第一章随机过程

第一章随机过程1第一章随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。随机信号分析与应用21.1随机过程的基本概念及统计特性1.1.1随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1tx，也可能得到波形)(2tx，)(3tx等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而这些所有可能的波形集合)(1tx，)(2tx，)(3tx，…，)(txn，…..，就构成了随机过程)(tX。图1.1噪声电压的起伏波形1．样本函数：)(1tx，)(2tx，)(3tx，…，)(txn，都是时间的函数，称为样本函数。2．随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t的函数，还是可能结果的函数，记为),(tX，简写成)(tX。第一章随机过程33．随机过程的定义：定义1把随机过程看成一族样本函数。4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。因此，可从以下4个方面对定义进行理解。随机信号分析与应用41.1.2随机过程的分类随机过程的分类方法有多种，可以按是否连续来分类，也可以按样本函数的形式来分类，还可以按概率分布的特性来分类。1、按随机过程的时间和状态来分类●连续型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值)(1tX都是连续型随机变量。●离散型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值)(1tX都是离散型随机变量。●连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如t，2t，…..，nt，且这时得到的随机变量)(tnX是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。●离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如t，2t，…..，nt，且这时得到的随机变量)(tnX是离散型随机变量，即时间和状态都离散。相当于采样后再量化。2、按样本函数的形式来分类●不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。●确定的随机过程。随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。3、按概率分布的特性来分类这是一种更为本质的分类方法，可分为：平稳随机过程，正态随机过程，马尔可夫过程，独立增量过程，独立随机过程和瑞利随机过第一章随机过程5程等等。1.1.3随机过程的概率分布前面说过，用定义2分析随机过程方便，也就是说，把随机过程)(tX看成n维随机变量),...(),....,(),(21ntXtXtX的集合（n趋向无穷，且1iittt相当小）。这样，就把多维随机变量的研究代替随机过程的研究，这样的代替足够精细。1、一维概率分布定义：由于t1是任一时刻，因此，常把),(11txFX简写成),(txFX。如果),(txFX的偏倒数存在，则：xtxFtxfXX),(),(为随机过程)(tX的一维概率密度函数。注意：在此定义中，首先固定了时间t，这样就得到了t时刻的随机变量)(tX（t可以是任意时刻），这种分析方法后面经常用到。显然，随机过程的一维概率密度是时间t的函数，其性质随机信号分析与应用6与一维随机变量的性质一样。2、二维概率分布随机过程的二维概率分布反映了随机过程X(t)任意两个时刻状态之间的联系。通过求边沿分布可以分别求出两个一维边沿分布),(11txfX和),(22txfX。3、n维概率分布同理，它具有多维随机变量的性质。第一章随机过程71.1.4随机过程的数字特征随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数，因此，对随机过程的数字特征可以采用“信号与系统”中学习的各种对确定性信号的处理方法。对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算（这时随机过程可以理解为：)(tX为随机变量（t为任意时刻）1、数学期望随机信号分析与应用8图1.2随机过程)(tX的数学期望物理意义：如果随机过程)(tX表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。2、均方值和方差定义：随机过程)(tX在任一时刻t的取值是一个随机变量)(tX。我们把)(tX二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：第一章随机过程9注意：)]([2tXE和)]([tXD都是确定性函数，)]([tXD描述了随机过程偏离其数学期望的程度。比较方差与均方值的关系，显然有：物理意义：如果)(tX表示噪声电压，则均方值)]([2tXE和方差)]([tXD分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。标准差或均方差：)()]([ttXDX＝3、自相关函数先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。图1.3具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程随机信号分析与应用10定义：自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用),(21ttRX描述。当t1=t2时，自相关函数就是均方值。