第三章变量之间的关系

1第三章变量之间的关系3.1用表格表示的变量间关系一、常量与变量在某个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。例1：在公式s=50t中，常量是，变量是。二、自变量、因变量、表格法1定义：.如果一个量随着另一个量的变化而变化，那么把这个量叫做因变量，另一个量叫做自变量。2.（1）自变量是在一定范围内主动发生变化的变量。（2）因变量是随着自变量的变化而变化。3.表格法：利用表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。一般地，表格第一行表示自变量，第二行表示因变量。4.优缺点：表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出自变量和因变量的变化规律。例2：你以每小时8千米的速度匀速行走时，你所走的路程s（千米）随着时间t（小时）的增大而增大，常量是，变量是，自变量是，因变量是。练习1：圆柱的高h为10cm，当圆柱的地面半径r由小变大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中，自变量是，因变量是。三、题型解析题型一：路程、速度、时间相关的问题例3：一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：时间（秒）012345678910速度（米/秒）00.31.32.84.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加一秒时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟内，v的增加最大？（4）若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几2秒这辆小汽车速度将达到这个上限？练习2：小明和他爸爸做了一个试验：小明从一幢245m高的楼顶随手扔下一个苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间有下列关系：下落时间t/s123456下落路程s/m5204580125180（1）随着时间的增加，每秒下落的路程趋势如何？（2）随着时间的增加，苹果下落的速度趋势是什么？（3）请推测，7秒后苹果是否会落地？练习3：声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下：气温x（℃）05101520音速y（米/秒）331334337340343（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）随着气温的升高，音速的变化趋势是？（3）在气温为15℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点多少米？3练习4：从高处让一颗石子由静止开始落下，它落下的高度与时间有下列关系：时间t/s12345……下落的高度h/m5204580125推测一下用t表示h的公式，利用你的公式计算从静止开始，经过2.5秒，石子落下多少米？题型二：弹簧问题例4：在一次实验中，小强把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物品，下面测得的是弹簧的长度y与所挂的物体的质量x的一组对应值：所挂的物体的质量x012345弹簧的长度y202224262830（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当所挂重物为4kg时，弹簧多长？不挂重物呢？（3）若所挂重物为6kg时，（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗？练习5：一名同学用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体时，弹簧的长度就会发生变化，但所挂物体质量不能超过1000g，实验数据如下：物体质量/g100200300400弹簧长度/cm11121314（1）你能指出在这个实验中什么是自变量，什么是因变量吗？（2）你能预测所挂物体的质量为800g时，弹簧的长度是多少吗？弹簧的长度为15cm时，所挂物品的质量是多少？（3）不挂物体时，弹簧的长度是多少？在弹性范围内弹簧的最大长度是多少？4题型三：分段计费问题例5：上网费包括网络使用费（每月38元）和上网通信费（每小时2元）。某电信局对拨号上网的用户分时段优惠，具体政策如下表（包括最大值，不包括最小值）：每月上网的时间优惠标准0~30小时无优惠30~50小时通信费优惠30%50~100小时通信费优惠40%100小时以上通信费优惠60%例如：某户某月上网总时间为42小时，则他应该缴纳的上网费为：38+2×30+（42-30）×（1-30%）×2=114.8元。你能根据上面提供的例子完成下表吗？每月上网总时间应缴上网费20小时40小时60小时120小时练习6：某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下。某用户5月份交水费45元，则所用水为吨。月用水量不超过12吨的部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元/吨）2.002.503.0053.2用关系式表示的变量间关系一、关系式法1.两个变量之间的关系有时可以用，一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，这种表示变量之间关系的方法叫关系式法。2.优缺点：关系式法简单明了，能准确反应整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来。3.确定关系式的步骤：先找出题目中关于自变量与因变量的相等关系，再用含自变量的代数式来表示因变量。4.知自变量求因变量，实质是代数式求值；知因变量求自变量，实质是解方程。二、题型解析题型一：关于图形的问题利用周长、面积或体积公式来列关系式例1：一个梯形，梯形的上底是x，下底的长是10，高是6。（1）梯形的面积y与上底长x之间的关系式是什么？（2）用表格表示上底x从1变到9时（每次增加1），面积y的值。（3）当x每增加1，y如何变化？（4）当x=0和x=10时，y等于多少？此时y表示什么？练习1：圆柱的高是5cm，当圆柱的底面半径由小变大时，圆柱的体积也随之发生变化。（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）已知圆柱底面半径为r（cm），体积为V（cm3），则V与r之间有什么关系？（3）当底面半径为2cm时，圆柱的体积是多少？（4）当圆柱的体积为500πcm3时，底面半径是多少？（5）圆柱体的体积随底面半径的增大如何变化？