第一讲复积分的概念性质及基本定理

返回第一讲、复积分的概念、性质及基本定理1、积分定义2、积分性质3、积分存在条件及其计算法4、复积分基本定理5、复合闭路定理6、课堂练习下节上页返回结束结束上页返回设C是平面上一条光滑（或分段光滑）曲线，给曲线指定一个方向，则称曲线C为有向曲线。指定的方向称为曲线C的正向。1、积分的定义A、有向曲线如图1所示，若C有两个端点，则在给定的方向下一个是起点A，一个是终点B，则正向就是从A到B的方向，从而把从B到A的方向称为曲线C的负向，记作。CAB图1上页返回结束结束上页返回如图2所示，若C是简单闭曲线则C的正向是指当曲线上的点P顺此方向沿曲线前进时，曲线内部总在观察者的左边，与之相反的方向称为曲线的负向.B、复积分概念图2定义：设函数)(zfw定义在区域D内为，C区域内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线。把曲线C任意分成n个弧段，设分点为BzzzzzzAnkk,,,,,,1210在每个弧段kkzz1上任意取一点k(如后图)，并作和式上页返回结束结束上页返回DCBAnkkknkkkknzfzzfS111)())((z0z1Zk-1Zn-1zkznkz2其中1kkkzzz。记kkzzS1的长度}{max1knks，当0时，若不论对C的分法及k的取法如何，nS有唯一极限，那么称此极限值为函数)(zf沿曲线C的积分，记作Cdzzf)(，即nkkkCzfdzzf1)()(上页返回结束结束上页返回若C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作Cdzzf)(若C为有向分段光滑曲线，由有向光滑曲线nCCC,,21首尾连接而成，即nCCC1，则定义Cdzzf)(=nkCkdzzf1)(。2、积分性质与定积分类似，复积分有如下性质CCdzzfdzzf)()(1、CCdzzfkdzzkf)()(2、CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()]()([3、上页返回结束结束上页返回4、若nCCCC21，则Cdzzf)(=nkCkdzzf1)(5、设曲线C的长度为L，函数)(zf在C上满足Mzf|)(|，那么CCMLdszfdzzf|)(||)(|。3、积分存在条件及其计算法存在条件：当)(zf是连续函数，而C是光滑曲线时，积分Cdzzf)(一定存在。计算方法：上页返回结束结束上页返回设光滑曲线C由参数方程itytxtzz)()()(，t给出，参数及对应于起点A及终点B并且0)(tz，),(),()(yxivyxuzf在D内处处连续，设ikkk，由kkkkkkkkkkkkkyixyyixxiyxiyxzzz)()()(11111可知nkkkkkkknkkkiyxivuzf11))](,(),([)(上页返回结束结束上页返回]),(),([1kkknkkkkyvxunkkkkkkkyuxvi1]),(),([注意到),(),,(yxvyxu为连续函数，由数学分析中第二型曲线积分定义及可积性可知，0时，上式Cdyyxvdxyxu),(),(右边Cdyyxudxyxvi),(),(从而CCCudyvdxivdyudxdzzf)(再由曲线积分计算公式得上页返回结束结束上页返回CCCudyvdxivdyudxdzzf)(dttytytxvtxtytxu})())](),(([)())](),(({[dttytytxutxtytxvi})())](),(([)()](),(({[dttyitxtytxivtytxu))()())]((),(())(),(([dttztzf)())((即dttztzfdzzfC)())(()(此即为在给出参数方程的曲线C上复积分的计算公式.该公式将复积分转为定积分计算。上页返回结束结束上页返回例1，计算Czdz，其中C为a)从原点指向i1的直线段；b)从原点经点1z到i1的折线段。解:a)直线段C参数方程为：)1()(ittzz10tCzdz=iidtiit210)1(21)1)(1(b)如图，记从原点到1z的直线段为1C，从1z到i1的直线段为2C。则21,CC的参数方程分别为：10,1:;10,:21titzCttzC101+iCzdz1010)1(21idtittdtzdzzdzCCi上页返回结束结束上页返回例2、计算，其中为a)从原点指向的直线段；b)从原点经点到的折线段。CdzzCi11zi1解:a)直线段C参数方程为：)1()(ittzz10tCdzz1)1)(1(10dtiitb)如图，记从原点到1z的直线段为1C，从1z到i1的直线段为2C。