第七章不等式第三节

第三节简单的线性规划A组三年高考真题(2016～2014年)1.(2016·四川,7)设p：实数x,y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2,q：实数x,y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.(2016·山东,4)若变量x,y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A.4B.9C.10D.123.(2016·北京,2)若x,y满足2x－y≤0，x＋y≤3，x≥0，则2x＋y的最大值为()A.0B.3C.4D.54.(2015·广东,6)若变量x,y满足约束条件4x＋5y≥8，1≤x≤3，0≤y≤2，则z＝3x＋2y的最小值为()A.315B.6C.235D.45.(2015·北京,2)若x,y满足x－y≤0，x＋y≤1，x≥0，则z＝x＋2y的最大值为()A.0B.1C.32D.26.(2015·福卷,5)若变量x,y满足约束条件x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z＝2x－y的最小值等于()A.－52B.－2C.－32D.27.(2015·山东,6)已知x,y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0，若z＝ax＋y的最大值为4,则a＝()A.3B.2C.－2D.－38.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元9.(2014·广东,3)若变量x,y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n,则m－n＝()A.5B.6C.7D.810.(2014·安徽,5)x,y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或－1B.2或12C.2或1D.2或－111.(2014·山东,9)已知x,y满足约束条件x－y－1≤0，2x－y－3≥0，当目标函数z＝ax＋by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值25时,a2＋b2的最小值为()A.5B.4C.5D.212.(2014·新课标全国Ⅰ,9)不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2,p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2,p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3,p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p313.(2016·全国Ⅲ,13)若x,y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________.14.(2016·全国Ⅰ,16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.15.(2015·新课标全国Ⅰ,15)若x,y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________.16.(2014·大纲全国,14)设x、y满足约束条件x－y≥0，x＋2y≤3，x－2y≤1，则z＝x＋4y的最大值为________.17.(2014·湖南,14)若变量x,y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6,则k＝________.B组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江苏无锡模拟)已知实数x,y满足x－2y＋1≥0，x＜2，x＋y－1≥0，则z＝2x－2y－1的取值范围是()A.53，5B.[0,5]C.53，5D.－53，52.(2016·甘肃嘉峪关一中模拟)在坐标平面上,不等式组y＝2|x|－1，y≤x＋1所表示的平面区域的面积为()A.22B.83C.223D.23.(2016·河南郑州二模)若实数x,y满足2x－y≥0，y≥x，y≥－x＋b，且z＝2x＋y的最小值为4,则实数b的值为()A.1B.2C.52D.34(2016·山东日照模拟)已知不等式组x＋y≤1，x－y≥－1，y≥0，所表示的平面区域为D,若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点,则k的取值范围为()A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,＋∞)C.(-∞,-3]∪[3,＋∞)D.－13，135.(2016·山东潍坊五中月考)直线x＋my＋1＝0与不等式组x＋y－3≥0，2x－y≥0，x－2≤0表示的平面区域有公共点,则实数m的取值范围是()A.13，43B.－43，－13C.34，3D.－3，－346.(2016·河南郑州模拟)如果实数x,y满足不等式组x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥1，目标函数z＝kx－y的最大值为6,最小值为0,则实数k的值为()A.1B.2C.3D.47.(2015·北京海淀二模)若整数x,y满足x－y≤1，x＋y≥1，y≤32，则z＝2x＋y的最大值是()A.1B.5C.2D.38.(2015·江南十校模拟)已知点A(－2,0),点M(x,y)为平面区域2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0上的一个动点,则|AM|的最小值是()A.5B.3C.22D.6559.(2015·山东威海一模)若实数x,y满足约束条件x＋y－1≤0，x－y＋1≥0，y＋1≥0.将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a,b,则函数z＝ax＋by在点(2,－1)处取得最大值的概率为()A.15B.25C.16D.5610.(2016·山东青岛4月)若x,y满足不等式组x＋y≥1，2y－x≤2，y≥mx，且y＋12x的最大值为2,则实数m的值为________.11.(2015·北京朝阳二模)若实数x,y满足x－y＋1≤0，x≤0，则x2＋y2的最小值是________.12.(2015·浙江余姚模拟)已知约束条件x－3y＋4≥0，x＋2y－1≥0，3x＋y－8≤0，若目标函数z＝x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取到最大值,则a的取值范围为________.答案精析A组三年高考真题(2016～2014年)1.A[如图,(x－1)2＋(y－1)2≤2①表示圆心为(1,1),半径为2的圆内区域所有点(包括边界)；y≥x－1，y≥1－x，y≤1②表示△ABC内部区域所有点(包括边界).实数x,y满足②则必然满足①,反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.]2.C[满足条件x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0的可行域如右图阴影部分(包括边界),x2＋y2是可行域上动点(x,y)到原点(0,0)距离的平方,显然,当x＝3,y＝－1时,x2＋y2取最大值,最大值为10.故选C.]3.C[不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y,则y＝－2x＋z,作直线2x＋y＝0并平移,当直线过点A时,截距最大,即z取得最大值,由2x－y＝0，x＋y＝3，得x＝1，y＝2，所以A点坐标为(1,2),可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]4.C[不等式组所表示的可行域如下图所示,由z＝3x＋2y得y＝－32x＋z2,依题当目标函数直线l：y＝－32x＋z2经过A1，45时,z取得最小值即zmin＝3×1＋2×45＝235,故选C.]5.D[可行域如图所示.目标函数化为y＝－12x＋12z,当直线y＝－12x＋12z,过点A(0,1)时,z取得最大值2.]6.A[如图,可行域为阴影部分,线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z,由图形可知当y＝2x－z过点－1，12时z最小,zmin＝2×(－1)－12＝－52,故选A.]7.B[不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0),由x－y＝0，x＋y＝2，得B(1,1).由z＝ax＋y,得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时,z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax＝0,不满足题意,排除C,D选项；当a＝2或3时,z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值,∴2a＝4,∴a＝2,排除A,故选B.]8.D[设甲、乙的产量分别为x吨,y吨,由已知可得3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由x＋2y＝8，3x＋2y＝12，得A(2,3).则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).]9.B[作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线y＝－2x＋z经过点A时,z的值最大,由y＝－1x＋y＝1⇒x＝2y＝－1,则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时,z的值最小,由y＝－1y＝x⇒x＝－1y＝－1,则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3,故m－n＝6.]10.D[法一由题中条件画出可行域,可知A(0,2),B(2,0),C(－2,－2),则zA＝2,zB＝－2a,zC＝2a－2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA＝zBzC或zA＝zCzB或zB＝zCzA,解得a＝－1或a＝2.法二目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z,令l0：y＝ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a＝－1或a＝2.]11.B[法一不等式组表示的平面区域如图所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2a＋b＝25,两端平方得4a2＋b2＋4ab＝20,又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2,所以20≤4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2),所以a2＋b2≥4,即a2＋b2的最小值为4,当且仅当a＝2b,即b＝25,a＝45时等号成立.法二把2a＋b＝25看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝25距离的平方,即|－25|52＝4.]12.C[画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2,－1)时,取得最小值0,故x＋2y≥0,因此p1,p2是真命题,选C.]13.32[满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0的可行域为以A(－2,－1),B(0,1),C1，12为顶点的三角形内部及边界,过C1，12时取得最大值为32.]14.216000[设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，y≥0，x∈N*，y∈N*目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形,包括边界,顶点为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).]15.3[约束条件的可行域如下图,由yx＝y－0x－0,则最大值为3.]16.5[作