第一章误差与误差理论.

误差理论与测量平差主编:夏春林副主编:钱建国、张恒憬参编:李伟东、文晔编写高校:辽宁工程技术大学吉林建筑大学大连理工大学城市学院前言为什么要学习误差理论与测量平差这门课程?①这门课程是测绘工程、摄影测量与遥感、地理信息系统等专业的一门专业理论基础课。②误差理论与测量平差是测绘数据处理和成果质量控制的理论基础，在地理信息、遥感等领域有着越来越突出的地位。③误差理论与测量平差的奠基人之一陶本藻教授曾说过“在测绘领域，还未发现不懂误差理论与测量平差成为院士和大家的”。•在测量工作中，观测的未知量一般是角度、距离和高差等。•任何未知量，通常观测值不会等于真值，因为观测中不可避免地存在误差。••测量平差就是以包含误差的观测数据为研究对象，利用所含误差的自身规律，采取一定的数学手段消除或减弱其影响，从而得到未知量的最优估值(也称为最或然值)。内容概要•第一章观测误差与测量平差的任务•第二章条件平差•第三章间接平差•第四章平差综合模型•第五章误差椭圆•第六章统计假设检验在测量平差中的应用•第七章近代平差概述第一章误差与误差理论•1.1观测误差与测量平差的任务•1.2偶然误差的统计性质•1.3衡量精度的指标•1.4协方差传播率•1.5权与定权的常用方法•1.6协因数与协因数传播率•1.7由真误差计算中误差及实际应用•1.8系统误差的传播•1.9参数估计与最小二乘估计1.1.1测量误差来源1.1.2观测误差的分类1.1.3测量平差的任务§1.1观测误差与测量平差的任务学习的目的和要求:明确测量误差产生的来源掌握偶然误差的定义、特性掌握系统误差的定义、特性、消除或减弱的措施粗差的定义、特性、消除的措施学习的重点和难点：误差的分类；系统误差消除减弱的措施；发现粗差的方法1.1.1测量误差来源测量数据中为什么存在不可避免的误差？观测条件包含：测量仪器观测者外界条件每种仪器总是具有一定限度的准确度感官的局限性、工作水平、工作态度温度、湿度、大气折光、折射等观测条件的好坏与观测成果的质量密切相关。换言之:1.观测条件好则观测成果质量高;2.观测条件差则观测成果的质量就差;3.相同观测条件下观测的成果质量相同。1.1.2观测误差的分类根据误差对测量结果影响的性质，可以分为三类：1.系统误差（Δs）2.偶然误差（Δ）3.粗差（Δg）可以表示为：sg（1）系统误差概念：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。实例：①钢尺的长度和标称长度不一致时，而使所测的距离产生误差；②水准仪的视准轴与水准轴不平行造成的i角影响等；③三角高程测量中,大气折光造成的误差从目前的研究成果来看,也将其视为系统误差；④GPS接收机的时钟误差。最初的GPS伪距定位方程中并没有接收机钟差改正数。系统误差消除或减弱的方法：在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响；在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正；将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。（2）偶然误差概念：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。实例：——经纬仪测角误差是安平、照准、读数、外界条件变化等所引起的误差的综合。而其中每一项误差都很小，没有那一项占主导地位，误差的大小和符号具有随机性。偶然误差是无法使用消除系统误差的方法来消除的。测量平差研究的主要对象：——偶然误差，即总是假定含粗差的观测值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适当改正。因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。（3）粗差概念：粗差就是粗大误差，是观测过程中的错误造成的。产生原因：——主要由于测量人员的技术水平不高，工作态度不端正造成的，如：控制点起始数据输入错误，数据记错，读错等。发现、剔除粗差：——在观测中必须避免出现粗差：①进行必要的重复观测，即多余观测；②采用必要而又严格的检核、验算方式；③遵守国家测绘管理机构制定的各类测量规范和细则，一般也能起到防范粗差的作用。1.1.3测量平差的任务•第一项：对带有偶然误差的观测值进行处理，消除观测结果之间的不符值，得到观测量的最可靠结果。——通过数据处理求未知量的最优估值。•第二项：评定观测值及其函数值的最可靠结果的精度，也就是考核测量成果的质量。——评定最优估值的精度。1.2偶然误差的统计性质概念：真值:任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。习惯上用来表示。