第一部分预备知识

1第一部分预备知识1测量不确定度评定的本质测量不确定度评定是将测量结果或测量误差作为随机变量，研究分析其统计规律，并计算它的范围的一项活动。2随机试验和随机变量在不变的条件下重复地进行多次试验，所观测到的结果具有很大的不确定程度，称为随机试验。生活中典型的随机试验：抛硬币、掷骰子、打靶。随机试验的结果量化，即为随机变量。随机变量有离散型的和连续型的。单个的随机变量是无规律的，大量的随机变量是有规律的——统计规律。3抽样过程、测量过程都是随机试验从一批产品中抽取一定数量的样品进行检验，希望通过样品的检验结果来判定这批产品的质量，这是一个抽样过程。被抽样品是随机的，它的性质、参数也是随机的（即不可预先知道的），属随机变量。对一个工件进行多次重复测量，每一次的测量值都可能不相同，下一次测量值也不可预知，故测量也是随机试验，所得到的测量值属随机变量。4概率，概率密度，概率密度函数4.1概率概率是在随机试验中出现的某一事件的频次、机会、可能性，如抛硬币试验，出现正面向上的可能性为50%，即概率为50%。人口普查时，10~15岁的少年占总人口的30%，即10~15岁少年出现的概率约为30%。在水泥混凝土质量检验中，强度值R从30Mpa到35Mpa的试件占全部试件的70%，即30~35Mpa试件出现的概率约为70%。概率总是于随即变量的区间相联系的，对给定了置信区间或统计包含区间的概率称为置信概率,在工程界称为保证率。4.2概率密度概率密度可以简单的理解为：在随机试验中单位随机变量所出现的概率。例如：人口普查中，如果以1岁为一个年龄段的话，某一个年龄段（如22岁）的人所占的比例即为该年龄段的概率密度。在水泥混凝土质量检验中，若以0.1Mpa为单位，而32.1到32.2Mpa的试件占试件总数的2%，则可以说，在强度值为32.15这一2点的水泥混凝土试件的概率密度为每0.1Mpa占2%。概率密度=变量在某个区间的概率/变量的区间严格来说，变量的区间应该是无穷小的，概率密度应是一个极限的值，为了便于理解，叙述时有意避开了无穷小量和极限的概念。4.3概率密度函数在一个随机试验中，概率密度不是一个恒定的值，对于每一个随机变量的值，都可能有一个不同的概率密度。例如：人口普查中，15岁的人和78岁的人的概率密度是不同的；在水泥混凝土质量检验中，28.1Mpa的试件和32.5Mpa的试件的概率密度也是不同的。概率密度和随机变量之间存在着某种函数关系，叫概率密度函数，也叫随机变量的概率密度分布函数-简称分布（注意不是概率分布函数）。可以用一个数学式和一条曲线来表示。P=f（x）概率是概率密度函数某区间的定积分abpdxP概率密度是概率在随机变量某个点的导数dxdPp5几种常见的分布在做测量不确定度评定时，需要应用几种常见的分布。对于这几种分布，只需要知道其图形及包含因子即可。JJF1059-1999附录B对各种分布应用情况作了说明。①正态分布pa23k=3x-aa对正态分布来说，a是人为设定的，通常为3倍标准偏差，此时k=3。②三角分布p6ka1x-aa3③梯形分布pba12k)71.0(-a-bbax④矩形（均匀）分布p3ka21-aax⑤反正弦分布p2ka1-aax⑥两点分布p1k-aax4⑦投影分布hL2)cos1(2LLhLL注为夹角，单位为弧度。L为投影分布，310k3/102)(2LkaLu⑧t分布pN当n趋于无穷大时，t分布趋于正态分布t(n)x出于比较的目的，对这些分布的顺序安排为：在随机变量变化范围半宽a相等的情况下，从正态分布到两点分布，其中心处的高度（概率密度）逐渐降低。在这些分布中a称为随机变量变化的极限范围，a称为随机变量变化范围的半宽。注：一般梯形分布k=)1(62β=b/a6随机变量的特征值和特征值的估计量6.1数学期望μ数学期望就是总体的平均值，是一个极限值μ。μ的样本估计量是样本的平均值x,x是μ的无偏估计。6.2方差表示测量结果相对于数学期望的分散程度。如果以各测量值与期望的差（残差）直接表示这种分散性，由于残差正负相消，残差的和为零，无法反映这种分散性，所以采用残△L5差的平方和的形式，即方差。6.2.1总体方差σ2（x）离散型变量的方差σ2（x）=nxnkkn12)(lim连续型变量的方差σ2（x）=∫dxxfx)()(26.2.2样本方差s2（x）s2（x）=nkknxx121)(样本方差是总体方差的无偏估计。6.3标准偏差由于方差的量纲与测量值不同，因此常用方差的平方根，称为标准偏差。标准偏差也称标准差，由试验得到的标准（偏）差称为实验标准（偏）差。6.3.1总体标准偏差σ（x）σ（x）=nxnkkn12)(lim6.3.2样本标准偏差s（x）s（x）=1)(12nxxnkk（贝塞尔公式）样本偏差不是总体偏差的无偏估计。