第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

1第30届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v(00v).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为g.二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为m（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连.一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r（rl）处.若碰前滑块A的速度为0v，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度0v应满足的条件.三、（25分）一质量为m、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动.杆在水平状态由静止开始下摆，令mL表示细杆质量线密度.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为kEkL式中，k为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等.由此求出、和的值.已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力.重力加速度大小为g.提示：如果)(tX是t的函数，而))((tXY是)(tX的函数，则))((tXY对t的导数为d(())dddddYXtYXtXt例如，函数cos()t对自变量t的导数为dcos()dcosddddttt四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成.质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓0v2慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）.液滴开始下落时相对于地面的高度为h.设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器.忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g.若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势maxV.五、（25分）平行板电容器两极板分别位于2dz的平面内，电容器起初未被充电.整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向，如图所示.在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度(0,,0)v（这里(0,,0)v表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S中，可能既有电场(,,)xyzEEE又有磁场(,,)xyzBBB.试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S中电场(,,)xyzEEE和磁场(,,)xyzBBB的表达式.已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.现在让介电常数为的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v，方向沿y轴正方向.在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S中，由于液体处在第1问所述的电场(,,)xyzEEE中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(,,)xyzEEE，而是0(,,)xyzEEE，这里0是真空的介电常数.这将导致在电容器参考系S中电场不再为零.试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差.（结果用0、、v、B或（和）d表出.）六、（15分）温度开关用厚度均为0.20mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片.若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010/度和52.010/度.当温度升高到120C时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示.试求双金属片弯曲的曲率半径.(忽略加热时金属片厚度的变化.)七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为，高为h.今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行.劈尖介质的折射率n随x而变化，()1nxbx，其中常数0b.一束波长为的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜3之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示.入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴.要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹.已知第一条狭缝位于y=0处；物和像之间各光线的光程相等.求其余各狭缝的y坐标；试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a)图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射.当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射.已知电子静止质量为em，真空中的光速为c.若能量为eE的电子与能量为E的光子相向对碰，求散射后光子的能量；求逆康普顿散射能够发生的条件；如果入射光子能量为2.00eV，电子能量为1.00´109eV，求散射后光子的能量.已知me=0.511´106eV/c2.计算中有必要时可利用近似：如果1x，有1-x»1-12x.第30届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向(水平方向)分量v及经线切向分量v.设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P处，P和球心O的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得2220111sin222mmgRmmvvv(1)hxyzOhxyOOP4这里已取球心O处为重力势能零点.以过O的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cosmRmRvv.(2)由(1)式，最大速率应与的最大值相对应maxmax()vv.(3)而由(2)式，q不可能达到π2.由(1)和(2)式，q的最大值应与0v相对应，即max()0v.(4)[(4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得22202sintan0gRvv.若sin0，由上式得220sin2cosgRv.实际上，sin=0也满足上式。由上式可知max22max0sin2cosgRv.由(3)式有222maxmax0max()2sintan0gRvv.(4’)]将max()0v代入式(1)，并与式(2)联立，得2220maxmaxmaxsin2sin1sin0gRv.(5)以maxsin为未知量，方程(5)的一个根是sinq=0，即q=0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解.于是maxsin0.约去maxsin，方程(5)变为22max0max2sinsin20gRgRv.(6)其解为2220max40sin11614gRgRvv.(7)注意到本题中sin0，方程(6)的另一解不合题意，舍去.将(7)式代入(1)式得，当max时，22422001162gRvvv,(8)考虑到(4)式有522422max001162gRvvvv.(9)评分标准：本题15分.(1)式3分，(2)式3分，(3)式1分，(4)式3分，(5)式1分，(6)式1分，(7)式1分，(9)式2分.二、参考解答：由于碰撞时间t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为Av、Cv、Dv，显然有DC2lrvv.(1)以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒DCA0222mlmrmlmlvvvv.(2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故2222DCA011112222mmmmvvvv.(3)由(1)、(2)、(3)式解得2200022222248,,888CDAlrlrlrlrlrvvvvvv(4)[代替(3)式，可利用弹性碰撞特点0DAvvv.(3’)同样可解出(4).]设碰撞过程中D对A的作用力为1F，对A用动量定理有221A0022428lrFtmmmlrvvv,(5)方向与0v方向相反.于是，A对D的作用力为1F的冲量为221022428lrFtmlrv(6)方向与0v方向相同.以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为x，则22(2)2mrmllrxm.(7)质心在碰后瞬间的速度为C0224(2)(2)(8)llrxrlrvvv.(8)6轴与杆的作用时间也为t，设轴对杆的作用力为2F，由质心运动定理有210224(2)28llrFtFtmmlrvv.(9)由此得2022(2)28rlrFtmlrv.(10)方向与0v方向相同.因而，轴受到杆的作用力的冲量为2022(2)28rlrFtmlrv,(11)方向与0v方向相反.注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.[代替(7)-(9)式，可利用对于系统的动量定理21CDFtFtmmvv.][也可由对质心的角动量定理代替(7)-(9)式.]值得注意的是，(1)、(2)、(3)式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度02248Clrlrvv绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即222C022216(8)lrkrmmrlrvv(12)则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3)式是成立的.由(12)式得碰前滑块A的速度0v应满足的条件220(8)4krlrlmrv(13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小0v应满足(13)式.评分标准：本题20分.第1问16分，(1)式1分，(2)式2分，(3)式2分，(4)式2分，(5)式2分，(6)式1分，(7)式1分，(8)式1分，(9)式2分，(10)式1分，(11)式1分；第2问4分，(12)式2分，(13)式2分.三、参考解答：当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量、和L的函数，按题意可表示为kEkL(1)式中，k为待定常数（单位为1）.令长度、质量和时间的单位分别为[]L、[]M和[]T（它们可视为相互独立的基本单位），则、、L和kE的单位分别为71122[][][],[][],[][],[][][][]kMLTLLEMLT(2)在一般情形下，若[]q表示物理量q的单位，则物理量q可写为()[]qqq(3)式中，()q表示物理量q在取单位[]q时的数值.这样，(1)式可写为()[]()()()[][][]kkEEkLL(4)在由(2)表示的同一单位制下，上式即()()()()kEkL(5)[][][