第一章矩阵理论(管理数学基础)

1第一节线性变换及其矩阵表示一、线性空间与线性变换1、线性空间及其基组空间：赋予了某种数学结构的非空集合，记为X。其中的“数学结构”可为定义了元素间的运算、距离。集合X＝{x|x满足的条件}。封闭：X中任元素经某运算后的结果仍属于X，则称X对该运算封闭。（如：实数集R，任x1、x2∈R，x1+x2∈R，称R对加法封闭。实际上R对乘法也封闭。）2线性空间：即赋予了线性运算的非空集合。具体定义为：设X是一个非空集合，K是数域（K为实数域R或复数域C），若定义X中二元素之间的加法运算以及数域K中的数与X中元素之间的数乘运算，并满足下列条件：加法运算“+”满足：对任意x、y∈X，x+y∈X，且(1)交换律：x+y=y+x；(2)结合律：对任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)；(3)有零元：存在0∈X，使得对一切x∈X，有x+0=x（0称X的零元素）；(4)有负元：对任意x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y称为x的负元素）。3数乘运算“”满足：对任意α∈K，x∈X，αx∈X，且(1)对任意的β∈K，α(βx)=(αβ)x；(2)1x=x；(3)对任意的y∈X，α(x+y)=αx+αy；(4)对任意的β∈K，(α+β)x＝αx+βx。则称X为数域K上的线性空间。当K是实数域R时，X称实线性空间；当K是复数域C时，X称复线性空间。X上的加法运算和数乘运算统称为线性运算。4nnRRnn由线性代数的知识我们可以得到，维向量的全体，在通常定义的向量加法和实数与向量的数乘运算下，构成实线性空间。再看如下的例子：例1：判断下列集合对于所指运算是否为（上的）线性空间。(1)分量之和等于0的维向量的全体，对向量加和数乘；(2)分量之和等于1的维向量的全体，对向量加和数乘。51111111111(1)()|0()()0()08(2)nTnniiTnnnnniiiiiiiTnnniiiiXxxxRxxyXxyxyxyxyxyxyXRxxxxxxRXXX解：记，，则任，，，，其分量和对任，，，分量和。即对加法和数乘封闭。易证满足个条件，为线性空间。111()|11(),nTnniiTnXxxxRxxxxXXX记，，由于对任，，，即对数乘运算不封闭，不是线性空间。6111111112[]nnnnnnnnXnxxxxXxxxxxxXXnxR线性空间中的一系列定义：基：如果线性空间中有个元素，满足：（），线性无关；（）中任一元素都可以由它们线性表示，即，则称，为的一组基。维数：中基组中元素的个数。坐标：表出系数，，称为在这组基下的坐标，记为，，。注：由于中线性相关、无关、组合只涉及线性运算，故对线性空间也适用。712111112(100)(010)(001)()[][]nTTTnnnnnnnnReeeRxRxxxxxexexxxee例：中的，，，，，，，，，，，，构成中的一组基，对于任意的，其中，都有。记坐标为，故称为坐标基。81111111111[][][nnnnnnnnnXpppp设和是线性空间中两组不同的基，则其中一组基可由另一组基线性表出，设，。即：111111111][]nnnnnnnnnnppppppPPppPP，简记为＝称由到的过渡矩阵。可证，过渡矩阵是可逆的。922212111222()3()(0)()[TTXYTXYTXXTXTxyTxTyXYTRRxRxxxTxxxyTxyTxy、线性变换及其矩阵表示变换（算子）：非空集合到的映射，记：（若：，则称为上的变换。）线性变换：满足线性性的变换：（注：这里与为线性空间）例：考虑变换：，对任，，，，则有：111122112]0(0)(0)TTxyxyTxyxyTxTyTR，，是上的线性变换。10111111111:[][]nmmmnnmnmTTXYXYnmXYTaaTaa的矩阵表示：设映射，其中与维数分别为和，和分别是和中的一组基，又设，，1111111111[][]nnmmmnnmmnaaTTaaaaAaaTAAT即：，记，则上式简记为，称为线性变换关于基、的一个矩阵表示（简称矩阵）。1111111111:[]nnnnnnnnTXXXnXTTaaTaa思考：若映射为，的维数为，是中的一组基，则的矩阵表示应为：，，即：1111111111[][]nnnnnnnnnnaaTTaaaaAaaTAAT，记，则上式简记为，称为线性变换关于基的一个矩阵表示。12二、方阵的特征值与特征向量121AnnxAxxAxAxAkkxxxAx方阵的特征值：设为阶方阵，如果与维非零的列向量，使等式成立，则称数为方阵的一个特征值。特征向量：非零列向量称为的相应于（属于）特征值的特征向量。特征向量的性质：(1)如果是的相应于的特征向量，那么对任意非零数，也是相应于的特征向量；(2)如果和都是的相应于的特征向量，那么2x也是相应于的特征向量。即对加法和数乘运算封闭。13()00||0AxxEAxxxEAEA由于可以改写为这可以看作是以为变量的齐次线性方程组。