第三章不等式

13.3.1二元一次不等式（组）与平面区域一．知识要点1.直线0CByAx的画法：画出直线上两点，连接两点。注：两点一般为与x,y两个轴的交点。2.二元一次不等式0＞CByAx表示直线0CByAx某一侧的区域。注：判断具体是哪一侧的方法为：3.0＞CByAx与0CByAx的区别为：0＞CByAx不包含直线0CByAx本身，直线画成0CByAx包含直线0CByAx本身，直线画成4.画不等式组的范围方法为：画出每个不等式的区域，取公共区域。例1.画表示的平面区域。＜44yx变式1：画表示的平面区域。44yx练①画的平面区域。05-yx②画的平面区域。0yx③画的平面区域。3x例2.在右侧画出不等式组3005xyxyx表示的区域Ω。①求出区域Ω的面积。②若点M(1，t)在区域内，求t的取值集合。③若点Q(t，1)在区域内，求整数t的取值集合。④区域Ω内有多少个整点。拓展：如何画出不等式05yxyx的区域。随堂练习：课本86页课后练习。23.3.1限时练：二元一次不等式（组）与平面区域1．不等式2350xy表示的平面区域是（）2．不等式260xy表示的平面区域在直线260xy的（）A．右下方B．右上方C．左上方D．左下方3．在不等式210xy表示的平面区域内的点是（）A．（1，－1）B．（0，1）C．（1，0）D．（－2，0）4．不在3x+2y＜6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）5．下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是()A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3)D．(2，－3)6．点P（﹣1，2）在不等式2x+3y﹣b＞0表示的区域内，则实数b的范围是．7．点（a，1）在直线240xy的右下方，则a的取值范围是.8.原点和（1,1）在直线x+y+a=0的两侧，则a的取值范围是.9．在平面直角坐标系中，不等式组0400xyxyy表示的平面区域的面积是（）A.2B.4C.8D.1610．不等式组在坐标平面内表示的图形的面积等于（）A．B．C．D．11．由不等式组0,0,20xyyx确定的平面区域记为1，不等式组12xyxy确定的平面区域记为2，则1与2公共部分的面积为，公共区域内有个整点。12.如何画出不等式05yxyx的区域33.3.1限时练答案：二元一次不等式（组）与平面区域1．C将原点0,0代入不等式不成立，因此不等式表示的平面区域不包括原点，因此C正确2．A（0,0）满足不等式260xy，但（0,0）在直线260xy的右下方，故选A．3．B答案B满足不等式210xy，所以B在不等式表示的平面区域内。4．D5．C点(1,2)使x＋y－10，点(－1,3)使x＋y－10，∴此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．6．4b解析：由题意将点的坐标代入不等式成立2604bb7．(2,)解析直线240xy的右下方表示的区域为240xy，故240a，即2a.8.-2＜a＜0,两点带入直线方程x+y+a=0左边的值异号，则a(2+a)＜0，解得-2＜a＜0,9．B由04xyxy得2xy，即A（2，2），则三角形的面积12442S10．B解：作出不等式组对应的平面区域，则对应的平面区域为矩形OABC，则B（3，0），由，解得，即C（，），∴矩形OABC的面积S=2S△0BC=2×=，11.作出两个不等式组对应的平面区域，根据图象即可得到结论．两个不等式组对应的图象：1为2OAB，为两平行之间的区域部分，则1与2公共部分为四边形OACD，其中A（-2，0），B（0，2），D（0，1），12013213222xyxCxyy，，（，），＝11111722212222444OABBCDOABBCDOACDSSSSS四边形＝，＝，，11.提示：05yxyx等价于005yxyxyx等价于005005＞或＜yxyxyxyx43.3.1二元一次不等式（组）与平面区域习题课题型一：参数问题例1：点（a，1）在直线240xy的右下方，则a的取值范围是.变式：点A（1，-2）和点A关于原点的对称点都在x+3y﹣b＞0的区域内，求b的范围。例2．点（2，4）和（1,1）在直线x+y+a=0的两侧，则a的取值范围是.变式1：点（2，4）和（1,1）在直线x+y+a=0的同一侧，则a的取值范围是.题型二：准确画出不等式组的平面区域并求面积例3：画出以下不等式组表示的平面区域求出2.3小题的区域面积1.12xyxy0,0,20xyyx0400xyxyy题型三：整点问题例4：写出区域0400xyxyy内的整点。题型四：从实际问题中抽象出不等式课本85页例3，例4及课本86页练习4本节习题课做导学教程。（老师根据班内实际情况，适当删减）5§3.3.2简单的线性规划问题（第1课时）1.直线)0yCBAxbkxy（的画法：画出直线上两点，连接两点画直线。注：特殊直线垂直于ax；垂直于by；2.直线bkxy图像四种情况3.bkxy中k对倾斜程度的影响检测：比较右图中四条直线中4321k,k,k,k的大小：1.对照具体题目认识约束条件；线性约束条件；可行解；可行域；最优解，目标函数；线性目标函数；线性规划问题；等概念。2.解决线性规划问题的具体步骤。例1：若变量x，y满足约束条件求以下目标函数的最值①z＝2x＋y②z＝x—2y归纳总结：解线性规划问题的步骤①画：画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；②移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；④答：给出正确答案．