自动控制第八章系统定性分析1

《自动控制理论》教案4－1中国科学技术大学自动化系2019-12-19第八章系统的定性性分析定性分析则是研究系统的一般特性。对此我们一点也不觉得陌生，因为在古典控制理论中我们对系统的稳定性这个很重要的一般特性，进行过较多讨论。在现代控制理论中，我们除了进一步讨论系统的稳定性之外，还要涉及一些新的概念，如能达性（Reachability）、能观性（Observability）；能控性（Controllability），能构性（Constructibility）；能稳定性（Stabilizability），能检测性（Detectability）等等，对系统的这些特性进行定性分析，对于分析、特别是设计系统有着很重要的实际意义。本章我们先讨论我们较为熟知的稳定性。§8.1稳定性分析对任何一个物理系统，都有运动的稳定性的问题。不稳定的系统在实践中是没有用的。所谓运动稳定性理论，就是研究某些确定的或随机的干扰作用对系统运动状态的影响，看其是否能耐受这种干扰的影响以保持预定的工作状态，从而建立一套准则来判别运动状态是稳定的或不稳定的。在进行古典控制理论的学习时，就曾多次讨论过系统的稳定性问题时用劳思（Routh）判据、奈奎斯特（Nyquist）判据来分析线性系统的稳定性，我们已经相当熟练，但若系统是非线性的或是时变的，上述一些稳定性判据就显然有点爱莫能助，尽Nequist判据可用于某些特殊类型的非线性系统，但描述函数法对于确定系统的稳定性是近似的，而建立在相平面法基础之上的稳定性分析也只能用于低阶系统。线性系统的响应总可以分解为零状态响应和零输入响应之和。习惯上对两种响应的稳定性分别研究。对于零状态响应，我们将介绍BIBO（Bounded-InputBounded-Output，有界输入有界输出）稳定性；对零输入响应，我们将介绍限界稳定性和渐近稳定性。我们将主要讨论线性定常的情况。8.1.1BIBO稳定性的概念首先回忆一下线性系统的输入输出时域描述。以单输入单输出的线性定常系统为例，其零状态输出响应可写作ttdtugdutgty00)()()()()((8.1.1)其中)(u是施加在系统输入端的激励信号，)(y是在输入激励下系统输出端的响应信号；)(g是系统的脉冲响应函数，对于一般的时变系统，脉冲响应函数是二元函数，),(tg表示τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应，当系统是定常系统时，脉冲响应函数退化为单变量函数，)(tg表示初始时刻施加的理想脉冲输入在t时刻所引起的输出，而τ时刻施加的输入在t时刻引起的响应自当记为)(tg。当然，这样描述的系统必须是线性的、因果的、初始时刻松弛的。再复习一下函数有界的概念。输入)(tu称作是有界的是指)(tu不会发展到正无穷或《自动控制理论》教案4－2中国科学技术大学自动化系2019-12-19负无穷，或等价地说，存在一个常数um使得0)(tutum定义8.1系统称为BIBO稳定的（界输入有界输出稳定）是指：系统在每一个有界的输入信号激励下所引起的输出响应都是有界的。该稳定性是定义在零状态响应之上，即仅当系统初始松弛时才能使用。定理8.1线性定常的单输入单输出（SISO）系统(4.1.1)，BIBO稳定的充要条件是其脉冲响应函数)(tg在[0,+∞]上绝对可积，即存在某正常数M，使0)(Mdttg证明：首先我们证明：如果)(tg是绝对可积的，则每一个有界输入都引起有界输出。设)(tu为一任意有界输入，即对所有t≥0有mutu)(，则tmmtMudgudtugdtugty000)()()()()()(所以输出是有界的。下面，我们从直观上来证明，若g(t)不是绝对可积的，则系统就非BIBO稳定。若g(t)不是绝对可积的，则存在t1使得10)(tdg我们选择0)(10)(1)(1ggtu显然u是有界的，而由此输入所引起的输出等于11001)()()()(ttdgdtugty它不是有界的，所以该系统不是BIBO稳定的，至此完成了对定理4.1的证明。[证毕]还要指出的是：函数绝对可积并不意味着有界，也不意味着当t→∞时趋于零。8.1.2BIBO稳定性的条件定理8.2由正则有理传递函数描述的SISO系统，BIBO稳定的充要条件是)(ˆsg的所有极点都具有负实部，或等价地说，位于开左半s平面。若)(ˆsg有mi重极点pi，则其部分分式展开式中含有如下各项：miiiipspsps)(1,,)(1,12《自动控制理论》教案4－3中国科学技术大学自动化系2019-12-19于是,)(ˆsg的拉氏反变换或脉冲响应式会有如下各项：tpmtptpiiiiettee1,,,可以直接验证，每一个这样的模态绝对可积的充要条件是pi有负实部，用此事实我们可以建立上述定理。【例8-1】若系统BIBO稳定且其传递函数为)(ˆsg，试证明：当t→∞时1．当输入为0,)(tatu，输出响应趋于)0(ˆga；2．当输入为0,sin)(0tttu，则输出响应趋于))(ˆsin()(ˆ000jgtjg证明：若t≥0时总有u(t)=a，则式(4.1.1)成为ttdgadtugty00)()()()(其中g(t)是)(ˆsg的拉普拉斯反变换，又因0000ˆˆ(0)()()()sssggsgedgd它意味着，当t→∞时0ˆ()()(0)ytagdag这就证明了第一个结论。而当ttu0sin)(时，(4.1.1)成为ttttdgtdgtdttgdtgty0000000000000sin)(coscos)(sin]sincoscos)[sin()(sin)()(于是，我们有，当t→∞时000000sin)(coscos)(sin)(dgtdgtty若g(t)是绝对可积的，我们可在拉氏变换分定义式中以j替代s，从而得到0]sin)[cos()(ˆdjgjg因脉冲响应g(t)是实函数，于是有00sin)()](ˆIm[cos)()](ˆRe[dgjgdgjg其中Re,In分别表示实部和虚部，将它们代入(4.1.1)得到))(ˆsin()(ˆ)])(ˆ(Im[cos)])(ˆ(Re[sin)(jgtjgjgtjgtty这就完成了所要的证明。