第一章误差估算与数据处理方法.

§1.1误差基础知识§1.2误差的处理§1.3直接测量的数据处理§1.4间接测量的数据处理§1.5常用数据处理方法第1章误差估算与数据处理方法下一页章目录返回上一页§1.1常用基本概念§1.1.1测量(Measurement)§1.1.2误差(Error)§1.1.3精度(Trueness)§1.1.4不确定度(Uncertainty)§1.1.5有效数字(Significantfigure)下一页章目录返回上一页1.1.1测量1.测量的定义测量是利用仪器设备通过一定测量方法，将待测物理量与一个选做为标准的同类物理量进行比较，确定待测物理量大小的过程。测量三个要素(1)测量方法；(2)仪器设备；(3)测量结果比较法米尺90.70cm§1-1误差基础知识测量的目的：获得测量值(数据)。例如：用最小刻度为mm的米尺测量物体的长度。90.70cm下一页章目录返回上一页按测量结果获得方法：测量可分为直接测量和间接测量在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，但是，直接测量是一切测量的基础。2.测量的分类(1)直接测量用标准量与待测量直接进行比较。例如：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流；等等。(2)间接测量经过直接测量与待测量有函数关系的物理量，再经过运算得到待测物理量的测量方法。例如：用钢卷尺测量桌子的面积S=a×b=S(a,b)下一页章目录返回上一页按测量条件：测量可分为等精度测量和不等精度测量2.测量的分类(1)等精度测量相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。相同测量条件：同一测量水平的观测者同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验环境等精度测量测量的所有数据，可信赖程度相同，数据处理过程中的地位相同，一视同仁。(2)非等精度测量不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。非等精度测量测量的所有数据，可信赖程度不同，数据处理过程中的地位不同，按测量精度的高低，区别对待。下一页章目录返回上一页按被测量在测量过程中所处的状态，测量可分为静态测量和动态测量2.测量的分类(1)静态测量在测量过程中被测量固定不变，不随时间变化。静态测量不考虑时间因素对测量值的影响，测量值和误差作为随机变量处理。(2)动态测量在测量过程中被测量随时间变化。动态测量需考虑时间因素对测量值的影响，测量值和误差作为随机过程处理。下一页章目录返回上一页1.真值与误差的定义(1)真值x0：任何物质都有自身的各种特性，反映这种特性的物理量所具有的客观真实数值(2)误差：由于测量仪器的限制、测量方法的不完善、周围环境的变化、人的感官的缺陷等因素的影响，测量结果总是与真值之间有一定的差异。误差δ用式子可表示为：1.1.2误差测量不能得到真值，但可以减小测量误差，误差的基本性质普遍性：存在一切测量之中，贯穿于测量始终。不可知性：一般真值是未知的，误差就无法知道。下一页章目录返回上一页0xx2.误差的分类下一页章目录返回上一页粗大误差人员误差理论或方法误差环境误差仪器误差系统误差随机误差误差误差按照性质分类，可分为2.误差的分类(1)随机误差在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，每次测量的误差可能是正或负，也可能是比较大或小，这是难以预测的，而且毫无规律而言。但是，如果测量次数很多时，误差的出现又符合一定的统计规律。(2)系统误差在同一测量条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定或随条件的改变而按某一确定规律变化的误差。例如：零点不准、天平不等臂、刻度不均匀等。随机误差无法从实验中完全消除，但多次测量可以减小。系统误差尽量消除或减小下一页章目录返回上一页2.误差的分类(3)粗大误差在测量中某种原因所引起的错误，也称疏失误差。如读数错误，记录错误，操作错误，估算错误，等等。说明系统误差与随机误差关系系统误差由测量过程中某一突出因素变化引起。随机误差由测量过程中多种因素微小变化综合引起。存在粗大误差时，测量值明显偏离被测量的真值。数据处理时，先检验测量数据是否存在粗大误差，剔除含有粗大误差的数据。随机误差与系统误差不存在绝对的界限。在一定条件下，随机误差和系统误差可以相互转化。下一页章目录返回上一页3.误差的表示形式(1)绝对误差用绝对大小给出的误差，表示为δ＝x－x0相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分数表示。绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正可负，有单位。(2)相对误差绝对误差与被测量真值的比值，表示为E＝δ/x0×100％例如：测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=40.0mm；绝对误差分别为δ1=0.8mm，δ2=0.4mm。相对误差分别为：E1=0.8%，E2=1.0%。下一页章目录返回上一页3.误差的表示形式(1)绝对误差(2)相对误差(3)引用误差绝对误差与测量范围上限或量程的比值，表示为E＝δ/xmax×100％引用误差主要用于仪器误差的表示，实际上是一种简化方便的仪器相对误差，无单位，用百分数表示。最大引用误差称为引用误差限。引用误差限的绝对值×100称为仪器准确度等级。国家标准规定电工仪表分为11个准确度等级，分别为0.05、0.1、0.2、0.3、0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0和5.0。根据仪器的准确度等级可计算仪器误差。下一页章目录返回上一页不确定度是与测量结果相联系的一种参数。基本定义：对测量结果可信赖程度的评定。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可信赖程度高。精度也称精确度，描述测量结果与真值的接近程度。精度是一个定性的概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低。1、不确定度的概念测量不确定度是对测量结果不确定范围的标度，也可以理解为测量误差可能出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，也表示待测量的真值可能在某个量值范围的评定。