变式：由例1中的约束条件，求以下目标函数的最值①z＝y-2x②z＝x+2y③yx32z④yx4-3z旧知回顾越小，直线越陡；时，＜当越大，直线越陡；时，＞当kkkk00本节要点本节例题11yyyxx63.3.2综合能力训练简单的线性规划问题（第1课时）1．目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是A．该直线的截距B．该直线的纵截距C．该直线的纵截距的相反数D．该直线的横截距2．目标函数z＝x－y在2x－y＋1≥0x－2y－1≤0x＋y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为A．(0，1)B．(－1，－1)C．(1，0)D.12，123．设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为A．2B．3C．4D．54．若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝A．5B．6C．7D．85．已知x，y满足约束条件2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．6．设z＝2x＋y，式中变量x，y满足条件x－4y≤－33x＋5y≤25x≥1，求z的最大值和最小值．73.3.2综合能力训练简单的线性规划问题答案（第1课时）1答案C解析由z＝3x－y得y＝3x－z，在该方程中－z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数．2答案C解析可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝12，y＝12时，z＝0.排除选项A、B、D，故选C.3答案B解析作出可行域，如图中阴影部分所示．联立x＋y－2＝0，y＝1，解得x＝1，y＝1，可得点A(1，1)．当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝1×1＋2×1＝3.4答案B解析画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值，故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.5答案18解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由z＝3x＋4y得y＝－34x＋z4，当直线经过点C时，z取得最大值．由x－2y＋4＝0，3x－y－3＝0，得x＝2，y＝3，故C点坐标为(2，3)，这时z＝3×2＋4×3＝18.6答案(1)最大值为12，最小值为3解析作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．解方程组x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0得A点的坐标为(5，2)，解方程组x＝1，x－4y＋3＝0得B点的坐标为(1，1)，所以zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.8§3.3.2简单的线性规划问题（第2课时）1.解线性规划问题的步骤①②③④2.线性目标函数z＝ax＋by最大值最小值点的判断。将z＝ax＋by化成直线后z1ybxba，当01＞b时，截距越大z越；当01＜b时，截距越大z越。一.线性规划在实际问题中的应用例1.某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，问生产甲乙各多少件时利润最大？变式.要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123现在需要A,B,C三种规格的成品分别15,18,27块，两种钢板各截多少张可使得所用钢板总数最少？题型二线性规划中的参数问题例2．设,xy满足约束条件0,230,,,230.xxyaymxxy1,2b，且a∥b，则m的最小值为（）A、1B、2C、12D、13变式1．已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）A、6B、5C、4D、3旧知回顾新知探究9§3.3.2综合训练简单的线性规划问题（第2课时）1．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：如何安排这两种产品的搭载件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？2．已知O是坐标原点，点2,1A，若点,Mxy为平面区域212xyxy上的一个动点，则OAOM的取值范围是()A.1,0B.1,2C.0,1D.0,23．设2zxy，实数,xy满足2,1,2.xxyxyk若z的最大值是0，则实数k=_______，z的最小值是_______．4．已知0m，实数,xy满足,,0,0myxyx若2zxy的最大值为2，则实数m______．5．设x,y满足约束条件360200,0xyxyxy,（1）画出不等式表示的平面区域；（2）若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为4，求a、b满足的关系式.每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）10