：试验因素在试验中所选取的具体状态（或水平）。如考察刀具磨损。对普通碳素钢：若温度也为实验因素，如取其三个水平分别为－50℃、20℃及60℃。水平之间的差异也称为水平级位，模糊的说法为低温、常温和高温。三.正交设计实验解决的问题(1).因素对实验指标的影响，即能分清主要因素和次要因素，或甚微因素和忽略因素。(2).找出较好方案的组合，形成最优的生产条件。必要时，对生产过程作出预报。上例中，就有这样的问题，选怎样的组合，使刀具磨损最小。选择怎样的温度，工艺性最好。切削角转速钢硬度（°）（r/min）（HB）201000200252000250303000300ooo试验指标磨损量因素切削角、转速、硬度水平每个因素所具有的参数式状态试验设计与分析6§1.2正交表一.拉丁方与正交表正交实验最早起源于拉丁方设计思想18世纪，普鲁士费里德里希.威廉二世，要举行一次与往常不同的六列方队阅兵式。他要求每个方队的行和列都得由六种部队得六种军官组成，不得有重复和空缺。这样，六个方队中，部队、军官、行和列全部排列均衡。群臣们冥思苦想，无一人能排出这样的方阵来。后来向当时著名的数学家Eular请教，由此引起了数学家们的极大兴趣，提出了一个有趣的数学问题：所谓36个军官问题，当时用不同的拉丁字母A,B,C……表示军官，α,β,γ……表示为团队，交叉排列方阵，称为希腊拉丁方阵。简称拉丁方阵。因希腊字母有限，改用脚标为自然数序列排的方阵nnijaA)(，nnijbB)(为n阶拉丁方阵。当0))(ijijbaBA（，称为正交拉丁方阵。直到1901年，G.Tarry才证明“36个军官的正交问题”为无解。但借用拉丁方阵的构造解决了不少的多因素实验优化问题。数学家们如此重视一个君王独出心裁的阅兵式，并不是为了组织什么花样方阵，而是为了研究具有普遍意义的新的数学思想，即均衡分布的思想，这正是今天正交试验设计的思想基础。例：有三个因素，每个因素有三个水平的实验，需进行2733种全组合搭配试验。121221321122222322123223323131231331132232332133233333111211311112212312113213313ABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC上述全搭配试验太多，能不能减少一些呢？能否每次保留一个因素水平而变动其余的水平进行比对试验呢？正交试验设计能减少试验次数，又能兼顾均匀搭配的效果！二.正交表(1).定义设A是n×k的矩阵，它的第j列元素由1，2，……j构成（也可用别的符号），如果矩阵A的任意两列元素都搭配均匀，就称A是一个正交表。如8×7的矩阵：11111111112222122112212222112121212212212122112212212112A9个区域的每个区域中，两个水平是固定的，只有一个因素是变动的，在相邻的区域的同一行上也是一个因素在变。试验设计与分析7注意到，任意两列的相邻元素所构成的都是完全有序对，都包含有四个相同的数字对（1，1），（1，2）,（2,1），（2，2），因此A是一个正交表。正交表的性质：（1）每一列中各数字（或称水平）出现的次数相同；如上例中都是4次。（2）任意两列的号码所构成的水平对中。每个水平对重复出现的次数相同。如上例中每个水平对重复出现2次。正交表的特点：搭配均匀性、组合代表性、综合可比性。(2).正交表的种类:a).标准表凡是标准表，水平数都相等，且水平数只能取素数或素数幂，利用标准表可考察因素之间的交互作用。根据正交表设计的思想，运用数学方法，将正交实验中多种因素和水平搭配的结果编成表格，这种规格化的表格称为正交实验设计表，简称正交表。简记为符号:()KnLm.其中L-----表示正交表n-----表示实验方案的个数（表的行数）m-----表示试验因素的水平数k-----表示最多可安排因素的数目（表的列数）常见的水平数相同的正交表有：二水平正交表：34(2)L、78(2)L、1112(2)L、1516(2)L、3132(2)L、……等三水平正交表：49(3)L、1327(3)L、4081(3)L……四水平正交表：516(4)L、2164(4)L、85256(4)L……(1.1)五水平正交表：625(5)L、31125(3)L、156265(5)L……最简单的34(2)L，做四次试验，最多安排2个水平3个因素（而全做328次）。34(2)L正交表行列（1）（2）（3）111121