芜湖一中研究性学习课题论文递推数列问题的研究

-1-芜湖一中研究性学习课题论文——递推数列问题的研究研究目的：探究如何解决递推数列问题，主要研究通过递推公式求通项公式的各种类型问题研究计划：○1确定探究对象及探究方向○2查找资料，以及相关文献○3整理资料，并确定主要论述的问题○4完成论文研究成果形式：论文制作人：高二（14）班江翔宇-2-引子这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏象棋发明人宰相达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”“爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放22粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。原来，所需麦粒总数236312222这个数究竟有多大？折合成质量究竟是多少呢？首先需要的就是对上式求和，而对上式求和首先要做的，就是通过递推公式求出通项公式，也就是下文我们要探讨的问题。数列是中学数学中一个非常重要的内容，也是高考和数学竞赛的重要组成部分。数列大体上讨论两种问题：一是求数列的通项公式；二是数列求和问题。本文就以第一类问题为侧重点，介绍处理数列递推问题的常见方法、常见思想。首先，我们先给出数列的定义：按照一定规律排列的一列数称为数列例如：1.按照从小到大顺序排列，从1开始的全体自然数1，2，3，4，5，……（1）称为自然数列。2.按照从小到大的顺序排列，从2开始的全体正偶数2，4，6，8，10，……（2）称为正偶数数列。3.按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体正奇数1，3，5，7，9，……（3）称为正奇数数列。4.按照从小到大的顺序排列，从2开始的全体正素数2，3，5，7，11，……（4）称为素数数列。5.按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体平方数1，4，9，16，25，……（5）称为平方数数列。6.按照从小到大的顺序排列，从1开始的全体自然数的倒数1，12，13，14，15，……（6）-3-称为倒数数列。数列中的数，称为数列中的项，第n个数称为第n项。第一个数也称为首项。对于一个数列，如果我们想研究它的性质，我们希望知道它的项是由哪些数组成？这些书是怎样排列的？对于上面的数列，有些我们可以很明白的知道这些答案。但如果仔细推敲，对于（4）还存在疑问：给定一个自然数，如何判定它是否其中的项呢？如果给定其中一项，那我们又如何确定它是第几项呢？这些关于素数的问题是非常深奥的，自此我就不再累述了。定义数列还有两种常用方式。一是给出它的通项。上面的数列（1）（2）（3）（5）（6）的通项分别为12nann212nann2112nann212nann112nann一个数列，可以记为na，而表示na的公式称为通项公式。除了给出通项外，一个数列也可以通过开始的几项及递推公式来确定，例如定义na为：12121nnnaaaaa这个数列称为斐波那契数列。可以求出斐波那契数列的通项公式为1151512225nnnan我们接下来就来介绍如何通过递推公式来求通项公式。-4-一、等比差数列递推关系式（注：以下*nN）1.等差数列1nnaad1nnaad（1）12nnaad（2）由（1）（2）式得2nnaadd以此类推11naand2.等比数列1nnaqa1nnaqa（1）12nnaqa（2）由（1）（2）式得2nnaqqa以此类推111nnaqa3.等比差数列1nnaqad我们可以设递推公式为1nnaxqax可以解出1dxq，代入得111nnddaqaqq则1111nnddaqaqq，进而得出1111nnddaqaqq4.一次广义等比差数列11naqafn，其中fn为n的2次多项式类比上题可设11nnaxnyqaxny-5-解出xy使得1qxnqxyqyfn代入后，由等比差数列的方法求出11nnaqayxny其中，xy使得1qxnqxyqyfn5.多次广义等比差数列111knniiiaqafnr，其中ifn为n的ie次多项式我们亦可以类比上面两例，使用待定系数法，再根据实际情况求出所需的通项公式，进而进一步解题。