第七章微分方程课题二十六一阶微分方程

第七章微分方程课题二十六一阶微分方程难点：正确求解可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。【授课时数】总时数：4学时.1、知道微分方程的相关概念；2、会求可分离变量的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的通解或特解；3、会用一阶微分方程解简单的实际应用问题。【学习目标】【重、难点】重点：微分方程的相关概念，可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程的定义、解法，由微积分知识引出。第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例1]一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为x2,求这曲线的方程.解由题意得设所求曲线为,)(xyy,2)1(xdxy得由)2(2|)1(21xyxdxdy),3(2Cxy即,1)3()2(C得代入将).4(12xy所求曲线方程为一、微分方程的基本概念第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例2]列车在平直的线路上以40米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内发生了多少位移？解于是有米秒钟行驶设制动后),(,tssst,)3(40|)2(0|)1(4.00022ttdtdssdtsd第七章微分方程课题二十六一阶微分方程代入条件后知0,4021CC),6(402.02tts,404.0tdtdsv故),(1004.040秒t列车在这段时间内行驶了).(2000100401002.02米s开始制动到列车完全停住共需)4(4.01Ctdtdsv)5(2.0212CtCts第七章微分方程课题二十六一阶微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例如,)1(xyy,0))(3(2xdxdtxt,32)2(xeyyy,)4(yxxz实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.1.微分方程的定义第七章微分方程课题二十六一阶微分方程微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.(1)按自变量个数分类:常微分方程,偏微分方程.,0),,(yyxF一阶微分方程);,(yxfy高阶(n)微分方程,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy(2)按阶数分类:第七章微分方程课题二十六一阶微分方程(3)按是否是线性分类:线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy;02)(2xyyyx(4)按方程个数分类:单个微分方程与微分方程组.,2,23zydxdzzydxdy第七章微分方程课题二十六一阶微分方程微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,)(阶导数上有在区间设nIxy.0))(,),(),(,()(xxxxFn微分方程解的分类：2.求微分方程的解通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.第七章微分方程课题二十六一阶微分方程特解:确定了通解中任意常数以后的解.,)1(yy例如是它的xCey,0)2(yy是它的xCxCycossin21初始条件:用来确定任意常数的条件.的是例如0cos3sin2yyxxy;通解.通解.一个特解中的例如二阶微分方程4.022dtsd和0|0ts.40|0分别都是初始条件tdtds第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例3]验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的通解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd得的表达式代入原方程和将,22xdtxd第七章微分方程课题二十六一阶微分方程.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk且独立是原方程的解即,sincos21ktCktCx,0,00ttdtdxAx.0,21CAC所求特解为.cosktAx解微分方程:初等积分法.求解微分方程求积分,分方程的阶数相同的任意常数的个数与微.sincos21是原方程的通解故ktCktCx第七章微分方程课题二十六一阶微分方程思考题函数xCey2是微分方程04yy的什么解?思考题解答,22xCey,42xCeyyy4,04422xxCeCexCey2中任意常数的个数小于此方程的阶数,故为该微分方程的特解.第七章微分方程课题二十六一阶微分方程二、可分离变量的微分方程)()(ygxfdxdy称为可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy解法设函数)(1yg和)(xf是连续的,设函数)(yG和)(xF是依次为)(1yg和)(xf的原函数,则()()GyFxC为微分方程的解.分离变量法1.定义dxxfdyyg)()(1第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例4]求微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy两端积分,2xdxydy12lnCxy.2为所求通解xCey第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例5]求微分方程0cotcossintan22ydyxydxx的通解.方程为可分离变量微分方程，分离变量得,sectancsccot22xdxxydyy,sectancsccot22xdxxydyy解,21tan21cot2122Cxy故所求通解为.cottan22Cyx两边同时积分得第七章微分方程课题二十六一阶微分方程三、齐次方程)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ufdxduxu.)(xuufdxdu即可分离变量的方程1.定义第七章微分方程课题二十六一阶微分方程,0)(时当uuf,ln)(Cxuufdu得,)(uCex即）（uufduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uuf使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例6]求解微分方程(cos)cos0.yyxydxxdyxx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxusinln.yxCx微分方程的通解为解,coscos1xyxyxydxdy此微分方程可化为第七章微分方程课题二十六一阶微分方程2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy,yux令,udxxdudy则,1222uuuuuxu.2222xyydyyxyxdx[例7]求解微分方程解第七章微分方程课题二十六一阶微分方程,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy,]1122)121(21[xdxduuuuu第七章微分方程课题二十六一阶微分方程有的微分方程可利用变量代换求解.解,uyx令1dxdudxdy代入原方程21udxdu,arctanCxu解得得代回,yxu,)arctan(Cxyx原方程的通解为tan().yxCx.)(]8[2的通解求例yxdxdy第七章微分方程课题二十六一阶微分方程(微分方程，微分方程的阶，微分方程的解（通解、特解），初始条件）小结)()(ygxfdxdy1.微分方程的基本概念2.可分离变量的微分方程3.齐次微分方程().dyyfdxx第七章微分方程课题二十六一阶微分方程填空题:1．022yxyyx是______阶微分方程；2．一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数.3．0)1(32xdxdyy的通解；4．0)1(2)21(dyyxedxeyxyx的通解.练习题32Cxy433)1(4Cyexyx2第七章微分方程课题二十六一阶微分方程,0)(xQ当上方程称为一阶线性齐次微分方程.上方程称为一阶线性非齐次微分方程.,0)(xQ当四、一阶线性微分方程例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.定义)()(xQyxPdxdy形如这样的方程称为一阶线性微分方程.第七章微分方程课题二十六一阶微分方程,0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.一阶线性齐次微分方程的解法分离变量法第七章微分方程课题二十六一阶微分方程2.一阶线性非齐次方程的解法)()(xQyxPdxdy分析,)]()([dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐次方程通解与齐次方程通解相比:)(xCC第七章微分方程课题二十六一阶微分方程象这种把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.方法:设dxxPexCy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxCexCy是一阶线性非齐次微分方程的解.代入原方程得和将yyCdxexQxCdxxP)()()(),()()(xQexCdxxP积分得第七章微分方程课题二十六一阶微分方程一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程的通解该非齐次方程的特解dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(第七章微分方程课题二十六一阶微分方程的通解为该方程的齐次方程01yxy解法一（常数变易法）[例1],11dxxdyyxCy即则有的通解是令，①xxyxy②xxCysin1)(③xxCxxCy2)()(化简得分别代入将①，②③xxCsin)(.sin1的通解求xxyxy第七章微分方程课题二十六一阶微分方程CxxCcos)(解得的通解为xxyxysin1.cos1Cxxy第七章微分方程课题二十六一阶微分方程1sin.xyyxx求方程的通解,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解法二（公式法）[例1]第七章微分方程课题二十六一阶微分方程[例2]求通过原点并且在点),(yx处的切线斜率等于yx2的曲线方程.设所求曲线方程为)(xyy，由题意得解,0|20xyyxdxdy得由,2xydxdy,2)(,1)(xxQxP)2(Cdxxeeydxdx),2(Cdxxeexx),22(Cexeeyxxx将00xy代入上式得，,2C.因此所求曲线的方程为).1(2xeyx.第七章微分方程课题二十六一阶微分方程,)()(230yxdxxfxxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfy[例3]如图所示，平行于y轴的动直线被曲线)(xfy与)0(3xxy截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求