6.3.3相对标准偏差CvCv=xxs)(相对标准偏差Cv又称为变异系数6.3.4标准偏差的几何意义标准偏差是分布函数曲线横坐标的某个特定位置（随机变量的某个特征值）。标准偏差反映分布曲线起决定作用部分的宽度，反映随机变量的分散性。标准偏差越小，分布曲线越陡峭，随机变量的分散性越小：标准偏差越大，分布曲线越平缓，随机变量的分散性越大。6①正态分布p拐点x-3s-2s-ss2s3s⑴随机变量x在-s到s区间出现的概率%27.68)()(dxxpdxxpss⑵随机变量x在-2s到2s区间出现的概率%45.95)()(22dxxpdxxpss⑶随机变量x在-3s到3s区间出现的概率%73.99)()(33dxxpdxxpss②其它分布⑴三角分布7p-a-ssax%5.78)()(dxxpdxxpss⑵矩形（均匀）分布p-a-ssax%8.57)()(dxxpdxxpss6.4包含因子包含因子是标准偏差的倍数，当标准偏差乘以某个包含因子时，就意味着整个分布曲线下的面积（概率p=1）都被覆盖了（包含了），或者覆盖了大部分（如正态分布时k=3覆盖了99.73%,k=2覆盖了95.45%,k=1覆盖了68.27%）。包含因子也称覆盖因子、8扩展因子，其定义是：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。7正态分布7.1正态分布的情况①无限多次独立重复测量的结果可以认为服从正态分布的规律②有限次独立重复测量的算术平均值可以认为服从正态分布③由很多相互独立大小相近的分量合成的量近似服从正态分布何谓“独立”？若两个量各自出现的概率互不影响，则这两个量互为独立。独立肯定不相关，但不相关不一定独立。7.2正态分布的函数f(x)=222)(21xe0，-μ7.3正态分布的图形①关于μ为对称的倒扣钟形②f(μ)=21③测量误差的正态分布曲线以0为中心，测量值的正态分布曲线以中心④以x轴为渐进线⑤标准正态分布10，记作)1,0(N7.4正态分布的包含因子k=0.67p=50%k=1p=68.27%k=1.645p=90%k=1.960p=95%k=2p=95.45%k=2.576p=99%k=3p=99.73%说明：对于非正态分布，包含因子与对应的置信概率之间的关系需要用积分的方法具体计算。8t分布9tntnnntfn212)1()2()21()(有限次独立重复测量的值的分布或从正态分布的总体中取子样的分布为t分布。t分布与正态分布曲线的图形相似，属于近似正态分布。t分布与子样大小n是有关的，不同的子样大小对应不同的t分布。当n变大时，t分布逐渐趋向于正态分布，当n→∞时，t分布就变成了正态分布，所以说正态分布是t分布的极限情况（n→∞）（见补充材料一）。对t分布，包含因子kp与所覆盖的曲线面积（置信概率p）的关系，和正态分布相接近，但不相同，它与样本大小或自由度有关，可以查t分布表得到。见JJF1059附录A。9对表示排列顺序的角标i.j.k的说明本教材中用k表示多次测量的次数顺序（次别），kx表示第k次测量值k=1.2……n；用j表示分组测量时，测量的组数顺序(组别)，jx表示第j组测量值j=1.2……m；用i表示随机变量的排列顺序（量别），ix表示第i个变量i=1.2……N如jkix)(表示第i个变量第j组第k个测量值或第i个变量第j组第k个抽样值jx表示第j组测量的平均值,x表示不分组测量的平均值ix表示第i个变量的平均值注意：①在JJF1059—1999中，脚标的使用并不是很规律；②k不作为脚标时，更多的是表示包含因子。10几个数学知识的回顾10.1两个量的和与差的平方公式abbaba2)(22210.2连续求和的公式102222121)()()()(xxxxxxxxnnkk222212222222222121121122111121)()()()()()()()()()(mmnmmmmnnmjnkjjkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx10.3相对值与绝对值的转换相对值可用角标rel或r来表示。绝对值不用加角标，一般情况下也不加定语“绝对”，除非刻意强调与相对值区别。如：xxuxurel)()()()(xuxxurel10.4幂函数Pxy，式中P为常数，称为变量x的幂指数。10.5线性幂指数为1的幂函数为线性函数。如：bxay或2211xbxbay等而xyxzy1等都不是线性函数。11使用微软公式编辑器3.0表达计算式该编辑器在wingdous标题栏的“插入”“对象”中，名称为Microsoft公式3.0