第一节一维波动方程的Cauchy问题

1第二章波行法本章将利用行波法和球平均法分别求解一维和二维、三波动方程Cauchy问题的§1一维波动方程的Cauchy问题一、D’Alembert公式考虑初始位移为)(x，初始速度为)(x的无界弦的自由振动，该振动可以归结为如下初值问题：xxuxxutxuautttxxtt)()()0,(0002（2.1）由第一章第三节弦振动方程可经自变量变换简化，作变换：atxatx由uuuuuxxxuuuuuuuuxxxx2)()()(uuaauauut2)(2uuuautt代入方程(2.1)得042ua由02Ta，有0u先对积分,得()uf其中()f是任意的函数,再对积分,得到212()()()()ufdFFF其中12,FF都是任意的函数.把,换成x,t的表示式,即得)()(),(21atxFatxFtxu(2.2)(2.2)给出的仅仅是泛定方程的解为了得到满足(2.1)的解,考虑初值条件)()()()0,(21xxFxFxu(2.3)和)()()()0,(21xdxxdFdxxdFaxut(2.4)将(2.4)两端取从0x到x积分：3xxdCxFxFa0)()()(21(2.5)其中)]()([,02010xFxFaCx任意.联立(2.4)和(2.5)，解得：aCdaxxFxx2)(21)(21)(01aCdaxxFxx2)(21)(21)(02将以上两式代入(2.2)即得Cauchy问题(2.1)的解atxatxdaatxatxtxu)(212)()(),(这叫做一维波动方程Cauchy问题的D．’．Alembert．．．．．．．．公．式．.。(1)可以证明，当12,CC时，D’Alembert公式一定满足Cauchy问题，故该问题的解存在。(2)得到D’Alember公式一个解，故该问题的解是唯一的。(3)稳定性。设ititxxttuutxuau002,)0,(0有解21,uu，对0，当21，21，),0(0tt时，有4atxatxdaatxatxatxatxuu0)()(212)()(2)()(21212121)1(221220tata取01t，则21uu，故稳定。结论：当12,CC时，Cauchy问题是适定的。二、解的讨论（1）泛定方程解的物理意义令02F，得)(),(1~atxFtxu)0(a是方程的解，当t取不同的值时，它表示相应于不同时刻的振动状态：)()0,(1~xFxu表示初始时刻振动状态，)(),(010~atxFtxu表示0t时刻振动状态。在}{xou平面上，将)(1xF向右平移0at距离即得到)(01atxF，随着0t的增大,)(01atxF将逐渐地往右平行移动，故称齐次波动方程形如)(1atxF的解为右行波．．．。右行波在传播过程中波形不变,经过0t时刻，5波形移动了0at的距离，右行波的传播速度atat00/为一个常数，速度不变。)(02atxF为左行波．．．，它表示波形)(2xF以速度a向左传播，且传播过程中，波形也不变化。（2）D’Alember公式的物理意义1）初始位移引起的振动212211220211121002222)(xxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux或xx,0)(由达朗贝尔公式)(21)(21),(atxatxtxu，即初始位移分为两半分别向左、右两方以速度a移动(图2由下而上各图的细线所描绘)，这两个行波的和(图2由下而上的粗线所描绘)给出各个时刻波形。61x2x图1图2物理现象为弦上各点，振动未传播到时，处于平衡位置时，振动传到时，相应点将发生位移的变化，振动传过后，该点仍回复到平衡位置。初始位移引起的振动有清晰的波前和波后。2）初始速度引起的振动：设0)(21,021,1)(xxxxxut=0t1t2t3t4x)(x0u7取1a，此时)]()([21)(21),(txtxdtxutxtx)(x是)(x的一个原函数，xxxxxdx21,12121,2121,0)()(其图形由图3给出，0t时，)](21[)(21)0,(xxxu为)(21x与)(21x的叠加，),(txu为左行波)(21tx和右行波)(21tx叠加而成。1,21,41,0t的波形见图4，细线表示左、右行波，粗线表示两者的叠加。