第七章拉普拉斯变换.

复变函数与积分变换大学数学多媒体课件2第七章拉普拉斯变换上一章介绍的傅立叶变换在许多领域中发挥了重要的作用，特别是在信号处理领域，直到今天它仍然是最基本的分析和处理工具，甚至可以说信号分析本质上即是傅氏分析（谱分析）．但是任何东西都有它的局限性，傅氏变换也是如此．因而人们针对傅氏变换一些不足进行了各种各样的改进．这些改进大体分为两个方面，其一是提高它对问题的刻画能力,如窗口傅氏变换、小波变换等；其二是扩大它本身的适用范围．本章介绍的是后面这种情况．3第七章拉普拉斯变换7.1拉普拉斯变换的概念7.2拉氏变换的性质7.3拉普拉斯逆变换7.4拉氏变换的应用及综合举例4第一节拉普拉斯变换的概念1．拉普拉斯变换的定义1()0ftt定义：设函数当时有定义，s在某一域内收敛，则称记为：()()Fsft称为函数的拉氏变换，()()ftFs称为函数的拉氏逆变换，记为：()(0)ftt函数，的拉氏变换0()stftedts而积分，(为一个复参量)()ft为函数的拉普拉斯变换式，0()()stFsftedt()[()].FsLft1()[()].ftLFs就是()()(0)tftute，的傅氏变换.sj0()[()()]()()()ttjttjtFsftuteftuteedtfteedtF像原函数像函数5•例1．0,0()1,0tutt求单位阶跃函数，的拉氏变换.解：0(1)[()]stLutedtRe()0s011,stess1[()],Re()0Lutss即：；00011(2)[sgn](sgn),stststLttedtedtessRe()0s1[sgn],Re()0Ltss即：；0011(3)[1],ststLedtessRe()0s1[1],Re()0.Lss即：1,0sgn0,||01,0tttt符号函数，()1ft()0()0.fttft一般规定：在拉氏变换中默认为：，Re()0s1/s的拉氏逆变换为哪个？？？在半平面Re(s)c上一定存在,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.其中常数c称为增长指数.Laplace变换的存在定理1)在t0的任一有限区间上分段连续;2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M0及c0,使得则f(t)的Laplace变换若函数f(t)满足:定理0()()edstFsftt|()|e,0,ctftMt2)大部分工程技术中常用函数的Laplace变换都存在(常义下);例如,由于注记：1）存在定理的条件是充分但非必要条件,证明略.此处此处此处MMectf(t)tO0|()|1,tute1,0;Mc0|cos|1,tkte1,0;Mc||1,mtte故虽然的Fourier变换不存在,而它们的Laplace变(),cos,mutktt换都存在.11M,c.8•例2．().atftea求指数函数的拉氏变换（为实数）解：()00[()]atstsatLfteedtedt()0Rsa()011,saesasa1[],(Re()).atLesasa即：1[],(Re()),atLesasa1[],(Re()Re()).ctLescsc由上式可得：9第二节拉氏变换的性质1．线性性质1122,[()]()[()]()LftFsLftFs设为常数，且有，，则有：1212[()()]()(),LftftFsFs11212[()()]()().LFsFsftft一、线性与相似性质1212[()()]()(),FftftFF11212[()()]()(),FFFftft类似傅里叶变换10•例1．cost求函数的拉氏变换.解：1cos()2jtjttee由于，1[cos]([][]),2jtjtLtLeLe22111[].2ssjsjs0[cos]cosstLttedt1[],(Re())atLesasa例2中，直接计算比较麻烦由线性性质得：22[cos]sLts，即：同理：22[sin].Ltsω的偶函数ω的奇函数1[],(Re()).atLesasa11•例2．151()[()].(1)(2)sFsLFsss已知，求解：5111()23,(1)(2)12sFsssss1[]atLesa11111[()]2[]3[]12LFsLLss223.ttee2．相似性质[()]()0LftFa设，则对任一实数有：1[()]().sLfatFaa1[()]().FfatFaa(尺度变换性质)类似于12二、微分性质1．导数的象函数[()]()LftFs设，则有[()]()(0).LftsFsf()12(1)[()]()(0)(0)(0).nnnnnLftsFssfsff推广：(1)(0)(0)(0)0nfff特别地，当时，有2()[()](),[()](),,[()]().nnLftsFsLftsFsLftsFs根据此性质使得我们有可能将函数的微分方程转化为的代数方程，因此它在线性系统分析中有重要的应用．13•例3．