自考线性代数重点练习题04

第四章向量组的线性相关性1设v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2设3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得)523(61321aaaa])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TTT(1234)T3已知向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由312123111012421301402230),(BA971820751610402230421301~r531400251552000751610421301~r000000531400751610421301~r知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示由000000110201110110220201312111421402~~rrB知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T证明A组与B组等价证明由000001122010311112201122010311011111122010311),(~~rrAB知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明(1)a1能由a2a3线性表示(2)a4不能由a1a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为000110121220770121101413121~~rrA所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为022200043012||B所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由)1)(1(111111||aaaaaaA知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1(a1b)2(a2b)0由此得2211121122121211)1(aaaab设211c则bca1(1c)a2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之解不一定例如当a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T时有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2am是线性相关的则a1可由a2am线性表示解设a1e1(1000)a2a3am0则a1a2am线性相关但a1不能由a2am线性表示(2)若有不全为0的数12m使1a1mam1b1mbm0成立则a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关解有不全为零的数12m使1a1mam1b1mbm0原式可化为1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em为单位坐标向量则上式成立而a1a2am和b1b2bm均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式1a1mam1b1mbm0才能成立则a1a2am线性无关,b1b2bm亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1mam1b1mbm0成立所以只有当12m全为0时等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm线性无关取a1a2am0取b1bm为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2am线性相关(4)若a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关则有不全为0的数12m使1a1mam01b1mbm0同时成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120与题设矛盾11设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12设b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组a1a2ar线性无关证明向量组b1b2br线性无关证明已知的r个等式可以写成100110111),,,(),,,(2121rraaabbb上式记为BAK因为|K|10K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2br线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由000000010291032001900820291844210141002291),,(~~321rraaa知R(a1a2a3)2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由00000059014110180590590141763451312141),,(~~321rraaa知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1Ta2T线性无关所以a1Ta2T是一个最大无关组14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)4820322513454947513253947543173125解因为482032251345494751325394754317312513121433~rrrrrr531053103210431731253423~rrrr00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)14011313021512012211解因为1401131302151201221113142~rrrr222001512015120122112343~rrrr00000222001512012211所以第1、2、3列构成一个最大无关组15设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因为5200111031116110111031113111332221),,,(~~2143baababarraaaa而R(a1a2a3a4)2所以a2b516设a1a2an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2en能由它们线性表示证明a1a2an线性无关证法一记A(a1a2an)E(e1e2en)由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0所以R(A)n从而a1a2an线性无关证法二因为e1e2en能由a1a2an线性表示所以R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n所以R(a1a2an)n从而a1a2an线性无关17设a1a2an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2an线性无关而a1a2ana是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2an线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一