第七章线性变换

91第七章线性变换§1基本知识§1.1基本概念1、线性变换：2、线性变换的运算（1）加法：（2）减法：（3）数乘：（4）乘法：3、线性变换在给定基下的矩阵：4、矩阵的相似：5、矩阵的迹与范数：6、矩阵的特征多项式：7、特征值与特征根：8、线性变换的对角化：9、线性变换的值域：10、线性变换的核：11、线性变换的秩与零度：12不变子空间：13、若尔当块与若尔当形矩阵：14、最小多项式：§1.2基本定理定理7.1设)(VL是数域P上的线性空间V上的线性变换的全体构成的集合，那么)(VL关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间；定理7.2设n,,,21是数域P上的n维线性空间V的一个基，n,,,21是V上任意n个向量，则存在唯一的线性变换)(VL，使得：),,2,1()(niii；定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设n,,,21是数域P上的n维线性空间V的一个基，对任意线性变换)(VL，令和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是)(VL到nnP的一一对应，且设)(,VL在这个基下的矩阵分别是BA,，Pk，那么92（1）BA；（2）kAk；（3）AB；（4）可逆的充分必要条件是：A为可逆矩阵；且11A。定理7.4（象的坐标计算公式）设)(VL在数域P上的n维线性空间V上的基n,,,21下的矩阵是A，V在基n,,,21下的坐标是),,,(21nxxx，)(在基n,,,21下的坐标是),,,(21nyyy，那么：nnxxxAyyy2121；定理7.5（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）设)(VL在数域P上的n维线性空间V上的基n,,,21和n,,,21下的矩阵分别是A和B，基n,,,21到n,,,21的过渡矩阵是T，那么：ATTB1；定理7.6（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵；反之，两个相似的矩阵一定可以成为同一个线性变换在两组基下的矩阵；定理7.7相似矩阵的特征多项式相等；定理7.8（线性变换对角化的条件）设是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，那么在V的某个基下的矩阵是对角矩阵的充分必要条件是：有n个线性无关的特征向量，即V有一个由的特征向量构成的基；定理7.9属于不同特征值的特征向量一定是相性无关的；推论7.1设是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，如果的特征多项式在数域P上有n个不同的特征值，那么可以对角化；推论7.2设是复数域上的n维线性空间V上的一个线性变换，如果的特征多项式没有重根，那么可以对角化；定理7.10设t,,,21是线性变换所有不同的特征值iisii,,,21是的属于特征值i的线性无关的特征向量，那么：iiisiiss,,,;;,,,;,,,21222211121121线性无关；定理7.11设是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，n,,,21是93V的一个基，在基n,,,21下的矩阵是A，那么（1）))(,),(),(()(21nLV；（2）的秩)(AR；定理7.12设是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，则的值域的一个基的原象和的核的一个基并起来构成V的一个基；由此得：的秩+的零度n。推论7.3设是数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换，则是满射的充分必要条件是：是单射；定理7.13（凯莱—汉密尔顿定理）设)(f是n级矩阵A的特征多项式，则：0)(Af；定理7.14设线性变换的特征多项式为)(f，它可以分解为srsrrf)()()()(2121那么V可以分解为不变子空间的直和sVVVV21，其中.,,2,1,,0)(|siVVirii定理7.15设是复数域上的线性空间V的一个线性变换，则一定存在V上的一个基，使得：在这个基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为的若而当标准形；定理7.16每个n级复矩阵都相似于一个若而当形矩阵；定理7.17数域P上的n级矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：A的最小多项式在P上可以分解为互素的一次因式的乘积。推论7.4复数域上的n级矩阵A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：A的最小多项式没有重根。§1.3基本性质性质7.1线性变换的运算性质：设PlkVL,),(,（1）；（2）)()(；（3）0；（4）0)(；（5）)()(kllk；94（6）1；（7）lklk)(；（8）kkk)(；（9）0)0(；（10）)()(；（11）若s,,,21线性相关，则)(,),(),(21s线性相关。性质7.2相似矩阵的性质：（1）自反性：任何矩阵自身和自身相似；（2）对称性：如果矩阵A相似于B，则B也相似于A；（3）传递性：如果矩阵A相似于B，B相似于C，则A相似于C；（4）相似的矩阵的迹与范数相等。