自动控制原理第4章习题解邵世凡

第四章习题4-1绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、54*sssKsHsG解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=0，n=3，n-m=3。即，有限零点为0个，开环极点为3个。其中，3个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-4，p3=-5。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p1=0，p2=-4，p3=-5出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0，p2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线303054011mnzpnimjji,,331212kmnka从p1=0，p2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：1sN；sssssssD2095423；0'sN；201832'sssD则有：0201832''sssDsNsDsNIm[s]Res[s]0-3-2-1-6-5-40201832ss解得方程的根为s1=-4.5275（不合题意舍去）；s2=-1.4725得分离点坐标：d=-1.4725。与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：02092092323KjjKsssjs整理得：0203；092K解得01；203,2；18092K最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。2、11.02*sssKsHsG解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=1，n=3，n-m=2。即，有限零点为1个，开环极点为3个。其中，有限零点的坐标为z=-0.1；3个开环极点的坐标分别为：p1=p2=-0，p3=-1。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，其中一条从p3=-1出发奔向有限零点z=-0.1处；而另外两条根轨迹分别从p1=0，p2=0，出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0，p2=0两个极点出发的根轨迹只能通过进入复平面到达无穷远处的零点，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在Im[s]Res[s]0-0.3-0.2-0.1-0.6-0.5-0.4-0.7-1-0.9-0.8Im[s]Res[s]0-3-2-1-6-5-4-j2+j2实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线45.0131.010011mnzpnimjji,23,2131212kmnka从p1=0，p2=0两个极点出发的根轨迹在将沿着在d=-0.45处，角度为±90º的渐进线奔向无穷远处的零点。分离点：设：1.0ssN；2321sssssD；1'sN；sssD232'则有：0231.0223''ssssssDsNsDsN02.03.1223sss解得方程的根为：s1=0；s2=-0.40（不合题意舍去）；s3=-0.25（不合题意舍去）；得分离点坐标：d=0；。分离角为：,23,221212klkd最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。3、842*sssKsHsG解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=0，n=3。即，有限零点为0个，开环极点为3个。其中，3个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-2+j2，p3=-2+j2。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹。通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p1=0，p2=-4，p3=-5出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p1=0极点出发的根轨迹将沿着实轴出发奔向无穷远处的零点。而另外两个条根轨迹分别从p2=-2+j2，p3=-2-j2出发奔向无穷远处的零点。因此，有必要进行bm出射角的计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线340302222011jjmnzpnimjji,,331212kmnka从p1=-0极点出发的根轨迹在将沿着在d=-4/3处，角度为±180º的渐进线奔向无穷远处的零点。而从p2=-2+j2，p3=-2-j2两个极点出发的根轨迹在将沿着在d=-4/3处，角度为±60º的渐进线奔向无穷远处的零点。出射角45901351802222022180180212122jjjppzpniiimjjp根据对称原则可知，453p。由出射角的的可知，根轨迹必然与纵轴相交。与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：084842323KjjKsssjs整理得：083；042K解得01；83,2；3242K最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。4、14.1644222*sssssssKsHsG解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。由开环传递函数可知m=2，n=3。即，有限零点为2个，分别为，z1=-1+j1.7321，z2=-1-j1.7321。开环极点为5个，5个开环极点的坐标分别为：p1=0，p2=-4，p3=-6，p5=--0.7+j0.7141，p6=-0.7-j0.7141。然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。如图所示。接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹。通过画实轴上的根轨迹图可知，有5条闭环根轨迹，其中有两条奔向有限零点z1=-1+j1.7321，z2=-1-j1.7321。另外3条分别从p1=0，p2=-4，p3=-6出发奔向无穷远处的零点。在这一过程中，从p3=-6极点出发的根轨迹将沿着实轴出发奔向无穷远处的零点。而另外两个条根轨迹分别从p5=--0.7+j0.7141，p6=-0.7-j0.7141，出发奔向有限零点。因此，有必要进行出射角的计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。根据公式有：渐进线13.325j1.73211j1.732110.7141j0.7-0.7141j0.7-64011mnzpnimjji,,3251212kmnka从p1=-6极点出发的根轨迹在将沿着在d=-3.13处，角度为±180º的渐进线奔向无穷远处的零点。而从p1=0，p2=-4，两个极点出发的根轨迹在分离点处汇合后，沿角度为±60º的渐进线奔向无穷远处的零点。因此有必要计算分离点坐标与分离角：由开环传递函数可知：422sssN，14.1642ssssssD22'ssN；2487.211745.65246.43394.11234'2345'ssssssssssD022246.43394.11422487.211745.6523452234''sssssssssssssNsDsNsD从p5=-0.7+j0.7141，p6=-0.7-j0.7141出发的根轨迹奔向两个有限零点，z1=-1+j1.7321，z2=-1-j1.7321。因此，有必要进行出射角和入射角的计算。首先计算出射角：12554.881807.6712.29045.68373.5881800.7141j5.30.7141j3.31.4282j0.7141j0.72.4462j0.31.018j0.318060.7141j0.740.7141j0.70.7141j0.70.7141j0.700.7141j0.7j1.732110.7141j0.7j1.732110.7141j0.7180180215155niiimjjpppzpIm[s]Res[s]0-3-2-1-6-5-4-j1.7321+j1.7321-j0.7141+j0.7141根据对称原则可知，1255p。由对称性可知，出射角1256p，77.48257.481801.9103903873.5806180j3.46421.7321j51.7321j32.4462j0.31.018j0.3j1.73211180j1.73211j1.732116j1.732114j1.732110.7141j0.7j1.732110.7141j0.7j1.732110-j1.73211180180111111mijjniizzzpz根轨迹必然与纵轴相交。与虚轴的交点：在交点处，s=jω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：042246.43394.1122345ssKsssss042246.43394.112345KsKsKsss042246.43394.112345KKjKjj046.434.110224392435KKKjjj4-2已知系统的特性方程为:①09**23KsKss；②025.11*Ksss③0531**KsKss试绘制以K*为参数的根轨迹图。解：①，首先，对闭环系统的特征进行整理，通过提取公因式的方法，从而获得等效的开环传递函数。091192*2sssKss912*sssKsG于是有：n=3，m=1；p1=p2=0；p3=-9；z=-1，(n-m)=2。其次，画根轨迹草图，由图可知，渐近线为413190011mnzpnimjji,23,2131212kmnka出身射角为：niiimjjpppzp21515180212,190901018021②025.11*Ksss首先，对闭环系统的特征进行整理，通过提取公因式的方法，从而获