第七章_FIR数字滤波器的原理与设计2

第七章FIR数字滤波器的原理与设计宜春学院理工学院内容提要•7.1线性相移FIR数字滤波器的特性•7.2窗口法•7.3频率取样法•7.4FIR数字滤波器的优化设计•7.5IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的比较•习题及作业学习目标•掌握线性相位FIR数字滤波器的特点•掌握窗函数设计法•理解频率抽样设计法•了解设计FIR滤波器的最优化方法•理解IIR与FIR数字滤波器的比较7.1FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其零极点FIR数字滤波器是非递归的线性时不变因果系统，其差分方程为1.7)()(10Niiinxany系统的冲激响应为2.7)1(1)()(11010NnananainanhNNii可见这个系统的冲激响应是有限长度的，即有限冲激响应（FIR）滤波器。3.7)()()(10Niinxihny)1,1,0()(Niihai将代人（7.1）式得上式两边进行Z变换后，可得FIR滤波器的系统函数4.7)()(110NnnNiiznhzihzXzYzH1211)-N(21)0(NNNzhzNhzhzhzH可见，FIR滤波器的系统函数的极点都位于z=0处，为N-1阶极点，与系数h(n)无关，因此FIR滤波器总是稳定的；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，可以位于有限z平面的任何位置。两种滤波器的比较一、IIRDF的特点1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。2、相位的非线性H（Z）的频响：其中，是幅度函数，是相位函数。通常，与不是呈线性的，这是IIRfilter（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道具有线性相位特性。3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。,e)e(H)Z(H)e(H)(jjeZjj)e(Hj)()(二、FIRDF的特点1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIRDF一定是稳定的。2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIRDF总可以由因果系统实现。3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用，非线性的FIR一般不作研究。FIR与IIR数字滤波器比较：优点：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处理、数据传输等系统中非常重要；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定的延时，转变为因果序列，所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计公式，要借助计算机辅助设计程序完成。7.2.1线性相移FIR数字滤波器条件所谓线性相移滤波器，也就是指其相移特性或频率响应的幅角是频率的线性函数，FIR数字滤波器频率响应为5.710jjNnjnjeeHenheH1.恒时延滤波相延时群延时所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量。)(其中有pddg所谓时延是指信号通过传输通道所需要的传输时间它是滤波器平均延迟的一个度量它是滤波器某一频率延迟的一个度量7.2线性相移FIR数字滤波器2.要求恒相延时与恒群延时同时成立O如图7.1，θ(ω)的图像是一条经过原点的直线1010sincosNnNnjnjnjnnhenheH时的图像图)(1.7式中H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:1010cossincossinNnNnnnhnnhtg第七章FIR数字滤波器的原理与设计宜春学院理工学院6.70sin10Nnnnh由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得满足上式的条件是8.710,121NnnNhnhN21Ngp上述条件下，就有)(即为一常数，恒相延时与恒群延时同时成立。如上所述，冲激相应h(n)关于中心点偶对称，由图7.2可见无论N是偶数还是奇数，对称中心都位于(N-1)/2，只是当N为偶数时，(N-1)/2不是整数。图7.2h(n)为偶对称的情形3只要求恒群延时成立相移特性为一条不经过原点的直线10.7010100cossinsincosNnNnnnhnnhctgtg0cos10nnhNn其充要条件为()(1)01hnhNnnN12N0/2220图7.3相移特性曲线如下图可见冲激响应关于中心点奇对称，无论N为奇数还是偶数，对称中心都位于（N-1）/2；当N为奇数时有021Nh图7.4h(n)为奇对称的情形总之，线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对称或奇对称。7.1.2线性相移FIR滤波器的网络结构1.偶对称的情形偶对称时nNhnh1)(a.N为偶数时，利用对称性可作如下化简14.71)()(120112011201212010NnnNnNnnNNnnNNnnNnnNnnzznhznNhznhznhznhznhzHb.N为奇数时，利用对称性可作如下化简15.72112121)()(21121011210121121012121121010NNnnNnNnnNNNnnNNnnNNnnNnnzNhzznhznNhzNhznhznhzNhznhznhzH可见，以其偶对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的乘法器减少一半。2.奇对称的情形奇对称时nNhnh1)(nNnNnzznhzH1120nNnNnzznhzH11210a.当N为偶数时b.当N为奇数时可见，以其奇对称性作这样的简化可以使FIR滤波器比一般的直接型结构的乘法器减少近一半。7.2.3线性相移FIR滤波器的频率响应jez1.偶对称，N为奇数121021212121121012121)(NnnNnNNNNnnNnNhzznhzzNhzznhzH则其频率响应为1210212121cos2)(NnNjjNhnNnheeHjeeee2sin;2cos，且令nNn2118.7cos21cos221)(2102112121NnNjNnNjjnnaeNhnnNheeH0212021)(nnNhnNhna)()()(jjeHeH即的形式和幅度函数表示成相位函数将,)()()(HeHj)21()(N则：nnaHNn210cos)()(整体为实数图7.5偶对称，N为奇数∴该类滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器。2,0，特点：对皆为偶对称，所以幅度函数对也是偶对称。2,0，2,0，ncos)(HnnaHNn10cos)()(1202121211201)()(NnnNnNNNnnNnzznhzzznhzH2.偶对称，N为偶数其频率响应为1202121cos2)(NnNjjnNnheeH则，且令,222nNhnbnNn2121212121cos21cos22)(NnNjNnNjjnnbennNheeH2/1)]21(cos[)()(NnnnbH因此这种情况不适合做在处不等于零的滤波器，如高通滤波器。特点：当时，，故，即在z=-1为零点，且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。0)]21(cos[m)(H0)(H)(zH)]21(cos[m图7.6偶对称，N为偶数3.奇对称，N为奇数推导方法与前面类似，可得：21,,2,1),21(2)(NnnNhnc211212sinNnNjnnce2/)1(1)sin()()(NnnncH其幅频特性为211212sin212NnNjjnnNheeH图7.7奇对称，N为奇数第七章FIR数字滤波器的原理与设计宜春学院理工学院特点：当时，，相当于在z=1和z=-1有两个零点，并且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。2,,0)(H0)(H)(zH)sin(n2,,02,,0∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。2,,04.奇对称，N为偶数推导方法与前面类似，可得：21,,2,1),2(2)(NnnNhnd2121221sinNnNjjnndeeH其幅频特性为/211()()sin2NnHdnn图7.8奇对称，N为偶数∴这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。2,0特点：当时，，相当于在z=1处有一个零点；并且由于对呈奇对称、对呈偶对称，因而也对呈奇对称、对呈偶对称。2,0)(H0)(H)(zH])2/1sin[(n2,02,0以上四种情况可以用统一的形式，即HeeHjj其中是H的实函数，相移由决定，而是的线性函数当h(n)为偶对称时，21N；当h(n)为奇对称时，212N图7.94种类型的线性相位滤波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅度响应的示意图。总结第一种情况，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函数H(ω)。解：a(0)=