性质7.3最小多项式的性质：（1）矩阵的最小多项式是唯一的；（2）如果矩阵A的最小多项式是)(xg，那么)(xf以A为根的充分必要条件是)(|)(xfxg；（3）设矩阵A是一个准对角型矩阵21AAA若21,AA的最小多项式分别是)(),(21xgxg，那么A的最小多项式是)](),([21xgxg；95§1.4基本运算1、求线性变换在给定基下的矩阵：计算步骤1）求出基向量n,,,21的象)(,),(),(21n；2）求出)(i在基n,,,21下的坐标),,,(21niiiaaa；3）下结论nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211为所求。例7.1（北大教材，P321，7，3））2、求线性变换的特征值与特征向量：计算步骤1）求出在基n,,,21下的矩阵A；2）求出A的特征多项式AE；3）特征多项式在数域P上的所有根)0(,,,21nss就是的所有特征值；4）对每一特征值i，解齐次线性方程组0)(xAEi求出它的基础解系),,,()(1)(12)(11iniiaaa，),,,()(2)(22)(21iniiaaa，),,,(,)()(2)(1intititiiiaaa，则iiititiiiikkk2211（iitiikkk,,,21不全为零）是的属于特征值i的所有特征向量，其中inijnijijijtjaaa,,2,1,)(2)(21)(1。例7.2（北大教材，P324，19）96§2基本题型及其常用解题方法§2.1线性变换的判定与证明利用定义例7.3（北大教材，P321，1）§2.2线性变换（矩阵）对角化的判定与证明1、利用特征值与特征向量：理论依据有（1）定理7.8（2）推论7.1（3）推论7.2（4）n阶矩阵A可以对角化对A的每一个特征值，都有的重数+秩nAE)(.判断数域P上的n阶方阵A是否可以对角化，并在可对角化的条件下求可逆矩阵T，使ATT1为对角矩阵的步骤：1）解方程0AE，如果该方程的根不全属于P，那么A在数域P上不能对角化，否则求出A的所有属于数域P的特征值m,,,21，i的重数为)1(miti；2）对某一个特征值i，若秩ntAEii)(，则A不能对角化；3）若对每一个特征值i，秩ntAEii)(，A可以对角化，解齐次线性方程组0)(xAEi得其基础解系),,2,1(,,,21mipppiitii；4）令),,;;,,;,,(122111121mmtmttppppppT，则),,;,,;,,(22111mmdiagATT.例7.4（97,6分）已知111是矩阵2135212baA的一个特征向量.(1)试确定参数ba,及特征向量所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.解(1)设对应的特征值为，则A，即972135212ba所以：1,0,3ba；(2)3)1(201335212AE，即1是A的3重特征根.而秩)(AE秩2101325213，因此A的属于特征根-1的线性无关的特征向量只有一个，故A不能相似于对角阵.讨论数域P上的n维线性空间V上的线性变换能否对角化的步骤1）取定V的一个基n,,,21，并求出在基n,,,21下的矩阵A；2）按照讨论矩阵是否能否对角化的步骤讨论A能否对角化；3）如果A不能对角化，那么不能对角化；；4）如果A能对角化，但其特征值不全属于P，那么也不能对角化，若其特征值全属于P，那么能对角化，如果T是满足ATT1为对角矩阵的可逆方阵，那么令Tnn),,,(),,,(2121，则在基n,,,21下的矩阵为对角矩阵ATT1；例7.5（北大教材，P325，21）2、利用正交变换法本方法只适合于实对称矩阵解题步骤1）解特征方程0AE，求出A的所有不同的特征值m,,,21，i的重数为it（mi,,2,1）；2）解齐次线性方程组0)(xAEi得基础解系iitii,,,21（mi,,2,1）；3）利用Schmidt正交化方法将iitii,,,21化为规范正交组98iitiieee,,,21（mi,,2,1）；4）令),,;;,,;,,(122111121mmtmtteeeeeeU，则U为所求正交矩阵，且),,;,,;,,(2211mmTdiagAUU.例7.6（06,13分）设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量T)1,2,1(1，T)1,1,0(2是线性方程组0Ax的两个解.(1)求A的特征值和特征向量；(2)求正交矩阵Q和对角矩阵，使得AQQT；(3)求A及6)23(EA，其中E为3阶单位矩阵.分析由于A的各行元素之和为3，因此利用后面的性质6.10知3是A的特征值且T)1,1,1(是A的属于特征值3的特征向量，21,是0Ax的两个解，易见21,线性无关，所以21,是A的属于特征根零的两个线性无关的特征向量，将21,化为规范正交组21,ee，则333211,,eee为列向量便得Q，由此知零是A的二重特征根，所以0，0，3便是A的所有特征值，至于特征向量也就不难求出.解(1)由于A的各行元素之和为3，所以1113111A，即知3为A的一个特征值，而T)1,1,1(是A的属于特征值33的一个特征向量，又T)1,2,1(1，T)1,1,0(2是0Ax的两个解，由于21,的分量不成比例，所以21,线性无关，因此0至少是A的二重特征值，但A为3阶对称矩阵，3已为A的一个特征值，所以3,0321便是A的所有特征值，从而21,构成021的所有特征向量的一个极大无关组，T)1,1,1(3是33的全体特征向量的一个极大无关组.故：A的属于特征值021的全体特征向量为TTcc)1,1,0()1,2,1(2121,(cc是不全为零的任意常数）A的属于特征值33的全体特征向量为99Tc)1,1,1(0(c为任意常数）(2)令T