xu)(x图3ut=0t=1/4t=1/2t=18随着时间的推移，波形),(txu为上下底边逐渐伸长的等腰梯形。弦上各点在未扰动前处于平衡状态，对某固定点而言，一经扰动，就不再回复到原来的位置，此种现象成为有持久后效。初始速度引起的振动有清晰的波前而无清晰的波后。三、影响区域、依赖区间、决定区域（1）影响区域假定初值],[0],[0)(),(2121xxxxxxxx讨论在哪些点],[,0),(21xxtxu即上的初始振动，在t时刻的传播范围。由泛定方程解的物理意义知：),(txu由左、右行波叠加而得。],[21xx上的初始振动，在t时刻，右行波传到],[21atxatx，左行波传到],[21atxatx，因此经过t时刻，初始振动传播的范围是：)0(21tatxxatx，称区域}0,|),{(:21tatxxatxtxΑ为区间],[21xx的Atatxx1atxx29影响区域，见图5.x1x2（2）依赖区间依赖区域是讨论时空平面上任一点),(00txM的),(00txu将依赖于哪些点的初值问题。由D’Alembert公式0000)(212)()(),(000000atxatxdaatxatxtxu),(00txu仅依赖于],[0000atxatx上的初值，称区间],[0000atxatx为点),(00txM的依赖区间．．．．(3)决定区域在],[21xx上给定了初值)(),(xx，则),(tx点的u值也就被确定。),(tx点与区间端点连线的斜率分别为a1,因此过1x作斜率为a1的直线atxx1，过2x作斜率为a1的直线atxx2,此两条直线与],[21xx围成区域:}0,|),{(:21tatxxatxtxB,见图6，称三角区域B为区间],[21xx的决定区域．．．．。tatxx1atxx2B10x1x2四、齐次化原理（Duhamel原理）一条无界弦，初位移、初速度为0，受外力),(txF作用作强迫振动.(I)xuxutxtxfuautttxxtt00)0,(),(002其中/),(),(txFtxf齐次化原理设);,(txv是齐次cauchy问题(II)xxfvxvtxvavtttxxtt),(0),(02的解，其中是参数，则dtxvtxut0);,(),(为非齐次方程cauchy问题(I)的解。冲量原理的物理意义：11由冲量原理mdvFdt在时间段],[dttt，外力F的作用相当于在原有运动速度v的基础上增加了dv的速度，即Fdt可视为单位质量物体在时刻dt获得的初始速度，将各时间段的作用叠加起来即得外力F在时间],0[t内对弦的作用利用齐次化原理给出非齐次方程Cauchy问题(I)的解。令0'tt，则问题(II)变为:（III）xxfvxvtxvavtttxxtt),(0)0',(00''0'2''由D’Alembert公式有:)()(''),(21),(21);,(taxtaxatxatxdfadfatxv所以问题(I)的解为:ttaxtaxtddfadtxvtxu0)()(0),(21);,(),(对一般非齐次一维波动方程Cauchy问题12)()()0,(),(002xuxutxtxfuautttxxtt利用叠加原理),(),(),(txVtxUtxu(i))()()0,(0002xUxUtxUaUtttxxtt(ii)00)0,(),(002tttxxttVVtxtxfVaVttaxtaxatxatxddfadaatxatxtxu0)()(),(21)(21)]()([21),(对于有界弦非齐次方程混合问题(I)0000)0,0(),(0002tttlxxxxttuuuutlxtxfuau也有类似的齐次化原理:若);,(txv是13(II)),(000),0(002xfuvvvtlxvavtttlxxxxtt的解,则dtxvtxut0);,(),(为非齐次方程混合问题(I)的解。对非齐次热传导方程混合问题,可把持续热源的作用视为若干瞬时热源作用的叠加,也有相应的齐次化原理.若);,(txv是如下齐次方程混合问题的解,(I)),(00),0(002xfvvvtlxvavtlxxxxt则dtxvt0);,(为非齐次方程混合问题(II)000)0,0(),(002tlxxxxtuuutlxtxfuau的解。14作业：179页1，2。