第七章蒙特卡罗

计算物理学[e-mail]1/92第七章随机过程与蒙特卡罗方法7.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述7.2赝随机数的产生7.3用M-C方法计算定积分7.4链式反应的模拟计算物理学[e-mail]2/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述MonteCarlo方法(M-C方法):随机取样(randomsampling)统计模拟(statisticsimulation)统计试验(statistictesting)二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。蒙特卡罗方法是使用随机数（伪随机数）来解决很多计算问题的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。计算物理学[e-mail]3/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述蒙特卡罗方法的提出1777年，法国数学家巴夫昂(GeorgesLouisLecleredeBuffon，1707—1788)提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡罗方法的思想起源。在平滑桌面上划一组相距为S的平行线，向此桌面随意地投掷长度L=S的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。计算物理学[e-mail]4/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述数学统计理论的简单计算：设针与平行线的垂直方向的夹角为β针在与平行线垂直的方向上投影的长度为cosL细针与平行线相交的概率coscosLS由于β是在[0,π]区间均匀分布的，cosβ的平均值为2002112coscoscosddd计算物理学[e-mail]5/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述假如在N次投针中，有M次和平行线相交细针与平行线相交的概率就近似为2MN即2NM上述投针法受到实验条件的制约，精度不是很好。MN实验者年份投计次数π的实验值沃尔弗185050003.1596斯密思185532043.1553福克斯189411203.1419拉查里尼190134083.1415929计算物理学[e-mail]6/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述投针法的计算精度与以下几个因素有关：1.平行线间距必须保证为一个常数值，并在所要求的误差范围内与针长相等。2.正确地判断临界状态下的针与平行线的相交也非易事。3.还必须保证针的投掷位置和角度的分布是均匀分布的。为保证角度分布的均匀性，可以在投针的时候，让针迅速旋转，并采用非常平的、摩擦系数是各向同性的桌面。计算物理学[e-mail]7/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述实用的蒙特卡罗方法源于美国在第二次世界大战时研制原子弹的“曼哈顿计划”，由乌拉姆(StanislawUlam)和诺伊曼(JohnvonNeumann)首先提出。MonteCarlo----Monaco(摩纳哥)-----赌城计算物理学[e-mail]8/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述M-C方法既可以用于随机性问题，也可用于确定性问题。随机性问题:核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及粒子输运计算、量子热力学计算等。确定性问题:计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，如多重积分等。蒙特卡罗方法的应用计算物理学[e-mail]9/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。M-C方法针对待求问题，可以根据物理现象本身的统计规律，或人为构造一合适的依赖随机变量的概率模型，使某些随机变量的统计量为待求问题的解，进行大统计量(N→∞)的统计实验方法。M-C方法的基本思想：M-C方法理论依据1.大数法则：均匀分布的算术平均值收敛于真值2.中心极限定理：置信水平下的统计误差计算物理学[e-mail]10/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述M-C方法是由随机变量X的简单子样X1，X2，…，XN算术平均值，作为所求解的近似值。1.大数法则11NNiiXXN由大数法则可知，如果X1，X2，…，XN为独立同分布，且具有有限期望值（E(X)∞），则lim1NNPXEX即随机变量X的简单子样的算术平均值，当子样数Ｎ充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。NX计算物理学[e-mail]11/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述中心极限定理解决了M-C方法近似值与真值的误差问题。2.中心极限定理220(())()xEXfxdxf(x)是X的分布密度函数。则当N充分大时，有如下的近似式2/202()12tNPXEXedtN其中α称为置信度，1－α称为置信水平。如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即：计算物理学[e-mail]12/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述()NXEXN近似地以概率1－α成立N通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为上式表明，不等式λα与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出λα。α0.50.050.003λα0.67451.963两点说明：(1)MC方法的误差为概率误差，这与其它数值计算方法是有区别的。(2)误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值来代替，在计算所求量的同时，可计算出估计值。221111()NNiiiiSXXNN计算物理学[e-mail]13/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述减小估计的均方差σ：比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N增大四倍的效果。减小误差的方法增大试验次数N：在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加两个数量级。因此，单纯增大N不是一个有效的办法。当给定置信度α(λα)后，误差ε由σ和N决定。N一般来说，降低方差，往往会使观察子样的时间增加。所以，一种方法的优劣，需要由方差和观察一个子样的费用（使用计算机的时间）两者来衡量。这就是MC方法中效率的概念。它定义为σ2c，其中c是观察一个子样的平均费用。显然σ2c越小，方法越有效。计算物理学[e-mail]14/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述M-C方法求解问题的基本步骤1.构造或描述概率过程，建立随机模型。2.实现从已知概率分布抽样，产生随机数序列模拟随机过程。3.建立各种估计量，对随机数的分布做统计性处理。计算物理学[e-mail]15/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述1.构造或描述概率过程，建立随机模型。对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程。对于本来不具有随机性质的确定性问题，如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解，即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。计算物理学[e-mail]16/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述2.实现从已知概率分布抽样，产生随机数序列模拟随机过程。由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此就可以产生已知概率分布的随机变量。这就成是M-C方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是[0，1]上的均匀分布，随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机数序列。计算物理学[e-mail]17/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述3.建立各种估计量，对随机数的分布做统计性处理。一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。计算物理学[e-mail]18/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述M-C方法优点：1能够比较逼真地描述具有随机性的物理过程。蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它具有直观、形象的特点。计算物理学[e-mail]19/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述2受几何条件限制小。在具有随机性质的问题中，若系统形状很复杂，一般难以用确定的数值方法求解，而使用蒙特卡罗方法，不会有原则上的困难。3收敛速度与问题的维数无关。由误差定义可知，在给定置信水平情况下，MC方法的误差与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。这一特点，决定了蒙特卡罗方法对多维问题的适应性。而一般数值方法，比如计算定积分时，计算时间随维数的幂次方而增加，而且由于分点数与维数的幂次方成正比，需占用相当数量的计算机内存，这些都是一般数值方法计算高维积分时难以克服的问题。计算物理学[e-mail]20/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述4程序结构简单，易于实现。计算机上进行蒙特卡罗方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。1收敛速度慢。蒙特卡罗方法的收敛速度为O(N-1/2)，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不如其它方法好。M-C方法缺点：2误差具有概率性。由于蒙特卡罗方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。计算物理学[e-mail]21/927.1蒙特卡罗(M-C)方法应用概述3计算结果与系统大小有关。例如在粒子输运问题中：经验表明，只有当系统的