解：2()()0(0)0,(0).ytytyy求解微分方程，利用线性性质及微分性质，有:22()(0)(0)()0,sYssyyYs代入初值:22(),Yss根据前面结果，可以得到：1122()[()][]sin.ytLYLts()[()],YsLyt令对方程两边取拉氏变换，有:2[()()][0]LytytL，利用线性性质，有:2[()][()]0LytLyt，(0)0,(0)yy解得:22[sin]Lts142．象函数的导数[()]()LftFs设，则()[()]FsLtft或()()(1)[()].nnnFsLtft一般地有•例4．()sinfttkt求函数的拉氏变换.解：22[sin],kLktsk222222[sin][].()dkksLtktdssksk2222222[cos][].()dkskLtktdssksk同理•例5．22()cosfttt求函数的拉氏变换.2221[cos][(1cos2)]2LttLtt26222323112(2432)[]24(4)dsssdsssss()[()](1)().nnnLtftFs[()]()LtftFs15三、积分性质1．积分的象函数[()]()LftFs设，则01[()]().tLftdtFss推广：0001[()]().tttnLdtdtftdtFss２．象函数的积分[()]()LftFs设，则()()[],sftFsdsLt1()[()].sftLFsdst或推广：()()[].nssssftdsdsdsFsdsLt01[()]().tFftdtFj类似于16•例5．解：0sin.tdtt计算积分20sinsin1[][sin]1stssttedtLLtdsdsttsarctanarctan.2sss则令，有0s0sin2tdtt17四、延迟与位移性质1．位移性质若[()](),LftFs则有[()]()atLeftFsa(a为复常数)证明：0[()]()atatstLefteftedt()0()().satftedtFsa这个性质表明：象原函数乘以指数函数ate其象函数做位移.a的拉氏变换等于18•例6．设30()sin2,ttfttetdt求().Fs解：令310()sin2,ttftetdt则据积分性质得：33101[()][sin2][sin2]tttLftLetdtLets122().[(3)4]Fsss所以11()[()]()dFsLtftFsds222222(31213)[].[(3)4][(3)4]dssdsssss22[sin]kLktsk01[()]().tLftdtFss[()]()LtftFs192．延迟性质若[()]()LftFs，0t又当时，()0,ft则对任一非负实数有：[()]()sLfteFs，或1[()]().sLeFsft证明：由定义0[()]()sLftftedt0()()ssftedtftedt()sftedt()0()sufuedu()tu令0()().ssusefuedueFs00[()]()jtFftteF，20•例7．求函数0,()1,tutt的拉氏变换．解：已知1[()],Luts由延迟性知11[()].ssLuteess•例8．求函数()(35)ftut的拉氏变换．解：因为5(35)[3()],3utut1[()]Luts所以5351[(35)][()].3sLutLutes1[()]().sLfatFaa1[()][()]aLautaLutss[()]()sLfteFs，[()]()sLfteFs，21五、周期函数的拉氏变换设(),0ftt[0,)T是内以为周期的周期函数，()ft且在一个周期内逐段光滑，则01[()]().1TstsTLftftedte证明：由定义有0[()]()stLftftedt0()()TststTftedtftedt1()ttTft第二个积分作变换，且利用函数的周期性，有[()]Lft11100()()TststsTftedtfteedt0()[()]TstsTftedteLft01[()]().1TstsTLftftedte于是，22几个常用函数的拉氏变换22221[()]11[()],Re()01[],Re()[sin],Re()0[cos],Re()0![],Re()0atmmLtLutssLesasaaLatssasLatssamLtss23六、卷积与卷积定理1．卷积的概念前面讨论两函数傅氏卷积为1212()()()(),ftftfftd12(),()ftft若函数满足：120()()0tftft当时，，则0121212120()()()()()()()()ttftftfftdfftdfftd120()().tfftd12120()()(),()tfftdftft称为函数的拉氏卷积，记作：12120()()()().tftftfftd24•例1．12()()sinfttftt求函数和的卷积，sin.tt即求解：0sinsin()ttttd00[cos()]cos()ttttdsin.tt2．卷积的性质1221(1)()()()();ftftftft123123(2)()[(