第七章-最佳接收

第7章最佳接收机本章学习要求：掌握数字通信系统中接收机实现各个特定准则下最佳接收方式；掌握最大输出信噪比准则；掌握最小均方误差准则；掌握最小错误概率准则；掌握最大后验概率准则；了解上述相应的最佳接收机模型。最佳接收准则)()()()(222111sPsPsPsPPeeedyypsPyse)()(0111dyypsPyse)()(02221．最小差错率准则—理想接收机在数字通信系统中，传输质量的主要指标是错误概率，因此，将差错概率最小作为“最佳”的准则是恰当的。换句话说，当接收端收到某个符号时，判决最有可能的发送符号是哪个，使正确接收的概率达到最大。因此，最小差错率与“最大后验概率”是等价的。其中，P(s1)和P(s2)分别为发端符号s1和s2的发送概率，且Pe1和Pe2中的积分区间需根据具体问题来确定。该准则就是使Pe达到最小，即达到最小差错率。这个准则推导出来理想接收机。（8-1）2．最大输出信噪比准则-匹配滤波器max2)(ooooNtsNS这个准则推导出来匹配滤波法接收。在抽样时刻，对每个码元作判决，信噪比越大越好。信噪比越大，误码率就越小。因此，假设存在某种接收方法，使抽样判决时刻的信噪比达到最大，则误码率就会达到最小，这就最大输出信噪比准则。即dt(t)sx(t)(t)e2121dt(t)sx(t)(t)e2222)()t(2221tee)()t(2122tee和若则判为s2(t)。这个准则推导出来相关接收机。根据接收到的信号与信号的样品对照，计算出均方误差，与哪种符号的误差最小，就判决为哪种符号，这也是一种正确接收的思路。在二元数字通信系统中，均方误差为则说明接收信号x(t)与s1(t)的均方误差更小，即更“像”s1(t)，因此，接收判决时应判为s1(t)。反之，若3．最小均方误差准则—相关接收机7.1匹配滤波器的原理1、最佳线性滤波器的设计准则和匹配滤波器分析模型在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一，滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。在数字信号接收中，滤波器的作用有两个方面:第一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；第二是抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。最佳线性滤波器的设计有两种准则：①维纳滤波器——使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器；②匹配滤波器——使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。由数字信号的判决原理我们知道，抽样判决器输出数据正确与否，与滤波器输出信号波形和发送信号波形之间的相似程度无关，也即与滤波器输出信号波形的失真程度无关，而只取决于抽样时刻信号的瞬时功率与噪声平均功率之比，即信噪比。信噪比越大，错误判决的概率就越小；反之，信噪比越小，错误判决概率就越大。因此，为了使错误判决概率尽可能小，就要选择滤波器传输特性使滤波器输出信噪比尽可能大的滤波器。当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。输出信噪比达到最大的滤波器的传输特性分析模型如图8.12所示。数字信号接收等效原理图设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(f),滤波器输入信号与噪声的合成波为r(t)=s(t)+n(t)式中，s(t)为输入数字信号，其频谱函数为S(f)。n(t)为高斯白噪声，其双边功率谱密度为n0/2。+H(f)判决s(t)n(t)r(t)y(t)t=t0输出SN()o)t(n)t(s)t(x10一、匹配滤波器的原理设线性滤波器的输入端加入信号与噪声的混合波形为：并假定噪声为高斯白噪声，其功率谱密度为n0/2，s(t)的频谱函数为S(ω)，要求线性滤波器在某一时刻t0上有最大的信号瞬时功率与噪声平均功率的比值，首先需确定在上述最大输出信噪比准则下的最佳线性滤波器的传输特性H(ω)由于该滤波器是线性滤波器，满足叠加定理，因此滤波器输出y(t)也由输出信号和输出噪声两部分组成，即)t(n)t(s)t(xooode)(S)(H21)t(stjo其中d)(P21NonOd)(H4n2011d)(H4nde)(S)(H21202tj0o20ooN)t(sr输出噪声平均功率：d2n)(H2102)(P)(H)(Pio2∴线性滤波器在t0时刻的输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为：则寻求最大ro的线性滤波器就是求使上式达到最大值的H(ω)d)(H4nde)(S21d)(H21r202tj2o0max12Edt)t(sd)(S2122可用许瓦尔兹不等式解决：2d)(Y)(X21d)(Y21d)(X2122当时上式取等号。)(kY)(X*)(H)(X0tje)(S)(Y令则：2nd)(S2102s(t)的总能量根据帕塞瓦尔定理有:模为10onE2rmax130tj*e)(kS)(H上式成立的条件是结论：在高斯白噪声干扰背景下，按设计的线性滤波器将能在给定时刻t0上获得最大输出信噪比2E/n00tj*e)(kS)(H由于它的传输特性与信号频谱的复共轭一致，故称为匹配滤波器。