第三章,复变函数的积分

第三章复变函数的积分1§2.1复变函数积分的概念§2.2Cauchy-Goursat基本定理§2.3基本定理的推广-复合闭路定理§2.4原函数与不定积分§2.5柯西积分公式§2.6解析函数的高阶导数§2.7解析函数与调和函数的关系§3.1复变函数积分的概念21积分的定义2积分存在条件及计算方法3积分的性质31积分的定义曲线的方向设C为平面上给定的一条光滑（或按段光滑）曲线，如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向（或正向），那么就把C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。设曲线C的两个端点为A与B，若把从A到B的方向作为C的正向那么B到A的方向就是C的负向，记作CˉAB4简单闭曲线的方向简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方。与之相反的方向就是曲线的负方向。51,,,,knnzzzB011,,,,kAzzzoxyAB1nzkz1kz2z1zC有向曲线，定义C是区域D内以A为起点,B为终点的一条光滑的()fz设是定义在区域D内的复变函数.在C上依次取分点把曲线C分割为n个小段.D0znz6oxy0zZ1nzkz1kz2z1zkC12在每个小弧段11,2,,kkzzkn上任取一点(1,2,,),kkn做和数1(),nnkkkSfz其中，1kkkzzz1,2,,.kn令1max.kkns的长度为弧记kkkzzs1nz7如果分点的个数无限增多，并且极限存在,则称该极限值为函数沿曲线C的积分,()fz001limlim()nnkkkSfz并记作()d,Cfzz即011()dlim()lim().nnkkkkCnkkfzzfzfz如果C是闭曲线，经常记作当C是实轴上的区间,,ab方向从a到b,并且()fz为实值函数，那么这个积分就是定积分.dzzfC)(2积分存在的条件及计算方法8并且区域D内连续，则()dCfzz存在，Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi定理1设C是光滑(或可求长)的有向曲线，()(,)(,)fzuxyivxy如果在包含C的9kkkζξiη11111()()()()kkkkkkkkkkkkkzzzxiyxiyxxiyyxiy11[(,)(,)][(,)(,)]nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuyCzzfd)(Cyvxudddd.Cvxuyi设，则,,11()()()()nnkkkkkkkkkkfzuivxiy定义证明u,v连续取极限u,v连续取极限10Czzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxu积分公式从形式上可以看成11定理2设光滑曲线C由参数方程给出：:()()()(),Czztxtiytt()dCfzz[(),()]()[(),()]()duxtytxtvxtytytt[(),()]()[(),()]()d.ivxtytxtuxtytytt()()βαfztztdt()z是起点,()z是终点，()(,)(,)fzuxyivxy在包含C的区域D内连续，则12Czzfd)(Cyvxudddd.Cvxuyi证明[(),()]()[(),()]()duxtytxtvxtytytt[(),()]()[(),()]()d.vxtytxtuxtytytti[(),()][(),()]()()duxtytivxtytxtiytt()()βαfztztdt13如果C是由C1,C2,…,Cn年等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义12()d()d()d()dnCCCCfzzfzzfzzfzz如无特别说明，今后我们讨论的积分总是假定被积函数是连续的，曲线是按段光滑的。14例1计算,其中C为从原点到点3+4i的直线段.Czdzxyoi43C15解zxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire,dπ20inneri例2计算积分(n是整数),其中C是圆周:0(0)zzrr的正向.Cnzzdz10)(16zxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(1102π0(cossin)d0.nininrrzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.17(1)从原点到1+i的直线段；(3)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；(2)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.xyoi11i2xy例3计算积分d,Czz其中C为18注意1从例3看到,积分d,CzzdCzz相同的路径进行时积分值不同,而由例一知，积分值与路径无关。