第21次课-数值解法概述

《高等传热学》研究生课程教案-第二十一次课(2学时)传热学数值方法概述第1页传热学数值方法概述非常不幸的是：虽然我们能从数学给出描述流动及传热问题的一般的微分方程，但却不能一般地给出它的解。这就是造成我们理论和实践脱节的根本原因，也正因为如此，才导致我们在流体力学、传热学中所针对的研究对象常常是理想的或简单问题。因为只有引入理想流体或简单问题这样一些假定，可以使上述复杂的方程得到大大的简化，以致于我们在数学上能构求解它们。一、传热数值计算概述1、通用偏微分方程基于质量守恒、动量守恒和能量守恒以及过程变量连续性假说的一组相互耦合的偏微分方程组可以写成如下通式：Sxxxujjii)(，（sYTuuu,,,,,1321）我们可以说这样一组基于质量、动量和能量守恒的基本方程，在配以适当的边界条件即可适合于任何流动及传热问题。但是接下来的问题是，也是最为关键的问题是我们如何求解这组相互耦合的强非线性偏微分方程组。即如何由这样一组方程获得它的解：),,,(321xxx在编制计算程序时，我们只需要写出一个求解方程的通用程序，对不同意义的φ就可以重复使用这个程序，当然对不同的φ需要对相应的和S分别赋以各自合适的表达式，如下表。方程φΓS连续性方程1任意0X向动量方程uμxxVBxp能量方程T或hpc或λphcS或Sh湍流-动能方程KΓkG-ρε化学组分方程miΓiRi上述通用微分方程中的四项分别是不稳态项、对流项、扩散项以及源项。因变量可以代表各种不同的物理量，如化学组外的质量分量、焓或温度、速度分量、湍流功能或湍流的长度尺度。与此相应，对于这些变量中的每一个都必须给相对应的扩散系数Γ以及源项S赋以适当的意义。2、单向与双向的坐标所谓双向坐标就是指如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，受该位置两侧条件变化影响的坐标。而如果在一个坐标上的一个给定位置处的条件，只受该位置一侧条件变化的影响，这样的坐标就是单向坐标。通常，空间坐标是双向坐标，时间坐标则是单向坐标。但空间坐标有时也可以作为单向坐标。对流是一种单向过程，而扩散则具有双向效应。当流量很大时，对流作用远远大于扩散作用，因而空间坐标就近于单向坐标了。在一块固体的不稳态冷却期间，其某一给定瞬时的温度只能受在该瞬时以前所发生的那些条件变化的影响。这是一个常识问题。昨天的事情影响着今天发生的事情，但是明天的条件对于今天会发生什么事情则没有影响。3、方程的类型包括抛物型、椭圆型与双曲型。从方程类型讲，抛物型方程代表一种单向状态，而椭圆型方程代表一种双向状态。不稳态的传热问题实际上是时间坐标上的抛物型和空间坐标上的椭圆型问题。一个二维的边界层当以流动方向的坐标表示时是抛物型的，而当以横向坐标表示时就是椭圆型的。这样的描述方法可能读者不习惯，或许用下面的规则可以将它与读者熟悉的分类方法联系起来：至少存在一个单向坐标的状态是抛物型状态；否则就是椭圆型状态。有时将具有一个单向空间坐标的流动称为《高等传热学》研究生课程教案-第二十一次课(2学时)传热学数值方法概述第2页边界层流动，而全部都是双向坐标的流动则称为回流流动。这里我们把双曲型问题当成是椭圆型问题这一总类中的一个组成部分，即这类问题所对应的全部是双向坐标。二、数值计算的基本步骤本世纪四十年代第一台计算机产生以来，特别是近十几年以来，计算机得到了迅速的发展和应用，它为我们求解这些完备的方程提供了数值计算的途径，即面对真实条件和复杂工况，用数值计算的方法求解描述该真实过程的基本方程，从而获得该过程变量的分布特征。一个传热问题数值求解的总体步骤大致如图所示。电子计算机中的一切计算都是通过加、减、乘、除四则运算来完成的。为了用计算机解出节点上未知量的近似值，首先需要从给定的微分方程或基本物理定律出发，建立起关于这些节点上来知量近似值之间的代数方程(称为离散方程)，然后对之进行求解。在传热学中所应用助数值计算方法很多，大多数方法的基本思想可以归结为：把原来在时间、空间坐标中连续的物理量的场(如速度场、温度场、浓度场等)，用有限个离散点上的值的集合来代替，按一定方式建立起关于这些值的代数方程并求解之，以获得物理量场的近似解。数值解法是一种离散近似的计算方法。它所能获得的不象分析解那样是被研究区域中未知量的连续函数，而只是某些代表性地点(称为节点)上的近似值。同一物理问题的不同数值解法间的主要区别，在于子区域的划分与节点的确定、离散方程的建立及其求解这几个步骤上。传热学所采用的一些数值求解方法，主要的是有限差分法(FDM)、有限元法（FEM）、边界元法（BEM）、有限容积法（FVM）及有限分析法（FAM），前三种方法的比较如下表。方法有限差方法有限元法边界元法基本思想用差商代替微商变分原理，分段逼近积分变换应用领域适用于形状较简单的场合适用于物理条件和几何条件复杂的场合适用于几何条件复杂的场合特点发展相对成熟，物理意义明确，便于实施，对几何形状的适应性差。计算精度易于调整，区域的剖分与程序的编制比较复杂，计算费时。单元个数少，使求解问题的空间维数降低，不太适合处理非线性问题，所求解的偏微分方程必须存在基本解有限元法、边界无法及有限分析法在最近几年中有很大的发展，并己成功地解决了一些流动及对流换热问题。但是，就方法发展成熟的程度、实施的难度及应用的广泛性等方面而言，有限差分这一类方法仍占相当优势。