第三章多维随机变量.

第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第1页§3.1多维随机变量及其联合分布函数§3.2多维（离散型）随机变量的联合分布列§3.3多维（连续型）随机变量的概率密度函数§3.4边际分布与条件分布§3.5随机变量的独立性§3.6多维随机变量函数的分布第三章多维随机变量(Multidimensionalrandomvariable&itsdistributions)第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第2页第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第3页一、多维随机变量的概念定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n维（元）随机变量(随机向量).§3.1多维随机变量及其联合分布函数第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第4页()Y()X二维随机变量图示:ω.(X(ω),Y(ω))xyo第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第5页炮弹的弹着点的位二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X，Y考查某一地区学说明实例1实例2而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.有关,构成二维随机变量(H,W).童的身高H和体重W就前儿童的发育情况,机变量.置(X,Y)就是一个二维随则儿第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第6页推广:n维随机变量的概念112212,{},(),(),,(),,,,.(,)nnnEXXXXXXnXXXnn设是一个随机试验它的样本空间是设是定义在上的随机变量由维随机变量或维随机向量(n-dimensionalran它们构成的domve一c个维向量叫做tor).第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第7页二、多维随机变量的联合分布函数定义3.1.2F(x,y)=P(Xx,Yy)为(X,Y)的（联合）分布函数.(以下仅讨论两维随机变量)任对实数x和y,称注意：F(x,y)为(X,Y)落在点(x,y)的左下区域的概率.(int)joprobabilitydistributionfunction第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第8页XYxy(x,y)第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第9页分布函数的三维图像第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第10页(,),(,),,,(,)(,)(,)(,)(,)acbdacbdPaXcbYdFcdFadFcbFab对于任意有F(x,y)的用处：(,)ab(,)cd(,)cb(,)ad第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第11页(,)PaXcbYdxydbaOc(,)(,)(,)(,)(,)PaXcbYdFcdFadFcbFab第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第12页证明(,),(,),,,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)acbdacbdPaXcbYdPaXcYdPaXcYbPXcYdPXaYdPXcYbPXaYbFcdFadFcbFab对于任意有第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第13页如：21(,)~(,)(arctan)(arctan)22(,)(01,01)?XYFxyxyxyPXY(01,01)(1,1)(0,1)(1,0)(0:,0)1.16PXYFFSoluFtonsFi第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第14页联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调增.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(-,-)=0,F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当ac,bd时，有F(c,d)F(a,d)-F(c,b)+F(a,b)0.注意：上式左边=P(aXc,bYd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第15页推广:n维随机变量的分布函数12,,,,nnxxxn定义3.1.对于任意个实数3元函数121122(,,,)(,,,)nnnFxxxPXxXxXx12(,,,).nnXXX称为维随机变量的(联合)分布函数第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第16页二维离散随机变量一、二维离散型随变量的联合分布列定义3.2.1若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.§3.2多维（离散型）随机变量的联合分布列第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第17页二维离散型分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1y2…yj…x1x2…xi…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第18页联合分布列的基本性质(1)pij0,i,j=1,2,…(2)pij=1.(非负性)(规范性)(3)P{(X,Y)∈D}=,()ijijxyDp第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第19页(,)(,),ijijxxyyFxyPXxYyp说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为,,.ijxxyyij其中和式是对一切满足的求和第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第20页第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第21页确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(X,Y)的所有取值数对.(2)计算取每个数值对的概率.(3)列出表格.第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第22页解(,),):1,2,3,.XYijiji二维离散，取值是（且由乘法公式得(,)()(|)111,1,2,3,.33PXiYjPXiPYjXiijiii例3.2.1设随机变量X在1，2，3三个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1到X中等可能地取一整数值。试求（X,Y）的联合分布列及P（X=Y）.(,)XY于是的分布列为:第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第23页YX12311/30021/61/6031/91/91/9P（X=Y）=P（X=1，Y=1）+P（X=2，Y=2）+P（X=3，Y=3）=1/3+1/6+1/9=11/18.第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第24页例设随机变量Y~N(0,1),120,||10,||2,1,||11,||2YYXXYY解:(X1,X2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=22Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|2)=P(1≤|Y|2)=2[Φ(2)Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=0.6826求的联合分布列.第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第25页列表为：X101X2010.04550.271900.6826第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第26页1、多项分布二、常用的多维离散型分布若每次试验有r种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi,i=1,2,……,r记Xi为n次独立重复试验中Ai出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第27页例3.2.2一批产品100件,其中一等品，二等品，三等品各有50，30，20件。从中有放回任取3件,以X,Y分别记取到的第一等和第二等品件数,求(X,Y)的分布列.(X,Y)服从三项分布3(,)3!,!!(3)!0,,3.(0.5)(0.3)(0.2)ijijPXiYjijijijij解第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第28页YX012300.0080.0360.0540.02710.0600.1800.135020.1500.2250030.125000第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第29页2、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i类球有Ni只，N1+N2+……+Nr=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第30页例3.2.3一批产品7件,其中一等品，二等品，三等品各有3，2，2件。从中不放回任取4件,以X,Y分别记取到的第一等和第二等品件数,求(X,Y)的分布列.(X,Y)服从二维超几何分布解432247(,)03,02,24.ijijPXiYjCCCCijij第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第31页YX0120001/35106/356/3523/3512/353/3532/352/350P（X≤2,Y≤1）=21/35.第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第32页定义3.3.1设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得一、二维连续型随机变量的概率密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称f(x,y)为(联合)概率密度函数。§3.3多维（连续型）随机变量的概率密度函数第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第33页第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第34页多维随机变量及其分布用mvnpdf和mvncdf函数可以计算二维正态分布随机变量在指定位置处的概率和累积分布函数值。下面左图和右图分别为二维正态分布随机变量的概率密度图和累积分布图。-3-2-10123-20200.10.20.30.4x1x2ProbabilityDensity-3-2-10123-20200.20.40.60.81x1x2CumulativeProbability第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第35页联合密度函数的基本性质(1)f(x,y)0.(非负性)(2)(规范性)第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第36页注意：(4)((,))(,)dd;(,)(,).GbdacPXYGfxyxyPaXbcYdfxydxdy2(,),(,)(3)(,)0(,)FxyFxyfxyxyFxy可导点，，不可导点.(,)(,)PxXxxyYyyfxyxy第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第37页xy0Gz(,zfxy）xy0Gz(,zfxy）1a2a2b1b第三章多维随机变量中国石油大学（华东）19December2019第38页表示介于f(x,y