接下来，我们再来看一类利用待定系数法求解通项公式的问题——特征根法。-6-二、常系数线性递推关系式（注：以下*nN）1.常系数线性2阶齐次递推关系式12nnnapaqa设存在实数12xx，使得112112nnnnaxaxaxa121122nnnaxxaxxa比较原递推关系11nnnapaqa可得1212xxpxxq12xx是方程20xpxq的两个根（我们称二次方程20xpxq为常系数线性2阶递推数列12nnnapaqa的特征方程，12xx是方程的特征根）（1）特征方程有两个不同的根12xx从而可得112112nnnnaxaxaxa211122nnnnaxaxaxa设11nnnpaxa，21nnnqaxa，则上面两式可写为21nnpxp，11nnqxq从而121nnpxp，111nnqxq即1121nnnaxaxp1211nnnaxaxq两式相减，得112112nnnxqxpaxx设11121212qpxxxx，则1122nnnaxx这里12为待定系数，可由初始值12aa来确定反之，对任意常数12，该通项公式满足递推关系。-7-（2）特征方程有两个相同的根，即12xx在这种情况下，上面的nnpq从121nnpxp，得11111nnnaxaxp12111211nnnxaxaxp……112112111nnnxaxaxp11111011nnnxaxaxp把上面各式相加有11011nnnaxanxp因为0q，故10x，记11021pax，则112nnanx反之亦真。综上所述，我们可以得到这样的结论：定理如果12xx是常系数2阶线性递推关系12nnnapaqa的特征方程20xpxq的两个根，则（1）当12xx时，1122nnnaxx；（2）当12xx时，112nnanx。这里1212都是由初始值确定的常数。2.常系数线性k阶齐次递推关系式1kniniiapa我们在介绍此种关系式之前，首先先看一下什么是幂和式一元幂和式na二元幂和式nnab三元幂和式nnnabc-8-广义一元幂和式npa广义二元幂和式nnpaqb广义三元幂和式nnnpaqbrc很显然常系数线性2阶齐次数列的通项公式1122nnnaxx满足广义的二元幂和式。那么，如果一个数列的通项公式满足幂和式，它的递推关系又是什么呢？1°nnSpa满足的递推关系式1nnSaS2°nnnSpaqb满足的递推关系式12nnnSabSabS3°nnnnSpaqbrc满足的递推关系式123nnnnSabcSabbccaSabcS4°nnnnnSpaqbrcsd满足的递推关系式1234nnnnnSabcdSabacadbcbdcdSabcabdacdbcdSabcdS5°nnSpnqa满足的递推关系式2122nnnSaSaS6°2nnSpnqnra满足的递推关系式2312333nnnnSaSaSaS7°32nnSpnqnrnsa满足的递推关系式2341234464nnnnnSaSaSaSaS8°1iknniiSfna，ifn是n的常系数ie次多项式-9-11221eneneneenSSSS其中12keeee，12e为以下e个数11e个1a，21e个2a，…，1ke个ka（*）的基本对称多项式，亦即m为（*）中任取m个数的乘积之和通过上面各式，我们可以发现常系数线性k阶齐次递推数列的通项公式很容易表示，我们可以得出：定理如果k阶常系数线性齐次递推数列的特征方程1212kkkkxcxcxc的全部根为1x（1k重），2x（2k重），…，mx（mk重），其中12mkkkk，且ikN，则1mknniiiafnx其中，ifn为1ik次多项式。-10-三、常系数线性分式1阶递推关系式11nnnpaqaras（注：以下*nN）在这种递推关系下，我们将使用不动点法解决问题（我们称fxx的根0x称为fx的不动点）。由于篇幅限制，就不再累述不动点的有关性质。有兴趣的朋友可以去找有关函数n次迭代方面的书来看。设00pxqfxrpsqrrxs，数列na满足1nnafa，且初始值11afa。（1）若方程fxx有两个不同的根12xx，则111212nnnnaxaxaxax，这里12pxrpxr。（2）若方程fxx有两个相同的根0x，则01011nnaxax，这里2rps。参考文献《中国华罗庚学校数学课本高一年级》第五章《数列递推、函数迭代和循环对称方程组》吴康