它有非零解的充要条件是系数行列式等于，而是特征向量为非零，故必满足：于是有以下定义：特征矩阵：||||0EAEAAAAxA特征多项式：特征方程：由上述分析可知，方阵的特征值是的特征方程的根（因此特征值又称特征根）。的相应于的特征向量是以的特征矩阵为系数阵的齐次线性方程组的解。1421234110430102110||430(2)(1)010221AAEAA例：求方阵的特征值与特征向量。解：的特征方程为求出的特征值为：＝，＝＝1121212(2)030400EAxxxxxx。对＝，解齐次线性方程组，即15111112312121320012(0)1()0204200121kkEAxxxxxxx求出它的基础解系：＝，相应于特征值＝的特征向量是。对＝＝，解齐次线性方程组，即求出它的基础解系：＝23222,1(0)kk相应于＝＝的特征向量是。16111111111101sssssssAxxxxsssskxkxkx定理：若，，是方阵的互异的特征值，，，是分别相应于它们的特征向量，则，，线性无关。证：对使用数学归纳法。当，因为任一个非零向量线性无关，所以定理成立。设对个互异的特征值定理成立，要证对个互异的特征值定理也成立，为此令，（）17111111111111111102(1)(1)03(3)(2)()()0(1sssssiiisssssssssssSiskxkxAxxisAkxkxkxkxkxxxi在上式两边同乘以得，（）因为，，，用左乘式得，（）将、二式两边分别相减得由于，，线性无关，且，1111)00sssskkkxx，故必有，从而。即，，线性无关。18三、相似矩阵及其性质1111111111111[][]()[()]()(nnnnnnnnnTXXTXXPPTBABTTPTPTppppTpT、相似矩阵：考虑：，易知在不同基组下的表示矩阵是不同的。设＝和＝是线性空间的两组不同的基，＝，为过渡矩阵。关于、的矩阵分别为和，则有：，，线性11111111)()()()nnnnnnnnnpTpTpTTTPTPAPPAPBPAPAB，，，，。称满足此关系式的、矩阵为相似的。19112ABnnPBPAPABABPAPAPTXTX相似矩阵：设、均为阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使则称相似于，记为。这时可称为对施行相似变换，其中称为相似变换阵。定理：设是线性空间上的线性变换，则在两组不同基下的表示阵是相似的。20111123()1||||ABABABABABPBPAPABEBEPAPPEAPPP、相似矩阵的性质：若，则与有相同的行列式、秩和特征值。定理：设方阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证：因为，所以存在可逆矩阵，使得于是与的特征矩阵有如下关系：等式两端取行列式，显然，于是1||||||||EBPEAPEAABAB，即与有相同的特征多项式，从而与有相同的特征值。211.2方阵在相似变换下的标准形1.2.1方阵的行列式因子、不变因子、初等因子1.2.2方阵相似的条件1.2.3方阵在相似变换下的若当标准形1.2.4方阵在相似变换下的有理标准形221.2.1方阵行列式因子、不变因子、初等因子1.行列式因子定义1.7גE-A中所有非零k级子行列式的首项(即最高次项)系数为1的最大公因式称为גE-A的k级行列式因子，记为D()k11(),1,(),()nnEnDnDD计算步骤：由定义，先求的特征矩阵的级子式再求所有的级子式取其中首系数为1的最大公因式，即依次类推，直至得到23解：考虑其3级子式考虑其所有的3级子式(只有一个)：21212EA32-1-2-1(2)-21.7求A的各级行列式因子210021002A24所以考虑其所有的2级子式，因为有一个2级子式所以考虑其所有的1级子式，因为גE-A中的有元素-1,所以33()(2)D1012-12()1D1()1D252.不变因子定理1.4גE-A总可以经初等变换化为10()()ndd111(),1,2,,()/()()(),1,2,,iiiiiEdinddddinE的形式，(称其为在初等变换下的标准形)，其中的首系数为1，且(被整除)。在初等变换下的标准形中，对角元素不随初等变换的不同而改变。26可以证明，גE-A在初等变换下秩与行列式因子不变，由此得出不变因子与行列式因子间的关系：111()(),2,,,()()()kkkDdknDdD27计算方法11111-()() ()?()-()(),2,,,()()()nnkkkEddEDdknDdD法一:求经初等变换化成dd其中满足定义条件，即为的不变因子,见13页1.11.法二:先求的行列式因子，再由不变因子与行列式因子的关系求解不变因子，见12页例1.10。281111212112212 ()(1,,)()()()(),d()()()(),k0-Asnnnsijkkkkskkkskijjdkn定义:的不变因子在复数域可分解为一次因式幂的积：d其中凡是幂次的一次因式幂