第七章大位移变形弹性理论的变分原理基础(16K)

150第七章大位移变形弹性理论的变分原理基础§7.1大位移变形弹性理论的Lagrange法大位移变形也称为有限变形。一般研究弹性体的大位移变形时多采用Lagrange法。在Lagrange法中，利用变形前物体内一点的坐标，来决定该点在随后变形中的位置。本节首先说明了大位移变形的应变、位移、应力之间的关系式以及相关方程式的简要推导过程。将卡氏直角坐标)3,2,1(ixi固定在空间，这个坐标值在变形过程中不改变，但随着各点在移动，坐标架的形状发生改变。研究弹性体的变形，就是研究坐标架的变形。变形前弹性体任一点A0的位置可由坐标系原点o至该点的矢量),,(3210xxxr表示，设卡氏直角坐标系的基向量（单位矢量）为321iii，，，则0r可表示为xxxxiiiir3322110（7-1）现假定A0点变形后移至新的位置A点，并用),,(321xxxr表示A点的位置矢量，过A0点的微小正六面体的三个正交边11dxi，22dxi，33dxi也均发生相应的变形，从而形成过A点的一个新的平行六面体（注意一般不再是正六面体），平行六面体的三个边可分别由11dxE，22dxE，33dxE（1E，2E，3E称为格向量）给出，如图7-1所示。设uAA0，u是位移向量，可表示为uuuuiiiiu332211（7-2）图7-1无限小平行六面体的几何图形及平衡151而dxxxiirrμλ00δddxd（7-3）式中μλδ称为Kronecker算子，λμ0λμ1δμλ（7-4）又因为urr0，有xxxxd)(d0urrdr（7-5）而xuxxdd,iu（7-6）式中及本章中，记号,)(表示对于x的微分，即x)()(,。将(7-3)、（7-6）式代入（7-5）式中，得λλλμ,μλddx)δ(dxuEir（7-7）式中μ,μλλ)(δiEu（7-8）且有μλμλλμEEEE（7-9）在大位移条件下，应变可定义为)δ(21λμλμλμEe（7-10）式中kμkλλμδδδ（7-11）将（7-8）、（7-9）式代入（7-10）式中，可得应变与位移之间的关系式μλ,k,k,,λλμ][21euuuue为了以后需要，将上式改写为下面形式jik,jikijjiijeuuuue)(21,,,（7-12）（7-12）式就是我们熟知的大位移应变位移关系式，展为一般形式为下面六个方程152xzzxzyyzyxxyzzyyxxexwzwxvzvxuzuxwzueezwywzvyvzuyuzvyweeywxwyvxvyuxuyuxvezwzvzuzweywyvyuyvexwxvxuxue222222])()()[(21])()()[(21])()()[(21222222222（7-13）下面导出平衡方程。作用在变形后六面体上的面力分别可写出如下321332132132132213213213211321321dddddddd)dd(ddddd)dd(ddddxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，，，作用在变形六面体内的体力为321dddxxxP。则变形六面体的力的平衡平衡方程式为0Pσ,（7-14）而σ沿三个格向量方向上的分量分别为332211EEE，，（7-15）于是σ可写为kkkuiEσ),δ(（7-16）而体力也可以用其分量P表示为iPP（7-17）将（7-16）、（7-17）式代入（7-14）式中，得0]),δ[(,Pukk（7-18）为了以后使用方便，将上式改写为如下形式0])δ[(,,ijkjkiikFu（7-19）这里要注意的是，面积和体积都是对未变形的状态而言的。153外力已知的表面边界条件（在σS上）可写为ijkjkiikTnu)δ(,（在σS上）（7-20）显然，在式（7-19）和(7-20)中，如果略去kiiku,δ中之kiu,，则化简为小位移的平衡条件和力的边界条件。位移已给的边界条件（在uS上）可写为iiuu（在uS上）（7-21）§7.2大位移变形弹性理论的最小位能原理小位移变形的最小位能原理同样也适用于大位移变形。大位移变形的最小位能原理与小位移变形的最小位能原理相同，只是将平衡方程（7-19）和表面外力边界条件（7-20）两式分别替代原方程中的平衡方程和力的边界条件即可。取最小位能泛函的一阶变分为SiiViiijijSuTVuFeeAdδd]δδ[δI（7-22）根据（7-12）式的应变位移关系kjikikijjkikkiijjkikkiijjkikjiijikjkjkikijjiijijijuueAuueAuueAuuueAuuuuuueAeeAδ)]([]δ)([δ)()δδ()δδδ(21δ,,,,,,,,,,,,,,,,同时，利用格林公式，可以证明VSjkikkiijjkikkiijSnuueAVuueAdδ)δ(d]δ)δ([,,,（7-24）注意到uσSSS，且在uS上由于kkuu，所以0δku，上述积分只有在σS上有值，于是有VSjkikkiijjkikkiijSnuueAVuueAdδ)δ(d]δ)δ([,,,（7-25）（7-22）式可以写为（7-23）154SkkjikkiijVkkjikkiijSuTnueAVuFueAd}δ])δ({[dδ})]δ({[δ,,,I由泛函极值条件给出下面欧拉方程和边界条件0)]δ([,,kjikkiijFueA（在V内）（7-27）0)δ(,kjikkiijTnueA（在σS上）（7-28）将（7-27）式与（7-19）式、（7-28）式与（7-20）式相比较，显然可知ijijeA(7-29)(7-29)式为应力应变关系，故由最小位能原理泛函I的极值条件可以得到平衡方程（7-19）式和力的边界条件（7-20）式。