是否可以讨论积分与积分路径的关系?dCzz注意2一般不能将函数f(z)在以z1为起点,以z2为终点的曲线C上的积分记成因为21()d,zzfzz积分值可能与积分路径有关,所以记()d.Cfzz沿着三条不19(1)()d()d;CCfzzfzz;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf(k是复常数);(2)()d()dCCkfzzkfzz3积分的性质(4)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足()d()d.CCfzzfzsML(),fzM则估值不等式2011()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs1,nkkMsML其中,ks是kz与1kz两点之间弧段的长度.根据积分定义，令0,即得性质(4).事实上,21例4设C为从原点到点3+4i的直线段,试求积分dzizC1绝对值的一个上界.§2柯西-古萨(CAUCHY-GOURSAT)基本定理22Cdzzf0)(23柯西-古萨基本定理设f(z)是单连通区域B上BC说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.的解析函数，那么函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零：定理1并且区域D内连续，则()dCfzz存在，Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi设C是光滑(或可求长)的有向曲线，()(,)(,)fzuxyivxy如果在包含C的24证明根据()ddddd.CCCfzzuxvyivxuyCyvxudd()ddDvuxyxy0,CyuxvddddDuvxyxy0.0,uvyx0.uvxy由Green公式因为f(z)解析,所以u(x,y)和v(x,y)在B内可微,且26注意1定理中的C可以不是简单曲线.(柯西积分定理)BC注意3定理中B是单连通区域的假设不可缺少.注意2若曲线C是区域B的边界,函函数f(z)在B内解析,在闭区域上连BBC参见例2续,则Cdzzf0)(27dzzz1321解因为函数11d0.23zzz补例计算积分1()23fzz在上解析,所以根据Cauchy-Goursat基本定理,有23z§3基本定理的推广—复合闭路定理2829闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在其解析区域内作连续变形而改变它的值.30在函数f(z)的解析区域D内考虑两条简单闭曲线C、C′，其中C′包含在C的内部，D1为两条曲线所围的区域,并且两条曲线都取正向DCC1DC31DC1C1DAABBCEEFFAAEBAEBdzzf0)(BFABFAAdzzf0)(=()d()d()d()dEBBEAAfzzfzzfzzfzz()d()d()d()dFAAFBBfzzfzzfzzfzz=032()d()d()d()dEBBEAAfzzfzzfzzfzz()d()d()d()dFAAFBBfzzfzzfzzfzz0Cdzzf)(000()CfzdzDC1C1DAABBCEEFF33Cdzzf)(000dzzfC)(DC1C1DAABBCEEFFCdzzf)(dzzfC)(34闭路变形原理解决的问题35DC1C3C2C定理(复合闭路定理)nkCCkdzzfdzzfi1)()()设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，那么nC,,12,,,,nCCCC,,21CC0)()dzzfii这里C及Ck均取正向，Γ为由C及Ck（k=1,2,…,n）所组成的复合闭路（其方向是：C按逆时针进行，其余按顺时针进行）。()()()()1nCCCfzdzfzdzfzdzfzdz01z2z3z36复合闭路定理的证明C1C2C3Cdzzzz21237解显然函数xyo1例计算积分其中为包含圆周在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.1z221()zfzzz在复平面有两个奇点0和1,并且包含了这两个奇点.38zzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含奇点1.根据,复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCCxyo1G1C2C39zzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220ii.4id()0n10zzr1zzz.0,0,0,2nni40xyo121C2C解显然C1和C2围成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzz补例计算积分其中由正向圆周2z和负向圆周1z组成.个圆环域.函数()zefzz在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界构成复合闭路,所以根据,复合闭路定理DC1C2C3C都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以定理2.4设12,,,,nCCCC是多连通区域D内是D上的解析函数,那么1()d()d,knCCkfzzfzz其中C和Ck(1kn)取正向.若f(z)分段光滑(或可求长)Jordan曲线,都12,,,nCCC为边界的闭区域含于D内.12,,,,nCCCCdzzez41补例求积分其中为含z0的101d,nzzz解因为z0在闭曲线的内部,0z1任意分段光滑的Jordan曲线,n为整数.故可取充分小的正数r,使得圆周10:zzr含在的内部.0102,0,1d()0,0.nzzrinzzzn例2积分值与圆周的中心、半径无关.可得再利用根据,复合闭路定理DC1C2C3