第三章刚体和流体的运动.

返回退出第三章刚体和流体的运动1、了解刚体模型。2、了解刚体的转动惯量。3、掌握刚体定轴转动定律及其应用。4、了解刚体定轴转动的功能关系、角动量定理及角动量守恒定律。本章教学目的及要求返回退出既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型。一、刚体刚体：§3-1刚体模型及其运动刚体是一个特殊的质点系，在外力作用下，系统内任意两点间的距离始终保持不变。返回退出二、平动和转动当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动叫平动。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。平动时，刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动，如质心。1、平动返回退出如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加。如：门、窗的转动等。如：车轮的滚动。2、转动返回退出定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做不同半径的圆周运动。在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可以用来描述整个刚体的转动。做定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量，包括角位移、角速度和角加速度。但不同位置的质点具有不同的线量，包括位移、速度和加速度。返回退出线量与角量的关系：角位移角速度角加速度tddtdd角量：匀角加速转动：匀加速直线运动：返回退出做直线运动的质点：1个自由度做平面运动的质点：2个自由度做空间运动的质点：3个自由度质点：(x,y,z)i=3三、自由度自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。C(x,y,z)返回退出3平动自由度+2个转动自由度刚性细棒：自由运动刚体：自由刚体有6个自由度：随质心的平动+绕过质心轴的转动确定质心位置确定过质心轴位置确定定轴转动角位置物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。平动刚体：定轴转动刚体：3个平动自由度(x,y,z)2个转动自由度(，)1个转动自由度()3个平动自由度1个转动自由度返回退出1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩Mz，而平行于转轴的外力分量产生的力矩Mxy则被轴承上支承力的力矩所抵消。0MrF对O点的力矩：F一、力矩说明§3-2力矩转动惯量定轴转动定律012MrFrF对转动无贡献对转动有贡献返回退出是转轴到力作用线的垂直距离，称为力臂。sinrd22sinzMrFFd2、3、力对转轴的力矩方向可用正负号表示：力矩方向与刚体转动右手螺旋方向一致时为正，相反时为负。刚体所受的关于定轴的合力矩：返回退出二、角速度矢量角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。因此，计算中可用正负表示角速度的方向。线速度和角速度之间的矢量关系：返回退出三、定轴转动定律应用牛顿第二定律，可得对刚体中任一质量元im受外力iF和内力iFiiiiFFma采用自然坐标系，上式法向和切向分量式分别为tsinsiniiiiiiFFma2sinsiniiiiiiiiFrFrmriimrncoscosiiiiiiFFma2iimr返回退出对刚体内各个质点的相应式子，相加得2sinsin()iiiiiiiiiiiFrFrmrsin0iiiiFr对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则2sin()iiiiiiiFrmr称为刚体对转轴的转动惯量。总外力矩Mz返回退出刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。tJJMzdd刚体定轴转动定律：平动：ddvFmamt转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。比较转动：mv线动量平动定律J角动量转动定律ddzMJJt返回退出四、转动惯量定义：刚体为质量连续体时：单位(SI)：转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置。（r为质元dm到转轴的距离）返回退出例题3-1求质量为m、长为l的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量:(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直；(3)转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直。l/2l/2OxdxA20dJrm(1)解：在棒上里转轴x处，取一长度元dx，则长度元的质量为返回退出lxdxAlOxdxABh(2)/22/2lhBlhmJxdxl(3)2212mlmh213ml平行轴定理:（2）刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量JC加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离h的平方。说明（1）转动惯量因转轴位置不同而变，必须指明是关于某轴的转动惯量。返回退出lorRdrmdmrJ2Rlrdrr022lR421221mR例题3-2、试求质量为m、半径为R的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.解：取质量元为圆环Rdrrl032返回退出例题3-3求质量m半径R的(1)均质圆环，(2)均质圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。解：(1)圆环：dmr返回退出Ordm(2)圆盘：可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。