第一章静电场.

第一章静电场第一章静电场静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。本章任务：阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解电场的各种计算方法，或者反之。静电场知识结构框图静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。基本实验定律（库仑定律）基本物理量（电场强度）EE的旋度E的散度基本方程微分方程边值问题唯一性定理分界面衔接条件电位（）边界条件数值法有限差分法解析法直接积分法分离变量法镜像法，电轴法静电参数(电容及部分电容)静电能量与力图1.0静电场知识结构图1.1.1库仑定律1.1电场强度21202121R4qqeFN(牛顿)1221FF适用条件：两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;22102112R4qqeFN(牛顿)图1.1.1两点电荷间的作用力库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明:真空中两个静止的点电荷与之间的相互作用力:2q1q结论：电场力符合矢量叠加原理当真空中引入第三个点电荷时，试问与相互间的作用力改变吗?为什么？3q1q2q无限大真空情况(式中1291085.836100F/m)可推广到无限大各向同性均匀介质中)(01.1.2静电场基本物理量——电场强度定义：tqqzyxzyxt),,(),,(lim0FEV/m(N/C)电场强度（ElectricFieldIntensity)E表示单位正电荷在电场中所受到的力(F),它是空间坐标的矢量函数,定义式给出了E的大小、方向与单位。a)点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/m'''4qq)(20tprrrrrrFrE30'4)'(qrrrr图1.1.2点电荷的电场R20R4qeV/mb)n个点电荷产生的电场强度(注意:矢量叠加)c)连续分布电荷产生的电场强度)'(dq''41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41'''q41)(errrrrrrEV/m体电荷分布'dV)'(dqrdq''41)('V30rrrrrER'v20R'dv)'(41er图1.1.3体电荷的电场面电荷分布R's2'0R'ds)(41)(errE')'(dsdqr线电荷分布Rl20'R'dl)'(41)(errE')'(dldqr)'(dq''41)(30rrrrrrdE例1.1.1真空中有长为L的均匀带电直导线,电荷线密度为,试求P点的电场.解:采用直角坐标系,令y轴经过场点p,导线与x轴重合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)yL1yL1(4dxyxx)yx(4E221222o22LL22o21x)yLLyLL(4dxyxy)yx(4E22112222o22LL22o21y,时当21LLLxxyypEE)y(eeE(直角坐标)y0y2ezzEEE)z,,(eeeE(圆柱坐标)e02图1.1.4带电长直导线的电场无限长直均匀带电导线产生的电场垂直于线电荷，为平行平面场。电场强度的矢量积分一般先转化为标量积分,然后再合成,即)z,y,x(EzzyyxxEEEeeeE点电荷的数学模型积分是对源点进行的,计算结果是场点的函数。)',','(zyx),,(zyx点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。当时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数表示点电荷的密度分布。0a)r()z,y,x(0r当0r当01'dV)r('dV)z,y,x('V'V)0r'V(点包含积分区域图1.1.5单位点电荷的密度分布点电荷的密度)(q)(rr点电荷30''4q)(rrrrrE30''4q)(rrrrrE矢量恒等式FFFCCC)'('1)'('1''333rrrrrrrrrrrr直接微分得0)'(rr0)'(''3)'('133rrrrrrrrrr故0)r(E电场强度E的旋度等于零1.2静电场环路定律和高斯定律1.静电场旋度1.2.1静电场环路定律可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零，即0E2.静电场的环路定律sld)(d0sElE由斯托克斯定理，得在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。llEE0d0二者等价。3.电位函数E1)电位的引出,0E根据矢量恒等式0在静电场中可通过求解电位函数(Potential)，再利用上式可方便地求得电场强度E。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2)已知电荷分布，求电位：30''4q)(rrrrrEC'q41)r(N1iii0rr点电荷群C'dq41)r('v0rr连续分布电荷以点电荷为例推导电位：3'''1rrrrrr)r('4q)(0rrrEC'4q)r(0rrdl,dS,dV:dq3)E与的微分关系E在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：][zyxzyxeeeE00E？()0E0？()根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点4)E与的积分关系llEdd00pp0ppd)p()p(dlEddzzdyydxx][设P0为参考点参考点pdplE)(图1.2.1E与的积分关系5)电位参考点的选择原则场中任意两点的电位差与参考点无关。同一个物理问题，只能选取一个参考点。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：Cr4q000rC0rr4q00C表达式无意义0RrR4qr4q00R4qC0电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。6)电力线与等位线（面）0dlE故电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线E的方程。当取不同的C值时，可得到不同的等位线（面）。在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z,y,x(等位线(面)方程:E线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若是电力线的长度元，E矢量将与方向一致，ldld在球坐标系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q20r20pr4r4cosqdep)sincos2(r4qr30peeEErdEdrr电力线微分方程（球坐标系）：代入上式，得sinDr解得Ｅ线方程为将和代入上式，ErE等位线方程（球坐标系）：cos'Cr，Crp204coscos2drr2用二项式展开，又有，得drcos2drr1表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。p图1.2.2电偶极子r1r2例1.2.1画出电偶极子的等位线和电力线。)(dr电力线与等位线（面）的性质：E线不能相交;E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；图1.2.3电偶极子的等位线和电力线图1.2.4点电荷与接地导体的电场图1.2.5点电荷与不接地导体的电场1.2.2真空中的高斯定律点电荷产生的电场1.高斯定理的积分形式点电荷产生的电场V/m)(rerqrE204dSdrrSSeerqSE204Sqrq0204dS如果闭合面包围了n个点电荷，则根据叠加原理niiSqSdE101闭合曲面的电通量E的通量仅与闭合面S所包围的净电荷有关。闭合面外的电荷对场的影响S面上的E是由系统中全部电荷产生的。如果闭合面内的电荷是密度为的体分布电荷，则VSdVSE01d2.高斯定律的微分形式VSdVSE01d散度定理VVdVVE01d0E0E00EE高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度E为零，静电平衡；电荷分布在导体表面，且。0E任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）接地导体都不带电。（）1.2.3.电介质中的高斯定律1.静电场中导体的性质2.静电场中的电介质图1.2.13静电场中的导体电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；电介质内部和表面产生极化电荷；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。无极性分子有极性分子图1.2.14电介质的极化用极化强度P表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度式中为体积元内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0ee——电介质的极化率,无量纲量。均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化；一个电偶极子产生的电位：202r0R4cosqdR41ep极化强度P是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：'dV')'()(41'V30rrrrrPzqdep式中图1.2.15电偶极子产生的电位R1R1'R2Re'dVR1')'(41'V0rP'dVR)'(41'V2R0erP'dVR1')'(41'V0rP'dVR)'('41'dVR)'('41'V0'V0rPrP矢量恒等式：uu)u(FFF图1.2.16体积V内电偶极矩产生的电位'dSR)(41'dVR)('41'Sn0'V0erPrP散度定理令PpnpeP极化电荷体密度极化电荷面密度')'(')'()(''dSR41dVR41rSp0Vp0rr这就是电介质极化后，由面极化电荷和体极化电荷共同作用在真空中产生的电位。0pp3.电介质中的高斯定律a）高斯定律的微分形式0E0pE（真空中）（电介质中）将ρp=–▽·P代入，得)(PE0这表明，矢量0E+P的散度为自由电荷密度。定义电位移矢量PED0则有D电介质中高斯定律的微分形式其中——相对介电常数；——介电常数，单位（F/m）er1EEEEEPEDree)(000001在各向同性(P与E同方向)介质中D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。B）高斯定律的积分形式DdVdVVVDqdSSD散度定理D的通量与介质无关，但不能认为D的分布与介质无关