搜索
第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4本节知识目录当堂测、查疑缺探要点、究所然填要点、记疑点明目标、知重点空间向量的正交分解及其坐标表示探究点二用基底表示向量探究点一空间向量的基底探究点三空间向量的坐标表示主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.41.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．明目标、知重点主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4填要点、记疑点1．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底三个有公共起点O的的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．不共面xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c两两垂直主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4填要点、记疑点(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝＋ze3把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作．原点e1，e2，e3平移xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z)主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然[情境导学]在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．这三个向量能作为该空间的一组基底吗？若每层楼高3米，如何把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点一：空间向量的基底思考1平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？答空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．思考2基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？答基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点一：空间向量的基底思考3类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件？答此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点一：空间向量的基底思考4在具体问题中如何选择基底？答一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求．思考5空间的基底是唯一的吗？答由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点一：空间向量的基底例1若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．反思与感悟空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点一：空间向量的基底跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．②③主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点二：用基底表示向量思考1和平面向量基本定理类似，请你思考怎样用空间的基底来表示任何一个空间向量？答如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点二：用基底表示向量思考2用基底表示向量应注意哪些问题？答(1)明确目标．向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然例2如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.试用向量a，b，c表示向量GH→.解∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，∴OD→＝12(OB→＋OC→)，OH→＝23OD→，∴OH→＝23OD→＝23×12(OB→＋OC→)＝13(b＋c)．又∵OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋23AD→，AD→＝OD→－OA→，∴OG→＝OA→＋23×12(OB→＋OC→)－23OA→＝13(OA→＋OB→＋OC→)＝13(a＋b＋c)．∵GH→＝OH→－OG→，∴GH→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点二：用基底表示向量反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点二：用基底表示向量跟踪训练2如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF→，BE→，AE→，EF→.解连接BO，则：BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.∴BE→＝BC→＋CE→＝－a＋12CP→＝－a＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c.AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF→＝12CB→＝12OA→＝12a.主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点三：空间向量的坐标表示思考1怎样把空间向量用坐标表示？答设e1，e2，e3是有公共起点O的单位正交基底，以O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则对空间任一向量p，可写成p＝xe1＋ye2＋ze3，则x，y，z称为向量p在单位正交基底e1、e2、e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点三：空间向量的坐标表示思考2空间向量的坐标表示和利用空间向量基本定理表示向量是什么关系？答空间向量的坐标表示是利用空间向量基本定理表示向量的一种特殊情况．在选取基底时，选三个两两垂直的单位向量作为基向量e1，e2，e3，使任一向量p＝xe1＋ye2＋ze3，即：p＝(x，y，z)．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然探究点三：空间向量的坐标表示思考3你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？答xOy平面上的点的坐标为(x，y，0)，xOz平面上的点的坐标为(x，0，z)，yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)．另外还要注意向量OP→的坐标与点P的坐标相同．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，求向量MN→、DC→的坐标．解如图所示，∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，∵MN→＝MA→＋AP→＋PN→＝MA→＋AP→＋12PC→＝MA→＋AP→＋12(PA→＋AD→＋DC→)∴设DA→＝e1，AB→＝e2，AP→＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.＝－12e2＋e3＋12(－e3－e1＋e2)＝－12e1＋12e3，∴MN→＝－12，0，12，DC→＝(0,1,0)．反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4探要点、究所然跟踪训练3已知{a，b，c}一组基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．解设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则：p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，即：p＝a＋2b＋3c，∴(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝a＋2b＋3c，∴x＋y＝1，x－y＝2，z＝3，解得x＝32，y＝－12，z＝3.∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是(32，－12，3)．主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4123请选择4当堂测、查疑缺1．O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则()A.OA→、OB→、OC→共线B．OA→、OB→共线C.OB→、OC→共线D．O、A、B、C四点共面主目录明目标、知重点填要点、记疑点探要点、究所然当堂测、查疑缺3.1.4请选择当堂测、查疑缺12341．O、A、B、C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则()A.OA→、OB→、OC→共线B．OA→、OB→共线C.OB→、OC→共线D．O、A、B、C四点共面D解析由