dr返回退出例题3-4物体：m1、m2(m1)，定滑轮：m、r，受摩擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的加速度和绳的张力。解：由于考虑滑轮的质量和所受的摩擦阻力矩，问题中包括平动和转动。轮不打滑：联立方程，可解得FT1，FT2，a，。此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度grT1112T22T2T1rFmgmamgFmaFrFrMJ返回退出例题3-5一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？rRdrde把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量dm=reddr，e是盘的厚度，质元所受到的阻力矩为rdmg。解：圆盘所受阻力矩为rdddMrmggrrer返回退出mgRμM32r3200232ReρgμrrθeρgμRπddπrθreρrgμmgμrMdddrm=eR2由定轴转动定律：22231ddmgRJmRt0002132ωtωRtgμdd043gRt返回退出一、力矩的功1.平行于定轴的外力对质元不做功。2.由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做功之和为零。说明§3-3定轴转动中的功能关系返回退出合外力对刚体做的元功：设作用在质元mi上的外力位于转动平面内。刚体受到的总外力矩刚体从转到，所有外力做的总功为：0力对刚体所做的功用力矩与角位移乘积的积分表示，叫做力矩的功。返回退出二、刚体的转动动能刚体因转动而具有的动能。刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点动能之和。刚体对转轴的转动惯量J刚体的转动动能：返回退出总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。三、定轴转动的动能定理由定轴转动定律，ddMJJtddAM则物体在dt时间内转过角位移d时，外力矩所做元功为：则总外力矩对刚体所做功为dJdtddJt刚体定轴转动的动能定理：返回退出四、刚体的重力势能以地面为势能零点，对于不太大的质量为m的刚体，刚体和地球组成的系统的重力势能是组成刚体的各个质点的重力势能之和：zOi刚体质心的高度：刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。返回退出例题3-6一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在O点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：(1)水平位置的角速度和角加速度；(2)垂直位置时的角速度和角加速度。解：(1)水平位置方向：垂直于转动面向里COBA返回退出COBA(2)垂直位置返回退出一、刚体的角动量iiiiLRmv因iiRv，所以的大小为iLiiiivRmL质元对O点的角动量为im刚体关于O的角动量为§3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律返回退出对于定轴转动，对沿定轴的分量为zLLcoscosiiziiLmRvL称刚体绕定轴转动的角动量。刚体转动惯量：2iirmJ刚体绕定轴的角动量：2iimriiimrv返回退出称为角动量定理的微分形式。二、定轴转动刚体的角动量定理由定轴转动定律，若J不变，00)(dωJωJtMttzttztM0d为时间内对给定轴的力矩的冲量和或冲量矩之和。0ttt称为角动量定理的积分形式。返回退出ddddzziiiLMJtt且系统满足角动量定理:角动量定理比转动定律的适用范围更广，适用于刚体、非刚体和物体系。对几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为，，11J22J系统对该轴的角动量为ziiiLJ返回退出三、定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动角动量定理：定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保持不变。当时，有即(常量)适用于刚体、非刚体和物体系。返回退出1.刚体(J不变)的角动量守恒若M=0，则J=常量，而刚体的J不变，故的大小，方向保持不变。如：直立旋转陀螺不倒。o返回退出2.非刚体(J可变)的角动量守恒当J增大，就减小，当J减小，就增大。如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动等。返回退出3.物体系的角动量守恒若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。返回退出例题3-8摩擦离合器飞轮1：J1、1摩擦轮2：J2、静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒解：在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热能。损失的机械能为：2121返回退出例题3-9一质量为M、半径为R的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m的物体，问物体由静止落下h高度时,物体的速率为多少？RMh解法一:用牛顿第二运动定律及转动定律求解。对物体m用牛顿第二运动定律得mgTma对匀质圆盘形滑轮用转动定律有TRJ返回退出aR212JMR圆盘的转动惯量为mMmghahv222.2gh小于物体自由下落的速率物体下降的加速度的大小就是滑轮边缘上切向加速度:联立以上四式可求得mMmga22物体m落下h高度时的速率为返回退出解法二利用动能定理求解。对于物体m利用质点的动能定理2201122mghThmvmv对于滑轮利用刚体定轴转动的动能定理2201122TRJJ由于滑轮和绳子间无相对滑动，hR,00v,00,Rv.212MRJ又因为mMmghv22得到RMh返回退出解法三利用机械能守恒定律求解.把滑轮、物体和地球看成一个系统，则在物体下滑、滑轮转动的过程中，绳子的拉力T对物体做负功，对滑轮做正功，即内力做功的代数和为零，所以系统的机械能守恒。)(Th)(Th2221110222vMRmvmghR解之可得物体m落下h高度时的速率mMmghv22