第七章波浪理论

第七章波浪理论船舶与海洋工程中：船舶摇摆和拍击，船舶稳性，兴波阻力。沿岸工程中：波浪对港口、防波堤的作用。离岸工程中：钻井平台，海工建筑、海底油管等课堂提问：为什么海面上“无风三尺浪”水波起制约作用的物理因素是重力，粘性力可略而不计，因此可用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。本章内容:着重介绍小振幅波（线性波）理论,相关内容为：2.波浪运动的有关概念（波速、波长、周期、波数、频率、深水波、浅水波等）1.小振幅波的基本方程和边界条件3.流体质点的轨道运动4.前进水波中的压力分布5.波群与波群速6.船波7.波能传递与兴波阻力一简谐前进波沿ｘ轴正向移动,§7-1微振幅波的基本方程与边界条件h—水深（从平均水平面到底部的距离）η（x,t）—自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离ａ—振幅Ｈ—波高，对于小振幅波H=2aＬ—波长（两相邻波峰或波谷间的距离）Ｔ—周期（固定点处重复出现波峰（或波谷）的时间间隔，或波形传播一个波长所需的间。Ｃ—波速，或相速度（波阵面的传播速度）C=L/T（7－2）ｋ—波数（2π距离内波的数目）K=2π／L（7－3）σ—圆频率（2π时间内波振动的次数)σ＝2π／T（7－4）微振幅波理论的基本假设１.理想不可压缩流体，重力不能忽略；２.运动是无旋的，具有速度势；３.波浪是微振幅波（线性波），即ＨＬ（7-5）速度势φ（x，z，t），满足xzvxvz（7-6）且满足Laplace方程：22220xz(,)hzx（7-7）底部条件(不可穿透条件）:0zvz（z=-h）（7-8）自由表面边界条件：1zgt（7-10）令z=η,自由表面上相对压力p=0。为使边界条件线性化，假定速度平方v２→0而得到。2102pvgzt由Lagrange积分：在z=0处满足（自由面边界条件的近似）:01zgt（7-11）小振幅波的基本方程与边界条件为:222200(,)0()1zhzxxzz-hzgt（7-12）用分离变量法求解,令()sin()fzkxt（7-13）222sin()sin()0dfkxtkfkxtdz2220dfkfdz代入拉普拉斯方程:()kzkzfzAeBe通解所以()sin()kzkzAeBekxt()sin()kzkzkAeBekxtz()sin()0khkhzhkAeBekxtz（不可穿透）()()1[]sin()2kzhkzhAeekxt所以或cosh()sin()Akzhkxt0011{cosh()[cos()]}zzAkzhkxtgtgcoshcos()Akhkxtg波面方程为必须第一方括弧内为零,可得khkhAeBe2khkhAAeBe＝令2khAAe2khABe则：sinh,cosh22sinhcoshtanh,cothcoshsinh11sech,cschcoshsinhxxxxeeeexxxxxxxxxxxx双曲函数：coshAkhag令（a为波振幅）则自由面形状（波面方程）为：当h时，（7-15）化为：sin()kzagekxt无限深水coshagAkh即（7－14）cosh()sin()coshagkzhkxtkh则（7－15）cos()akxt（7-16）zddxvdttxdt§７-波速,波长和周期自由表面η（x,t）上任一点的z方向速度分量即波面抬高速度近似等于z方向的速度分量zvt代入上式得与联立有：2211()zttgtgtzvz因为微振幅波的坡度也是小量,即0x对于微振幅波，上式近似在z=0处满足221zgtcosh()sin()coshagkzhkxtkh（7-17）将式（7-15）代入上式并求导后得：sinh()sin()coshagkkzhkxtzkh（7-18）221cosh()sin()coshkzhakxtgtkh再与（7－17）联立：（7-19）2tanhgkkh将18，19两式代入(7－17）得：（7-20）22///CLTkk因为（7-21）2tanhgCkhk将（7-22）代入（7-20）可得：（7-23）适用于各种水深kC所以（7-22）2tanh2gLhCL所以(7-24)若已知Ｌ,ｈ,由（7-24）式可确定Ｃ；将C=L/T，K=2π／L代入式（7-23）可得22tanh2gThLL（7-25）若已知Ｔ,ｈ,由（7-25）式经逐次逼近可确定Ｌ。§７－３水波按水深进行分类2tanhhL由于双曲函数具有渐近值所以按双曲函数的性质将水波进行分类，其目的是为了工程应用方便。所谓深水波、浅水波，是一种相对概念。波速公式适用于各种水深2tanh2gLhCL表7－1水波分类浅水波：波速只是水深的函数，与波长无关深水波：波速只是波长的函数，与水深无关中等水深波：波速是波长与水深的函数波的类型深水波中等水深波浅水波水深h2Lh20L2Lh20Lh0的近似值2tanhhL2tanhhL2hL2gLC2tanh2gLhCLCgh近似公式1§７-４流体质点的轨道运动轨圆半径ｒ=aekz深水波：流体质点沿圆周等速运动浅水波：流体质点作椭圆轨道运动长轴从波面到水底不变，短轴从底部的零值逐渐增加到波面处的波振幅ａ。中等水深波：流体质点作椭圆轨道运动长短轴均沿水深变化。