第一讲高等代数选讲之多项式理论

第一讲多项式理论多项式理论是高等代数的重要内容之一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到，是代数学中最基本的研究对象之一。因此，在学习这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和计算。知识脉络图解重因式一元多项式概念最大公因式多项式的相等及运算带余除法综合除法余数定理多项式恒等及多项式函数的运算整除性因式分解方程的根不可约多项式因式分解唯一性定理数域多项式函数多元多项式概念多元多项式函数对称多项式对称多项式基本性质复数域上的因式分解实数域上的因式分解有理多项式不可约判定本原多项式求有理根实多项式根的性质代数学基本定理根与系数的关系重点、难点解读这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。对于多元多项式，则要理解元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。n一、数域的判定设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域。1、数域的概念2、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域。（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。例1、设P是一个数集，有非零数，且P关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。aP证因为，所以aP0,1.aaaPPa有,,abP0,ababP即P对加法封闭。,,abP若中有一个为零，则,ab0.abP若，则0ab.1aabPb从而P对乘法封闭。综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域。例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。证设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还包含至少一个复数。0abib由于P是一个数域，所以.abiaiPb但,RP从而对任意实数都有，,ababiP即P包含了全体复数。故P=C。二、一元多项式的概念1、一元多项式的概念形式表达式1110nnnnfxaxaxaxa称为数域P上文字的一元多项式，其中x01,,,,naaaP是非负整数。当时，称多项式的次数为n.n0nafx记为.fxn2、多项式的相等关系设1110nnnngxbxbxbxb1110nnnnfxaxaxaxa0,1,2,,iifxgxabin则3、次数公式（1）max,;fxgxfxgx（2）.fxgxfxgx4、一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为，称P为的系数域。PxPx5、一元多项式环的有关结论多项式的加、减、乘运算对封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。Px6、注意零多项式和另次多项式的区别。例1、令50494847504911fxxxxxxxxx求的奇次项系数之和。fx解法1由于515049111xxxxx5150494847111xxxxxxx两式相乘得102211xxfx由于与无奇次项，从而不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。1021x21xfx法2因为，所以是偶函数，于是的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。fxfxfxfx例2、设为一多项式，若fxfxyfxfy则或0fx1.fx证若，则证毕。若，由于0fx0fx22fxfxxfxfxfx所以只能是零次多项式。fx令，又因为0fxA220000AfffA所以，此即1.fx1A例3设是非零实系数多项式，是一个正整数，且，则为零次多项式或者。()fxk(()()kffxfx()fx()kfxx31.4P三、多项式的带余除法及整除1、带余除法定理（带余除法）设,,0,fxgxPxgx则存在唯一的多项式使,,qxrxPxfxqxgxrx其中或0rx.rxgx2、整除的概念设，如果存在多项式使，则称整除。,fxgxPx,hxPxfxhxgxfxgx3、整除的充分必要条件如果，则的充分必要条件是用0gxgxfxgx除所得的余式fx0.rx注多项式的整除性是中元素间的一种关系，不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。Px4、整除的性质（1）任一多项式一定整除它自身，即fx;fxfx（2）0;fx（3）零次多项式能整除任一多项式；（4）零次多项式只能被零次多项式整除；（5）零多项式只能整除零多项式；（6）如果，则，其中为非零常数，为常数；gxfxkgxlfxkl（7）如果，且，则fxgxgxhx;fxhx任意多项式都整除零多项式。（8）如果，又为任意多项式，ifxgxiux1,,,im则1122mmfxucgxucgxucgx（9）如果，且，则fxgxgxfx,fxcgx其中为任意常数。c（10）多项式有相同的因式与倍式；fxcfx与（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。5、综合除法设以除gxxa1110,nnnnfxaxaxaxa所得的商，及余式则1110nnqxbxbxb0,rxc比较两端同次幂的系数得fxqxgxrx1211011000,,,,nnnnnbabaabbaabcaab6、判定整除的方法为证明一个多项式整除一个多项式，如果其系数已具体给出时，通常采用带余除法和待定系数法。fxgx如果的系数未具体给出时，可采用以下方法：fx现设出的全部复根，并假设无重根，即gxgx12kgxaxxx其中互异。12,,,k再证12,,,kxxx01,2,,,ifik则有从而1,2,,,ixfxik12kxxxfx.gxfx这是因为两两互素，故因式分解法：直接将因式分解，得出，当然这种情况只有在特殊情况下才能做到。验根法：()fx()()()fxgxhx例1、将多项式43261271fxxxxx按的方幂展开。1x解法1应用综合除法，即对于次多项式，用逐次除所得的商，得nfx1x43121314fxxxx法2应用泰勒公式，由泰勒公式42341111111112!3!4!ffffxffxxxx得411114,13,0,2,1.2!3!4!fffff从而43121314fxxxx例2：设21()1nfxxxx2()(())nngxfxxx证明：()|()fxgx61.9P例2、若，问是否必有？若不成立，举出反例。若成立，请说明理由。1nxfx1nnxfx解成立。法1因为，所以，即1nxfx10nf10.f从而，故存在，使得1xfxgx1.fxxgx于是，此即1nnnfxxgx1.nnxfx法2有个不同的复根，设为1nxn12,,,,n则有，于是11,2,,niin1101,2,,nnifffin这表明都是的根，故12,,,n1.nnxfxnfx例3、证明（是三个任意的正整数）。2331321mnpxxxxx,,mnp分析用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即的充分必要条件是xafx0.fa证可求得的根为21xx121313,22ii所以，又由2121xxxx3211101,2iiiii知，从而31i3331.mnpiii设33132,mnpfxxxx则有331322101,2mnpiiiiiifi故由因式定理知且，又因为1xfx2xfx1x2x且互素，从而12xxfx即21.xxfx注本例证明中，是指在复数域C上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在P上与在C上整除是一致的。12xxfx四、最大公因式的计算与证明1、最大公因式的概念设，如果满足且，则称为与的一个公因式；又如果与的任一公因式都能整除，则称为与的一个最大公因式。,fxgxPxdxPxdxfxdxgxfxgxgxfxfxgxdxdxdx1、最大公因式的概念设，如果满足且，则称为与的一个公因式；又如果与的任一公因式都能整除，则称为与的一个最大公因式。,fxgxPxdxPxdxfxdxgxfxgxgxfxfxgxdxdxdx四、最大公因式的计算与证明2、最大公因式的性质（1）中任意两个多项式与一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。Pxfxgx（2）设如果有,,0,fxgxPxgxfxqxgxrx则与的最大公因式一定是与的最大公因式，而与的最大公因式也一定是与的最大公因式。特别地，有。（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）fxgxfxgxgxgxrxrx,,fxgxgxrx（3）设，如果是与的最大公因式，则必有，使,fxgxPxdxPxfxgx,uxvxPx