6ABCD练习2：若长方形的周长为24厘米，其中一边为x（x＞0），面积为y平方厘米，则这样的长方形中y与x的关系式为。练习3：如图3.2-1，在直角三角形ABC中，BC=6，AC=8，点D在线段AC上从点C向点A运动。若设CD=x，△ABD的面积为y.（1）请写出y与x的关系式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？此时点D在什么位置？（3）当△ABD的面积是△ABC的面积的13,点D在什么位置？图3.2-1题型二：不同的计费方案之间的比较例2：某移动通信公司开设了两种通信业务，“全球通”：使用时首先缴50元月租费，然后每通话1分钟，付话费0.4元；“动感地带”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）。若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为y1和y2元。（1）写出y1、y2与x之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，两种移动通讯费相同？（3）某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通信合算些？7练习4：某文具店出售书包和文具盒，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元。该商店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的9折付款。某班学生需要购买8个书包，文具盒若干（不少于8个）。如果设文具盒数为x（个），付款数为y（元）。（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；（2）购买文具盒多少个时，两种方案付款相同？购买文具盒大于8个时，两种方案中哪一种更省钱？题型三：利用表格列关系式例3：某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水不超过6立方米，水费按每立方米a元收费；超过6立方米，不超过的部分仍按a元收费，超过的部分每立方米按b元收费。该市某用户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量/立方米水费/元357.54927（1）求a，b的值，并写出不超过6立方米和超过6立方米时，水费与用水量之间的关系式；（2）若该用户5月份的用水量为8立方米，求该用户5月份的水费。8速度速度速度速度/V速度时间/t0adcb路程/s0abc3.3用图像表示的变量间关系一、图像法1.用图像来表示两个变量之间的关系的方法叫做图像法。2.通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置。3.优缺点：图像法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间关系的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图像法往往难以得到准确的对应值。二、路程、速度与时间关系的图像规律总结加速减速匀速停止图3.3-1图3.3-21.如图3.3-1，（1）a代表物体从开始运动；（2）b代表物体运动；（3）c代表物体运动；（4）a代表的速度代表的速度（填＞、＜、＝）2.如图3.3-2，（1）a代表物体运动；（2）b代表物体；（3）c代表物体运动直至回到原地。3.在s-t图像中，线段的倾斜程度表示速度的快慢，越陡速度越快，越平缓速度越慢。时间时间时间时间时间/t9048121620242832204060v0vvv000ss000ABCD三、题型解析题型一：关于路程、速度与时间的图像例1：如图3.3-3，根据汽车行驶情况的图象回答下列问题：（1）图中反映了哪两个变量之间的关系？（2）A、B、C三点分别代表了什么？（3）汽车在哪些时间段内保持匀速行驶？时速分别是多少？（4）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？（5）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。速度/（km/h）时间/min图3.3-3练习1：玲玲骑车上学，加速行驶一段时间后，匀速前进，快到十字路口时看到前面是红灯，于是减速停下来，绿灯亮后，她又加速行驶一段时间，快到学校时，减速行驶进入校园停了下来，下列选项中可以近似地刻画玲玲骑车的速度随着时间变化的情况是（）ABCD练习2：小张骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回800米，再前进1200米，则他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（）tttttttsts010ABCDABCD0速度时间000速度时间速度时间速度时间ABCD练习3：小强骑自行车上学，开始以一定速度匀速行驶，但行至途中自行车出现故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学，他加快骑车速度，并匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的图象，那么符合小强行驶情况的图象大致是（）练习4：万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为x（h），轮船距万州的距离为y（km），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图像是（）练习5：一人骑自行车从家里出发，先加速行驶一段路程后，又匀速骑了一段路程，途中遇一熟人，减速后停下来，讲了一阵话，后又加速行驶一段路程后匀速行驶，接着又减速行驶到目的地。下列图象中能正确表示这段情形的是（）练习6：一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站。乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，请用图象大致地表示汽车在这段时间内的速度变化情况。ts0ts0ts0ts0xy0xy0xy0xy011题型二：关于容器注水，水面高度随时间变化的图象例2：均匀的向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图3.3-4所示，则这个容器的形状为（）练习7：如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（）A．B．C．D.题型三：生活中问题的图象应用表示例3：丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后又倒