1.1.3、精度1.1.4、测量不确定度下一页章目录返回上一页1、不确定度的概念2、不确定度的相关表述标准不确定度：用标准差表示，u合成不确定度：几个不确定度的合成，uc扩展不确定度：合成不确定度的倍数，UU＝kuc置信因子k，与误差分布特性有关的系数。1.1.4、测量不确定度3、不确定度的表示形式绝对不确定度：uc相对不确定度：E4、测量结果的表示形式被测量x，最佳估计值不确定度u，完整的测量结果表示为x%100xuEuxx下一页章目录返回上一页5、不确定度的分类不确定度B类分量：用非统计方法评定的不确定度，uB1、不确定度的概念2、不确定度的相关表述3、不确定度的表示形式4、测量结果的表示形式5、不确定度的分类按评定方法的不同，可分成两类：A类分量和B类分量。不确定度A类分量：用统计方法评定的不确定度，uA1.1.4、测量不确定度标准不确定度A类分量由测量列概率分布导出的概率密度函数求出。标准不确定度B类分量由一个认定的或假定的概率密度函数求出。下一页章目录返回上一页一、有效数字的概念有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由准确数字和可疑数字组成。通常，测量结果的有效数字是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的。有效数字与测量条件(如仪器、环境、人员)密切相关，有效数字的位数由测量条件和待测量的大小共同决定。1.1.5、有效数字例如，用最小分度值为1mm的尺，测量一物体长度得到1.65cm。“5”是在6和7两个整毫米刻度内估读的，是不可靠的，可疑数字；1.6是由尺子刻度直接读出的，是可靠数字。1.65cm下一页章目录返回上一页1、有效数字的位数有效数字＝“可靠数字”＋“一位可疑数字”总共有几位称为几位有效数字。有效数字由表征测量结果的可靠数字与可疑数字组成的。可疑数字在有效数字中一般只有一位。一、有效数字的概念15.86，四位有效数字5.32，三位有效数字5.320，四位有效数字0.0532，三位有效数字1.65cm下一页章目录返回上一页2．数字“0”在有效数字中的作用“0”在数据中的位置不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如：0.03020m这个数中共有4个“0”，其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，而其余两个“0”是有效数字，即数字中间和末尾的“0”是有效的。既然数字末尾的“0”是有效数字，那么就不能在数字的末尾随意加0或去掉0，否则物理意义将发生变化。由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，那么数字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效数字都是4位。因此，在十进制单位进行换算时有效数字的位数不应发生变化。如，3.5A的电流值，若用mA单位表示，不能写3500mA，而应采用科学记数法，写成mA105.33。mA105.33当实验结果的有效数字位数较多进行取舍时，一般采用“四舍六入五凑偶的方法”。此方法是：4以下舍去，6以上“入”，5是否“入”，要看其前一位是否为奇数，若前一位为奇数，则5进位，把前一位凑成偶数，即“5凑偶”；若前一位为偶数，则5舍去，不凑偶。3、有效数字的修约规则3.141596.3785012.717294.510505.62353.21650下一页章目录返回上一页修约成4位有效数字→3.142→6.378→2.717→4.510→5.624→3.2161、直接测量的有效数字2.00cm(1)有指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位。(2)数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读。下一页章目录返回上一页二．有效数字的确定2、间接测量的有效数字间接测量量有效数字的确定，应遵循由不确定度来确定测量量的有效数字，即间接测量量有效数字的末位与不确定度的末位对齐。2、间接测量的有效数字间接测量量有效数字的确定，应遵循由不确定度来确定测量量的有效数字，即间接测量量有效数字的末位与不确定度的末位对齐。如面积23.84525cmS绝对不确定度2Scm02.0u面积S的正确结果2cm)02.03.84(S在间接测量中，由于最终结果是由许多测量数值，经过一定的函数运算得到，那么在中间运算过程中，参与计算的量可能很多，这些数据的有效数字可能都不一致，使得数据计算显得繁琐和复杂为了简化运算过程，同时又不会造成过大的计算误差，一般可采用一些规则进行运算：下一页章目录返回上一页(1)加减法运算加减运算应以参与运算各数据中末位数数量级最大的数据为准，其余各数据在中间计算过程中向后可多取一位，最后结果与末位数数量级最大的那一位对齐。271262.6753.03.712712.68.03.717.347348(2)乘除法运算乘除法运算以参与运算各数据中有效数字位数最少的为准，其余数字在中间运算过程中可多取一位有效数字，最后结果的有效数字与有效数字位数最少的那个数相同。0013.008437.45.390013.008.45.3921.0(3)乘方和开方运算规则与乘除法运算规则相同，即结果的有效数字与被乘方、开方数的有效数据位数相同。240.196.1121110.1124161102下一页章目录返回上一页(4)对数运算自然对数的有效数字位数与真数有效位数相同。而以10为底的对数，其尾数(小数点后的数字)的有效数字位数与真数的有效数字位数相同。682.1374.5ln32854.1308.21lg(5)指数运算对于ex，其有效数字用如下方法决定：把ex的结果用科学表示法表达，小数点前保留一位，小数点后保留的位数与指数x在小数点后面的位数相同。3134.810408.3e00081.1e00081.03275104e对于10x，其有效数字用如下方法决定：其有效数字的取法与ex的取法相同，或少取一位(当10x的结果的第一位大于5时可少取一位)。8134.810361.110507.6108134.0下一页章目录返回上一页(6)三角函数运算三角函数运算，其有效数字位数取法是：通过改变sinx末位数的一个单位，观察函数值的变化，以决定原来函数值的位数。例如，计算sin30o