则21,CC的参数方程分别为：10,1:;10,:21titzCttzC101+iCdzz1010)1(21idtittdtzdzzdzCC1i上页返回结束结束上页返回例3、计算Cnzzdz10)(其中C为以0z为中心，r为半径的正向圆周，n为整数。解：如图，C的参数方程为irezz0，20所以0zC2020)1(110)(deriderirezzdzinCnninin当0n时，结果为：idi220上页返回结束结束上页返回当0n时，结果为：0)sin(cos20dninrinrzznnnizzdz||1000,00,2)(所以这是一个常用结果，注意该结果与的半径无关。C上页返回结束结束上页返回定理3.1（柯西定理）如果函数)(zf在区域D内为解析函数，01,LLD是区域内内具有相同起点和终点的简单光滑曲线，若它们在D内同伦，则01LLff4、复积分基本定理——柯西积分定理由复积分与第二型曲线积分关系CCCudyvdxivdyudxdzzf)(上页返回结束结束上页返回若C为闭曲线且满足：),(),,(yxvyxu在C所围成的区域D上具有一阶连续偏导数，即)(zf在C所围成的区域D上连续。那么由格林公式，及柯西-黎曼方程可得：0)()()(DDCdxdyyvxuidxdyyuxvdzzf事实上对复解析函数，我们有如下基本定理：定理3.2（柯西-古萨定理）如果函数)(zf在单连通区域D内处处解析，那么函数沿D内的任意一条封闭曲线C的积分为0，即Cdzzf)(=0。上页返回结束结束上页返回注意：定理中并没有要求)(zf连续，且C可以不是简单闭曲线。定理又称为柯西积分定理。柯西-古萨基本定理还可如下推广：定理3.3若)(zf在闭曲线C所围成的区域D内解析，在DDC上连续，那么0)(Cdzzf。5、复合闭路定理考虑在多连通区域上推广柯西-古萨基本定理。上页返回结束结束上页返回设D为多连通区域，C及1C为任意两条简单闭曲线，1C在C的内部，而且以C及1C为边界的区域1D全含于D，AAEBAEBdzzf0)(0)(BFABFAAdzzfCC1DD1ABEFABEF如图作辅助曲线BBAA,。则由基本定理上两式，相加得上页返回结束结束上页返回即0)()(1CCdzzfdzzf或11)()()(CCCdzzfdzzfdzzf上式表明多连通区域内任意两条简单闭曲线1,CC，只要以C，1C为边界的区域1D全含于D内就有1)()(CCdzzfdzzf闭路变形原理：解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线的连续变形而改变，只要在曲线变形过程中不经过函数的奇点。AAAACCdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(10)()(BBBBdzzfdzzf上页返回结束结束上页返回等式0)()(1CCdzzfdzzf表明：若把1CC构成的复合闭路看成是区域1D的正向边界曲线（这点与高等数学中区域边界曲线正向规定一致），那么我们有类似与柯西-古萨基本定理的结论：0)(dzzf对上述过程做更一般的分析，可以得到如下定理：定理4（多连通区域柯西定理）设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线，nCCC,,,21是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C,nCCC,,,21为上页返回结束结束上页返回边界的区域全含于D（如图所示），如果)(zf在D内解析，那么nkCCkdzzfdzzf1)()()1其中C及kC均取正方向；0)()2dzzf这里为由C及nkCk,,2,1,所组成的复合闭路，为正方向。DCC1C2C3例4、设C是任意一条内部包含0z的闭曲线，取正向，求Czzdz0。上页返回结束结束上页返回解：作曲线|:|01zzC，取正向。由闭路变形原理=Czzdz0izzdzC210例5、计算dzzzz212的值，为包含圆周1||z在内的任意正向简单闭曲线。解：在曲线内，函数zzzzf212)(除0z和1z两个奇点外处处解析，在内作两个互不包含也不相交的圆周1C与2C(如后图)，上页返回结束结束上页返回其中1C内只含奇点0z，2C内只含奇点1z，那么由复合闭路定理，得21)()()(CCdzzfdzzfdzzf2211111111CCCCdzzdzzdzzdzziii4022010CC1C2上页返回结束结束上页返回6、课堂练习题1、求CzdzRe，其中C为由1z指向i32的直线段。2、求432zzdz，其中3|:|z，正向。3、试计算Cdzz在C为正向曲线，1||z2||z的值，此结果和闭路变形原理矛盾吗？为什么？