14匹配滤波器的冲激响应：de)(H21)t(htj)tt(sk0dee)(kS21tjtj0d)(sde21k)tt(j0dte)t(s)(Stj*dede)(s2k)tt(jj0d)(s)tt(k0上式表明：匹配滤波器的冲激响应是信号s(t)的镜像信号s(-t)再平移t00t00t)tt(sk)t(h015对于因果系统，h(t)应满足：则要求s(t0-t)在t0的情况下需为零，即要求：0tt0)t(s这个条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0≥T。对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况下取t0=T。16匹配滤波器的输出信号d)(h)t(sd)t(s)t(sk0d)]tt([s)(sk0)tt(kR0)t(h)t(s)t(so令ts(t)的自相关函数由于ro与k无关，所以为了便于分析通常令k=1，则匹配滤波器的输出信号就是输入信号的自相关函数。因此常把匹配滤波器当作一个相关器。T0d)(h)t(y)t(h)t(yT0'''dt)t(s)t(y17二、匹配滤波器在最佳接收机中的应用以二进制确知信号最佳接收机为例。T0d)T(s)t(yT0'''dt)t(s)tTt(y二进制确知信号s(t)的持续时间为（0，T），考虑到匹配滤波器的物理可实现条件，即t0=T，则y(t)通过匹配滤波器的输出波形为：T00d)t(s)t(y抽样判决时刻选在t=T，则上式变为:令T't匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。其形成原理如所示。s(t)OTth(t)Ott0图8.13匹配滤波器单位冲激响应原理对于因果系统，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足:Ks(t0-t),t≥00,t＜0为了满足式(8.5-17)的条件，必须有：(8.5-17)s(t0-t)=0,t＜0(8.5-18)s(t)=0,t0-t＜0或t＞t0(8.5-19)h(t)=上式条件说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器，其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0≥T。对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取t0=T。4、匹配滤波器的输出信号若输入信号为s(t)，则匹配滤波器的输出信号为dtKstsdhtsthtsts)()()()()(*)()(00有令,0xt式中，R(t)为输入信号s(t)的自相关函数。上式表明，匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自相关函数的K倍。因此，匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在t0时刻得到最大输出信噪比romax=2E/n0。由于输出信噪比与常数K无关，所以通常取k=1。[例]设输入信号如图所示，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。s(t)=1,0≤t≤0,其他2T)()()()(000ttKRdxttxsxsKts)215.8(输入信号波形输入信号s(t)的频谱函数为20)()(TjwtjwtdtedtetswS)1(12wTjejw匹配滤波器的传输函数为00)1(1)(*)(2jwtwTjjwteejwewSwH或：匹配滤波器的单位冲激响应为h(t)=s(t0-t)取t0=T，则有jwTwTjeejwWH)1(1)(2h(t)=s(T-t)图8.15匹配滤波器单位冲激响应波形(2)匹配滤波器的输出)()()()()()()(0000TttTstsdxttxsxsttRts,22tTdttT,232tTdtTTt,0TtT223TtT其他=匹配滤波器的输出波形如图8.16所示。可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量E=T/2。图8.16匹配滤波器的输出波形})]()([1exp{)2(1)(02101Tknsdttstynyf})]()([1exp{)2(1)(02202Tknsdttstynyf数字通信中最直观最合理的准则便是“最小差错概率准则”。以二进制为例，发送信号只有两个s1(t)和s2(t),则当发送信号为s1(t)或s2(t)时,y(t)的概率密度函数（似然函数）为:最小差错概率准则”。25)(1yfs)(2yfs1a2aiyy从图中可看出，当抽样值为yi时将同时对应fs1(y)和fs2(y)，即yi可能是s1变来的，也可能是s2变来的，而fsi(y)反映了这种“变来的”可能性大小。需确定一个判决的最佳划分点y0，使总的错误概率最小。260y)(1yfs)(2yfs1a2ay2Q1Q当抽样值y落在时判决为r1，当抽样值y落在时判决为r2)y,(0),y(0在实际传输中，发送s1后可能因噪声影响使接收端抽样值y落在，这时接收端误判为r2，其差错概率),y(00y1s1dy)y(fQ同理，发送为s2，接收端却误判为r1的差错概率为0y2s2dy)y(fQ270y)(1yfs)(2yfs1a2ay2Q1Q每次判决总的平均差错概率为:一般认为P(s1)和P(s2)是已知的,故Pe是否达到最小由y0决定，即问题转化为找出使Pe最小的最佳划分点y0，可采用Pe对y0求导并使之为0的方法，即：0)y(f)s(p)y(f)s(pyP02s201s10e00y2y2112211edy)y(fs)s(Pdy)y(fs)s(PQ)s(PQ)s(PP28)s(P)s(P)y(f)y(f1202s01s∴最佳划分点y0需满足