第七章曲线与曲面

第七章曲线与曲面1）点在空间作连续变换方向的运动轨迹1曲线概述1.1曲线的形成曲线的形成一般有下列三种方式：2）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线3）平面与曲面或两曲面相交的交线必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。1.2曲线的分类1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。2、按曲线上点的分布可分为两类：1）平面曲线曲线上所有点都在同一平面上，如二次曲线、渐伸线等；2）空间曲线曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。1.3曲线的投影一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点B和F为对H面重影点E为一般点曲线的投影的基本性质1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性3）代数曲线的投影，其次数不变。如二次曲线的投影仍为二次曲线4）曲线切线的投影仍为其投影的切线§２圆的投影圆是最简单的平面曲线根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面投影）：2.1圆所在平面为投影面平行面2.2圆所在平面为投影面垂直面2.3圆所在平面为一般位置平面当圆所在平面为投影面平行面时，圆在所平行的投影面上的投影反映该圆的实形。在另一投影面上的投影为直线，线段的长度等于圆的直径2.1圆所在平面为投影面平行面2.2圆所在平面为投影面垂直面当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。在另一投影面上的投影则为椭圆。2.3圆所在平面为一般位置平面当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必须分别求解。椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴§３曲面概述3.1曲面的形成曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合如图所示曲面，是由AA１沿着曲线ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的AA１称为母线母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成3.2曲面的投影只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为界限素线曲面的轮廓线对不同投影面各不相同。如图所示，投射柱面与曲面的切线T称为曲面对H面的轮廓线，ｔ′为曲面轮廓线的H投影。3.3曲面的分类根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面；按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面；按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面；按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。§4直线面4.1可展直线面4.1.1柱面一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面。柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H面迹线直圆柱面aaa几种柱面直圆柱面斜圆柱面直椭圆柱面斜椭圆柱面4.1.2锥面一直母线沿曲导线运动且始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称为锥面。锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及曲面的H面迹线正圆锥面s●s●kskk过锥顶作一条素线。正圆锥面斜圆锥面正椭圆锥面斜椭圆锥面4.1.3切线面一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相切而形成的曲面称为切线曲面切线曲面是可展直线面渐开线螺旋面在作投影图时，首先应画出其导线——圆柱螺旋线的投影（画法详见§７），然后沿导线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，即可求出H投影面迹线，在V面投影上应保留轮廓线的投影。4.2不可展直线面4.2.1柱状面一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了柱状面柱状面是不可展曲面4.2.2锥状面一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面锥状面是不可展曲面4.2.3双曲抛物一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴）即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直，则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面正双曲抛物面斜双曲抛物面§5回转曲面母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称为回转曲面固定轴称为回转轴在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为纬线圆。其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆。画回转曲面的投影图时，通常使其轴线垂直于某一投影面，以便简化作图由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：直线回转面曲线回转面组合回转面5.1直线回转面5.1.1圆柱面§４中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆柱体。圆柱面上求点aaa5.1.2圆锥面§４中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成圆锥体。圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍）纬线圆法纬线圆法s●s●(n)s●n(n)●5.1.3单叶双曲回转面一直母线围绕与之相错的轴线作回转运动即形成一单叶双曲回转面单叶双曲回转面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面5.2曲线回转面曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面均为不可展曲面5.2.1球面一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。球面各界线素线上的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投影，可直接求得另外两个投影。5.2.2圆环面一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成圆环面5.2.3椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面以组合线段(包括曲线和直线)为母线，绕一轴线作回转运动，即形成组合回转面5.3组合回转面§6螺旋线和螺旋面6.1螺旋线6.1.1圆柱螺旋线一点沿圆柱面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆柱面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为圆柱螺旋线圆柱螺旋线的三要素1：圆柱的直径ｄ2：导程Ph：当动点所在直母线旋转一周时，点沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程旋向：分为右旋、左旋两种右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（a)可见部分右边高；左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上(b)可见部分左边高作图步骤6.1.2圆锥螺旋线一点沿圆锥面直母线作等速直线运动，同时该母线又绕圆锥面轴线作等速回转运动，则该点在空间的运动轨迹即为圆锥螺旋线6.2螺旋面一母线（直线或曲线）以螺旋线为导线作一定规律的运动即可形成螺旋面6.2.1正螺旋面一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线垂直相交，即形成正螺旋面正螺旋面是锥状面,为不可展曲面。6.2.2斜螺旋面一直母线沿圆柱螺旋线和螺旋线轴线运动，且始终与轴线斜交成一定角，即形成斜螺旋面。斜螺旋面也是锥状面，为不可展曲面。§7曲面的切平面7.1概述曲面在某一点的切平面就是过该点所有曲线的切线集合过曲面的切点，且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线根据相交两直线决定一平面的几何原理可知，只要作出过一个点的两条曲线的切线，即可唯一确定过该点的切平面曲面的切平面直线面的切平面图圆环面的切平面7.2球面的切平面方法一：切线法：过点A作两条平面曲线（圆），为方便，使其分别平行于H、V投影面，并分别作出两圆的切线，则该两条切线所确定的平面即为所求方法二：法线法：由于球面上每一点的法线都沿着半径方向，因此过点A的切平面必垂直于半径。根据直角定理，过点Ａ作水平线ＡＢ和正平线ＡＣ垂直于半径ＯＡ，则该两条切线所确定的平面即为所求7.3.1过圆锥面上一点A作圆锥面的切平面7.3圆锥的切平面圆锥面是直线面，其切平面一定包含一条过点A的直素线SA，因此只要过点A再在锥面上取一曲线（圆），并作该曲线的切线CA，即可得到确定切平面的两条直线。由于圆锥的切平面必过圆锥顶点，故过点A的切平面可由一条过点A及锥顶S的直线和一条与圆锥底圆相切的直线所组成。过面外一点A可在两个方向上作圆锥的切平面，所以本题有两个解。7.3.2过圆锥面外一点A作圆锥面的切平面7.4柱面的切平面由于柱面的切平面一定包含该柱面的一条素线，只要过点A再作一条切线即可确定切平面。作图步骤如下：1）过点A取素线AM交底圆于Ｍ（ｍ，ｍ′）；2）过M作底圆的切线MB，作其投影ｍｂ及ｍ′ｂ′;3）AM与MB所确定的平面即为所求切平面。由于柱面的切平面一定包含柱面的一条素线，所以切平面必包含一条平行于素线的直线，故柱面的切平面可由过点A且平行于素线的直线和一条与底圆相切的直线确定。本题有两个解。7.5应用举例［例1］过直线AB作一平面与H面成α角分析：过定点和H面成α角的平面，其轨迹是一个与直圆锥面相切的平面族，该圆锥面的轴线垂直于H面，圆锥的底角为α。因此，可在直线AB上任取一点作为圆锥的顶点，作一底角为α的圆锥，再过直线AB作该圆锥面的切平面，即为所求平面。1）过点Ａ（ａ，ａ′）作轴线垂直于H面的圆锥面，使圆锥底角为α；2）求直线AB与圆锥底圆所在平面交点M（ｍ，ｍ′）；3)过点M作圆锥底圆的切线MD（ｍｄ，ｍ′ｄ′），则平面BAD即为所求.同理，平面BAE为另一所求平面，本题共有两解。［例2］过点A作一平面，使与点O的距离为R，且与H面成α角平面AMD和平面AME分别为所求的两个解在球面外先作底角为α的外切圆锥，再过点A作该圆锥的切平面，则此平面即为所求