证明如下：cosh()sin()coshagkzhkxtkh由（7－15）利用σ２=gktanhkh可将改写成:cosh()sin()sinhakzhkxtkkh（7-27）cosh()cos()sinhsinh()sin()sinhxzkzhdxvakxtxkhdtkzhdzvakxtzkhdt则速度分布：（7-28）两个速度分量的相位差为π/2对应a/L=1/20及a/h=1/5cosh()cos()sinhsinh()sin()sinhxzkzhvakxtkhkzhvakxtkh积分(7-28)得到质点运动轨道:0000sinh()cos()sinhtzkzhzzvdtakxtkh0000cosh()sin()sinhtxkzhxxvdtakxtkh将上式两边平方相加：22002002()(cosh()sinh()[][]sinhsin)h1xxakzhakzhkzkhhz(7-29)220022()()1xxzz或(7-30)()202LLh(7-31)00cosh()sinhsinh()sinhakzhkhakzhkh00,)xz（为椭圆中心中等水深波:a,β随h增加而减小，即椭圆越小越扁，在ｚ０=-ｈ时，β=０，水质点沿底部作水平往复运动。浅水波：()aazhkhh(7-32)轨道为椭圆，长轴不变，短轴随水深逐渐减小，在底部为零，波面处为振幅ａkzkhkzkhkhkheeeeaeekzkhkzkhkhkheeeeaee深水波:将α、β中的双曲函数展开当L/2≤ｈ＜∞时，有ｅ-ｋｈ→０，因此kzkzaeae1()2h(7-33)深水波传播速度与波长、周期的变化关系：LCT50607080901001101301201408.839.6810.4511.1911.8612.5013.1113.7014.2614.805.666.206.707.157.598.008.398.769.129.46这组数据表明：波长增加，周期增加，传播速度增加。在无风的海域，其它海区的波浪传播到无风海域形成涌浪，这就是无风三尺浪的原因。§７-５前进水波中的压力分布在拉格朗日积分式（7-９）中忽略v2/2项可得pgzt(7-34)cosh()cos()coshpgkzhakxtgzkh将（7-15）代入上式得有限水深相对压强：式中acos(kx-σt)＝η为波面方程。cosh()[]coshkzhpzkh适于z0(7-35)因此cosh()coshpkzhkkh定义压力反应系数ppkz方程（７-35）简化为：(7-36)方程（7-35）或(7-36)只适于z0的区域讨论：当z0时，（７-35）对于ｚ的正值无效。因小振幅波的近似，即自由面条件（动力学条件）式（7-11）中用ｚ=０代替了ｚ=η上式第一项为波动压强，第二项为静水压强。1.当z0时（初始平面以下所有深度），kp１1pkp2.当ｚ＝０时(7-37)压力分布与ｚ取正值的静水压力分布规律相符3.当ｚ＝－ｈ时，1coshpkkhcoshphkh(7-38)即底部的静水压力为ｐ/γ＝ｈ＋η在波谷下（η为负):底部压力大于静水压力coshhhkh因为（7－39）在波峰下（η为正):底部压力小于静水压力若已知水平面以下某处的压强，可以反过来预测波高。底部压强随时间和位置的变化将引起流体在砂床这类疏松介质中的流动。实际流体中会引起波能的粘性耗散。coshhhkh(7-40)§７-６波群与波群速波群(WaveGroup)：多种不同频率的波叠加在一起形成的波。1sin()akxt2sin()akxt设η１和η２为两个简谐波为：12[sin()sin()]akxtkxt而k≈k′，σ≈σ′，a,T相同，2cos()sin()2222kkkkaxtxt（7－41）迭加后得合成波:因ｋ≈ｋ′，σ≈σ′，上式可近似为使合成波列具有波长２π/ｋ，周期２π/σ和波速（相速度）Ｃ＝σ/ｋ；2cos(sin())22kxtkkaxt(7-42)合成波由两部分组成：sin(kx-σt):负责调制合成波的波长与周期振幅调制波具有较合成波列大得多的波长和周期2cos()22kkat:负责调制合成波列的振幅振幅调制波2cos()22kkat的振幅在2a之间随时间和空间作周期性变化。gdCkkdk44kk波长为,传播速度为,周期为kddk振幅调制波的传播速度不相同。速度,与合成波列的传播振幅调制波将合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。包络线将合成波分成一个个波群。群波的长度为：2k合成波列称为波群（wavegroup)合成波列具有两个速度:相速度C群速度Cg合成波列以相对速度(C-Cg)进入振幅调制波的节点,振幅从零逐渐加大到2a,又逐渐减小到零。群速度：振幅调制波的传播速度为这一群波的前进速度。振幅调制波以群速度Cg传播Cg等于波能的传递速度（待续）群速度：()gdddCCCkCkdkdkdk(7-43)2tanhgCkhk由(7-23)式两边对k求导得：22222tanhcoshcoshdCghgghCCkhdkkkhkkkhk212cosh2dCghCdkCkkhk所以：222111(1)2cosh22coshgghCghCCCCkhCkh上述结果代入（７-３１）式：利用(７-２3)以及sinh2x=2sinhxcoshx，202LLh适用于2gCC深水波:(7-45)20sinh2khkh（因为）波群速为单独水波前进速度之半1