以下证明它是最小。将iiuuδ代入位能泛函SiiViiijiSuTVuFeAudd])([)(I中可得I2IIIδδδiiiuuu注意，这里的iu是满足所有条件和方程的真解。根据（7-22）式，有0δI而VijijVklijklijVeVeeeeAdδδdδδδ2I2(7-30)对于线性物理关系，则有klijklijklijklijeaeaδδ将上式代入（7-30）式，有VklijijklVeea0dδδδI2（7-31）由应力ijδ与应变ijeδ所造成的应变能密度，一定为正值。而对于非线性的物理关系，一般材料的应力应变关系可以使得（7-26）1550δδ2klijklijeeeeA（7-32）所以I2δ也是正值，这就证明了在极值函数iu时)()δ(IIiiiuuu（7-33）于是，大位移弹性理论的最小位能原理得到证明。最小位能原理可叙述为：在满足大位移应变关系（7-12）式和边界条件中位移已给定的条件（7-21）式的所有允许的iu和ije中，实际的iu和ije必使弹性体的总位能VSiiiiijSuTVuFeAdd])([I（7-34）为最小值。这里的应力应变关系应用（7-29）式。这一原理与线性的最小位能原理相似，其差别只是采用了非线性的应变位移关系而已。§7.3大位移变形弹性理论的余能驻值定理余能原理在大位移变形弹性体并不存在着极小值原理，而存在有余能驻值定理。大位移变形弹性理论的余能原理可叙述为：在满足大位移变形的平衡方程（7-19）式及边界外力已给的边界条件（7-20）式的所有允许的iiju,中，实际的应力ij及位移iu必使弹性体的泛函uSjkjkiikiVijjkikijSnuuVuuBd)(d]21)([,,,II（7-35）为驻值。)(ijB为余能密度，它满足ijijijijijijeBeAeB)()(（7-36）注意到该原理属于两变量变分原理，原因是应力分量和位移是偶合的，不能再单纯地用应力分量表达了。下面我们将证明，使（7-35）式的泛函II为驻值的ij和iu，必将满足边界位移（7-21）式。在证明中，我们引用了应力应变关系（7-36）式中的第二个式子，和应变位移关系（7-21）式。对II的变分式为uSjkjkiikiVijjkikijjkikijijSnuuVuuuuBd])δ(δ[d)δδ21δ(δ,,,,,II（7-37）156利用了（7-36）式中的第二式及（7-12）式以后ijjkkjikijjkikijjiijjkikijijuuuuuuuuBδ)δ(δ)2(21δ21δ,,,,,,,,而且，因为kjδ为一常数，所以（7-37）式第三项可化为)δ(δδ,,,,jkkjijikjkijikuuuu（7-39）所以，有ijkkjijkijkkjijkjkkjijikjkijikijjkikijijuuuuuuuuuuB,,,,,,,,,,])δ(δ[}])(δ[{])δ(δ[δδ21δ（7-40）式中等号右侧第一项利用格林公式化简后的形式如SijkkjijkVijkkjijkSnuuVuud])(δ[d}])(δ[{,,,将上式代入（7-40）式后，IIδ可进一步化简为uSijkkjijkSijkkjijkViijjkkjkSnuuSnuuVuud])δ(δ[d])δ(δ[d])δ[(δδ,,,,II因为自变函数ijku,满足平衡方程（7-19）式，而且iF为不变的，故只有0])(δ[,,ijkkjiju（在V内）（7-42）另外，因为在S边界上，满足外力已知条件（7-20）式，所以只有0,])δ(δ[,ijkkjiju（在S内）（7-43）因为，uSSS，将（7-42）、（7-43）式代入（7-41）式，（7-41）式可化为uSjkkjijkkSnuuud])δ(δ[)(δi,II（7-44）根据驻值条件0δII，给出0kkuu（7-45）（7-45）式就是（7-21）式，也就是我们所需要证明的，于是以上余能驻值定理得到证明。十分明显，当ku是小位移时，从（7-35）式中略去高级小量，即是第四章的小位移最小余能原理。以上证明可适用于线性与非线性弹性体。（7-38）（7-40）（7-41）157§7.4大位移非线性弹性理论的广义变分原理我们也可以仿照小位移线性弹性理论一样，利用拉格朗日乘子法，导出大位移非线性弹性理论的有关的广义变分原理。最小位能原理（见§7-2）泛函中的ijieu,必须满足应变位移关系（7-12）式和边界位移已知的条件（7-21）式。设ij和i为拉格朗日乘子，于是，可导出无条件广义变分泛函为uSiiiVijikjkijjiijSiiViiijSuuVuuuueSuTVuFeAd)(d)](21[dd])([,,,,把iijiijue,,,当作独立变量进行变分，得uuSiiSiiiSiiiijkijikkiVijjkikijjiijijijijSuSuuSuTVuF