第一章行列式--习题解答

第一章行列式禹春福2015-041第一章行列式3．求2111242233634448D．【分析】本行列式的特点是第2、3、4行元素均有公因子，可先提出公因子再计算行列式.解21111211234=120.11211112D【注意“行和相等的行列式的计算方法”】4．求121212nnnnxmxxxxmxDxxxm．【分析】本行列式的特点是各行（列）元素之和相同，故可把第2列至第n列加到第一列后，提取公因子12()nxxxm，然后化为三角形行列式．【参见同辅P5—例4】解1221221212211()1nnnnnnnnxmxxxxxxmxxmxDxxxmxxxmxxm211212100()()()00nnnnxxmxxxmxxxmmm.5．求1120111100100100nnaDaa，其中120naaa．第一章行列式禹春福2015-042【分析】本行列式称为箭型行列式，通常可化为三角形行列式来计算．【参见同辅P5—例5.】解11111212()(2,3,,1)111110001000000jnjjnjnnjjnccjnaaaDaaaaaa．6．求2111131111411117D．【分析】本行列式可将第一列拆分成两项之和.解2111111111111131111111311311311020014136+414111411411410030117171711171171170006114136302361854=108.111210101010101001706D7．求1122334400000000ababDbaba．【分析】本行列式各行（列）零元素足够多，可按第一列（行）将行列式展开．【沿边展开】解1122122114113342233433440000000(1)0(1)00000000ababbabDabababbaababa14142323()().aabbaabb第一章行列式禹春福2015-0438．证明1212112211000010000000001nnnnnnnxxxaxaxaxaxaaaaa．【分析】考察本题的行列式，nD与1nD的结构相同，故可以用递推的方法证明．证明按第一列展开212121()nnnnnnnnnDxDaxxDaaxDaxa1212121121nnnnnnnnxDaxaxaaxaxaxa9．已知4阶行列式2323231211232234334144D，求12223242AAAA，其中2(1,2,3,4)iAi为D中第i行，第2列元素的代数余子式．【分析】直接计算12223242,,,AAAA的值，工作量大且容易出错，这类题目可根据行列式的展开性质求解较简单．解构造新的行列式2323123232323111111112122122212()3133133341441444范德蒙行列式D10．解方程组212321232123,,.xaxaxdxbxbxdxcxcxd其中,,abc互异．【分析】本题考核克莱姆法则及范德蒙行列式．第一章行列式禹春福2015-044解因为系数行列式22211()()()01aaDbbbacacbcc，所以方程组有唯一解.又因为2212daaDdbbdDdcc,22221101daDdbdc,31101adDbdcd,故由克莱姆法则得11DxdD，220DxD，330DxD.11．当取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,0.xxxxxxxxx有非零解？【分析】本题考查克莱姆法则的推论及含参数的行列式的计算．解系数行列式21111(2)(1)11D，故当210或时D齐次线性方程组有非零解.