[证毕]定理8.3由状态空间方程描述的线性定常系统，BIBO稳定的充分条件是系统的所有特征值都具有负实部。《自动控制理论》教案4－4中国科学技术大学自动化系2019-12-19上一节我们讨论了系统的外部稳定性，即BIBO稳定性，它是定义在零状态响应之上的。现在我们来研究系统的内部稳定性，即由其非零初态所引起的零输入响应之上的稳定性问题。重点介绍李雅普诺夫稳定性理论。李雅普诺夫（A.M.Ляпунов，英译Lyapounov）是俄国数学家、力学家。1857年6月6日生于雅罗斯拉夫尔；1918年11月3日卒于敖德萨（因妻子死于肺结核而自杀身亡）。李雅普诺夫1876年中学毕业时，因成绩优秀获金质奖章，同年考入圣彼得堡大学物理数学系学习，当他听了著名数学家切比雪夫的讲座之后即被其渊博的学识深深吸引，从而转到切比雪夫所在的数学系学习，在切比雪夫、佐洛塔廖夫的影响下，他在大学四年级时就写出具有创见的论文，而获得金质奖章。1880年大学毕业后留校工作，1892年获博士学位，其博士论文《运动稳定性一般问题》，奠定了稳定性理论的基础。1893年起任哈尔科夫大学教授，1900年初当选为圣彼得堡科学院通讯院士，1901年又当选为院士，并兼任应用数学学部主席。1909年当选为意大利国立琴科学院外籍院士，1916年当选为巴黎科学院外籍院士。李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理方法最有名。在概率论中，他创立了特征函数法，实现了概率论极限定理在研究方法上的突破，这个方法的特点在于能保留随机变量分布规律的全部信息，提供了特征函数的收敛性质与分布函数的收敛性质之间的一一对应关系，给出了比切比雪夫、马尔可夫关于中心极限定理更简单而严密的证明，他还利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布.他对概率论的建树主要发表在其1900年的《概率论的一个定理》和1901年的《概率论极限定理的新形式》论文中.他的方法已在现代概率论中得到广泛的应用李雅普诺夫是常微分方程运动稳定性理论的创始人，他1884年完成了《论一个旋转液体平衡之椭球面形状的稳定性》一文，1888年，他发表了《关于具有有限个自由度的力学系统的稳定性》。特别是他1892年的博士论文《运动稳定性的一般问题》是经典名著，在其中开创性地提出求解非线性常微分方程的李雅普诺夫函数法，亦称直接法，它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数（现称为李雅普诺夫函数）的存在性联系起来，这个函数沿着轨线关于时间的导数具有某些确定的性质.正是由于这个方法的明显的几何直观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础，也是常微分方程定性理论的重要手段。李雅普诺夫对位势理论的研究为数学物理方法的发展开辟了新的途径。他1898年发表的论文《关于狄利克雷问题的某些研究》也是一篇重要论文.该文首次对单层位势、双层位势的若干基本性质进行了严谨的探讨，指出了给定范围内的本问题有解的若干充要条件。他的研究成果奠定了解边值问题经典方法的基础。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫第一方法，李雅普诺夫第二方法，李雅普诺夫定理，李雅普诺夫函数，李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫球面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机函数，李雅普诺夫随机算子，李雅普诺夫特征指数，李雅普诺夫维数，李雅普诺夫系统，李雅普诺夫分式，李雅普诺夫稳定性等等，而其中以他的姓氏命名的定理、条件有多种。《自动控制理论》教案4－5中国科学技术大学自动化系2019-12-198.1.3平衡状态定义8.2：对于零输入条件下的自由运动，若系统达到某状态ex时，系统将维持在此状态而不再发生变化，则称状态ex为该系统的一个平衡状态。对于一般的连续时间系统),,(uxfxt，设其零输入条件下的状态响应形式为),;,()(00x0uxttt，则由上述定义知平衡状态满足方程),;,(0eettx0x。从另一个角度来说，平衡状态满足代数向量方程00xfx),,(eet特别地，当系统是连续时间线性系统时，平衡状态是代数向量方程0xAe的解。显然，0xe一定是连续时间线性系统的一个平衡状态。连续时间线性系统有且仅有一个平衡状态0xe的充要条件是：系统矩阵A非奇异，或者说A没有0的特征值。同样，对于离散时间系统)][],[,(]1[kkkkuxfx，其平衡状态应满足代数方程)][],[,(][kkkkuxfx特别地，当系统是离散时间线性系统时，零输入条件下系统的齐次状态方程是][][]1[kkkxFx其平衡状态是代数向量方程eexxF的解。显然，0xe也一定是离散时间线性系统的一个平衡状态。离散时间线性系统有且仅有一个平衡状态0xe的充要条件是：矩阵IF非奇异，或者说F没有1的特征值。注意：并不是所有系统都能找到平衡状态，例如如下的非线性一维系统：12xx就没有平衡状态。8.1.4李雅普诺夫稳定性的定义一、必要的数学术语1．泛函普通的函数是数域至数域的一个映射，自变量是数，因变量也是数；而泛函是指非数集合至数域的一个映射，即其自变量是非数元素，因变量是数。2．范数严格的范数定义是所谓的公理化定义，即对某集合中的元素x，，若有