a)自协方差函数若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用),(21ttKX表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。＝21211)]2()][([dxdxtmxtmxXX－－b)比较自协方差和自相关函数的关系第一章随机过程11c)比较自协方差和方差的关系4、随机过程的特征函数a)一维特征函数随机过程)(tX在任一特定时刻t的取值)(tX是一维随机变量，其特征函数为:dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(随机信号分析与应用12其反变换为：duetuCtxfjuxXX);(21);(这里，);(txfX为随机过程)(tX的一维概率密度。b)二维特征函数第一章随机过程13c)n维特征函数1.2时间连续随机过程微分和积分随机信号分析与应用14随机过程的微分和积分运算类似于一般的函数的微积分运算，但由于涉及极限和收敛问题，因而略有不同。1.2.1随机过程的连续型1、预备知识：对于确定性函数)(xf，若0)]()([lim00xfxxfx，则)(xf在0x处连续。2、随机过程)(tX连续性定义3、随机过程)(tX的相关函数连续，则)(tX连续4、随机过程)(tX均方连续，则其数学期望连续第一章随机过程15由均方连续的定义，0t，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不可能小于0）。即：0)]([)]([)]()([tXEttXEtXttXE注意)]([tXE为确定性函数，由预备知识，可知)]([tXE连续。1.2.2随机过程的导数预备知识：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：一阶可导：如果ttfttft)()(lim0存在，则)(tf在t处可导，记为)(tf。二阶可导：hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00存在，则),(tsf二阶可导，记为tstsf),(21、随机过程可导的定义随机信号分析与应用162、判别方法由于上面的)(tX是未知的，判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则。即下面式子成立，则随机过程均方可微（书上证明中t的下标有错）。0]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt证明：]))()()()([(222221111ttXttXttXttXE)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX＋＋＋注意上式右端已经不含有随机变量，由预备知识中的确定性函数可导定义，第一章随机过程17]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt3、数字特征（1）随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数证明：])()(lim[])([0ttXttXEdttdXEt交换极限和数学期望顺序，得＝ttmttmttXttXEXXtt)()(lim])()([lim00由确定性函数可导定义得＝dttdmtmXX)()(（2）随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数随机信号分析与应用18即：2121221),()]()([ttttRtXtXEX证明：])()(.)()(lim[)]()([22221111002121ttXttXttXttXEtXtXEtt＝])()(.)()([lim222211110021ttXttXttXttXEtt＝2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt＝21212),(ttttRX（由确定性函数二阶可导定义）1.2.3随机过程的积分1、预备知识对于确定性函数)(xf，baniiixfdxxf10)(lim)(，其中，1iiixxx，nixi,....,2,1,max2、随机过程积分的定义第一章随机过程19若过程。3、随机过程积分的数学期望等于随机过程数学期望的积分。随机信号分析与应用20即：（注意Y为随机变量）a)随机过程积分的均方值和方差随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分；其方差为随机过程协方差的二重积分。过程的积分的平方可以写成二重定积分的形式：第一章随机过程21b)随机过程积分的相关函数：等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（现对t1,后对t2积分）注意，此处定义的积分是变上限的，与前面的不同，因此)(),(21tYtY是随机过程。随机信号分析与应用221.3平稳随机过程和遍历性过程在通信中，常常把稳定状态下的随机过程，当作平稳随机过程来处理，这样，对这个随机过程任何时候来测量，都会得到同样的结果，从而大大简化了数学模型。对一些非平稳的随机过程，在较短的时间内，常常把它作为平稳随机过程来处理。然而，对于一个平稳过程，计算其一阶和二阶统计特性是很困难的，而计算其一定时间内的算术平均值相对容易。如果其统计特性与算术平均特性在概率意义下相等，我们称之为遍历性，也叫各态历经性。第一章随机过程231.3.1平稳随机过程平稳随机过程可以分为严平稳随机过程和宽平稳随机过程两种。1、严平稳随机过程（侠义平稳过程）（1）定义设有随机过程)(tX，若它的n（2）特点（3）严平稳随机过程的数字特征因为：)()0,(),(),(11111