真误差(偶然误差):真值与观测值之差,记为:真误差=真值–观测值LiiiL-L用向量表示：若进行n次观测，观测值：L1,L2,……,Ln;可表示为：12,1nnLLLL~1~~2,1~nnLLLL~11~22,1~nnnLLLLLLL-L偶然误差的特性例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计列表如下:误差区间-△+△个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.0301.60000000和1810.5051770.495(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数用直方图表示:当n∞时，概率密度函数曲线以正态分布为其极限例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计,列表如下:误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200……………………………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.00252.60000000和2100.4992110.501与之前具有类似的相同分布特征概率密度函数误差的概率分布曲线•若将误差区间的间隔无限缩小，就会出现两条光滑的曲线，称为误差的概率分布曲线或误差分布曲线，曲线所对应的函数则被称为概率密度函数。通过数据总结出偶然误差的规律性:①在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。③绝对值相等的正负误差出现的概率相同。④偶然误差的数学期望为零，即：换言之，偶然误差的理论平均值为零。()(())()()0EEELLELEL根据数理统计知识，服从正态分布的随机变量的概率密度函数为：22()21()e2xfxx∞∞概率密度式为：2221()e2f0对于偶然误差△而言：正态分布曲线都具有两个拐点:•偶然误差△，拐点在横轴上的坐标为:=拐0x拐1.3.1方差、中误差1.3.2极限误差1.3.3相对误差1.3.4平均误差1.3.5或然误差1.3.6准确度、精确度1.3衡量精度的指标重点和难点:衡量精度的各标准的定义及相互关系;学习目的和要求:理解精度、准确度、精确度的定义；掌握方差、均方差、中误差、平均误差、或然误差等精度估计标准的定义其相互关系；离散度:是指误差分布在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。——如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。精度：就是指误差分布的密集或离散的程度。是指观测结果与其数学期望的接近程度，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。基本概念：同精度观测值:在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。1.3.1方差和中误差用表示误差分布的方差，误差Δ的概率密度函数为：由方差的定义：由于在此主要包括偶然误差部分，所以有：22221()2fe222()()(())DEE()0E222()()()DEfd方差为真误差平方的数学期望，可以写成：[]limnn2()E中误差即为：221[]limlimninninn∞∞方差和中误差的定义式，都是在理想情况下定义的。方差和中误差的估值•但在实际计算中，n总是一个有限值，这意味着，由有限个真误差只能求得方差和中误差的估值。方差中误差[]ˆn2[]ˆn1.3.2极限误差由于也就是说偶然误差的绝对值大于三倍中误差的概率仅有0.3%，是小概率事件，在有限次的测量中可看做不可能事件。因此以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。P(-+)68.3%P(-2+2)95.5%P(-3+3)99.7%32限或置信概率1.3.3相对误差问题：有两段距离S1和S2，经多次观测得到观测值及其中误差分别为300.00m±2cm和600.00m±2cm，请问哪段距离测量的精度高？对于某些观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1。——其意义可简单理解为：每观测N单位长度时产生1单位长度的误差。1kLN1.3.4平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。设以表示平均误差，则有：如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。()()Efdlimnn或然误差的定义是：误差出现在之间概率等于1/2，即：将Δ的概率密度代入上式，作变量代换，令,则得：由概率积分表查得，当概率为1/2时，积分限为0.6745，即得1.3.5或然误差(,)1()2fd,,ttddt22011()222tfdedt20.674531/2因此：中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于:当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响；中误差具有明确的几何意义(分布曲线的拐点坐标);平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。1.3.6准确度、精确度•前述：精度是指误差分布的密集或离散的程度，即各个观测值与其数学