三、建立离散化方程的方法数值计算在本质上就是用计算域（空间、时间）内有限的分散点（单元或网格）上的因变量φ（温度、速度、浓度等）作为有限未知量，提供有关这些未知量的代数方程，并规定求解这组方程的算法。对计算域作人为划分，用离散了的各个子域代替原有计算域，并用求解出的各个子域（单元或网格）上的变量φ的间断分布，来代替微分方程精确解中变量φ的连续信息，这类数值方法称为离散化方法。用离散化方程代替控制微分方程，可使计算过程得到简化。随着子域数目的增多，离散解逐渐逼近精确解。对于一个已知的微分方程，可能的离散化方程不是唯一的，离散化方程的不同形式起因于分布假设的《高等传热学》研究生课程教案-第二十一次课(2学时)传热学数值方法概述第3页及推导方法的不同。下面简单介绍几种建立离散化方程的方法。1、泰勒展开法常见的推导有限差分方程的方法是通过截断泰勒级数来近似表示微分方程中的导数。比如，对图中的3个结点（其中2312xxxxx）,以结点2为中心展开泰勒级数：222222121dxdxdxdx222222321dxdxdxdx在第3项之后截断级数，将两个方程相减或相加，得到：xdxd2132，22312222xdxd将以上两个表达式代入微分方程即得到有限差分方程。用泰勒展开法推导有限差分方程实际隐含了这样的假设，即因变量φ的变化多少有点像自变量x的低次多项式，而高阶导数并不很重要，但在特殊情况下（如指数形式的变化），这种情况可能导致得出不希望遇到的公式。2、变分法变分法也称瑞利—里兹法，它是从求泛函极值出发的一种离散化方法，是从若干试凑解中选择正确解的方法，它与以下介绍的加权余数法一样，都是求解近似解的试函数方法。变分法证明，求解某些微分方程的问题等效于寻求一个未知函数或关系式，使一个具有相同已知边界条件的被称为泛函的相关量最小化，这种等效关系就是变分原理。下面对变分公式做一简单推导。令和I为函数x的泛函，即：dxxFIxxxxx21,,,其中，x为独立变量，x,dxdx,22dxdxx。这样，变分法就变为针对给定的问题寻求合适的函数x，从而使其泛函I有极值。假设任一接近准确解x的试凑解x可以表为：xxx其中x为的变分。对于变量x的一个固定值0x，的一个任意小变化可定义为的变分，即：dxFFdx，dxddxd采用类似于全微分的方法，将变分定义为：xxFFFFFxxxxxx式中，因对固定x求变分，故0x，所以最后一项为0。要使I取极值，则须使I的一阶导数为零，即《高等传热学》研究生课程教案-第二十一次课(2学时)传热学数值方法概述第4页2121xxxxxxxxxxFdxdxFFFI将上式中第二项和第三项分部积分，整理可得021212122xxxxxxxxxxxxxxxFFdxdFdxFdxdFdxdFI由于为任意的，所以每一项都必须等于零，022xxxFdxdFdxdF（1）021xxxxxFdxdF（2）021xxxxxF（3）其中，式（1）即为所给问题的控制微分方程。式（2）、（3）为边界条件。下列条件称为自然边界条件：021xxxxxFdxdF，021xxxxF如不满足自然边界条件，则有几何条件：00002121xxxxxx用变分原理为基础推导有限元方程时，自然边界条件将自动合并在公式中，求解时只需施加几何边界条件。前人已经建立起了一般问题的各种变分原理，对这类问题则可立即写出泛函。对那些没有给出变分陈述的有关问题，则须判断经典变分原理是否存在并加以推导。3、加权余数法加权余数法是一种强有力的求解线性和非线性微分方程近似解的数值方法，它可使那些用变分原理难以处理的问题得到很好地解决。下面以一维问题为例，简述该方法的基本思想。令微分方程用下式表示：0L（4）选用一组试探函数)(xfm，配以若干待定常数ma，组成方程的近似解，xfaxfaxfaamm22110（5）代入式（17-14）,如果方程式恰等于零，则为精确解。但一般说来，结果不会为零，留下一余数R，《高等传热学》研究生课程教案-第二十一次课(2学时)传热学数值方法概述第5页LR我们希望R取最小值（或某种意义上比较小），则可为方程的近似解，其条件是lxWRdx00式中W为权函数，l为计算域长度。选择适当权函数，由上式即可求出参数ma的各值，从而得到方程近似解。如取权函数1W，则可通过把计算域分成许多子域(控制容积)构成一系列的加权余数方程，其中每次都令加权函数在一个子域内为1，而在所有其它的子域内为0,这种类型的加权余数法称为子域法或是控制容积法。帕坦卡—斯波尔丁学派成功地把控制容积法用于有限差分计算。（参见文献[3]）。实际上，有限元法中的许多形式，也是建立在分段分布与一种被称为伽辽金法的加权余数法相结合的基础上的。4、控制容积法我们已经提到，控制容积法可看成是加权余数法的一种特殊形式，其基本思想是将计算域分成互不重叠的控制容积，并使每一个网格结点都由一个控制容积所包围，对每一个控制容积积分微分方程，用表示网格结点之间φ变化的分段分布来计算所要求的积分，这样就得到包含一组网格结点处的φ值的离散化方程。该方法最显著的特征就是所得到的结果将意味着在任何一组控制容积内，当然也就是在整个计算域内，诸如质量、动量以及能量这样一些物理量的积分守恒都可以精确地得到满足。对于任意数目的网格结点，既便是粗网格，这一特征都存在。在求解离散化方程得到网格点上的因变量的过程中，可用两种不同方式来表示结果：其一是在有限元法以及大多数的