第三章多自由度系统振动619

第三章多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。3.1振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。[例一]试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力tP1，tP2和tP3的作用，质量块的质量分别为1m，2m和3m，弹簧刚度分别为1k，2k3k和4k，阻尼分别为1c，2c3c和4c。图3-13自由度系统)(1tP3m)(2tP1m2m)(3tP1k1c2c3c2k3k4k4c解：分别用三个独立坐标1x，2x和3x描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m，2m和3m的静平衡位置。质量块的速度分别为1x，2x和3x，加速度分别为1x，2x和3x。每个质量块的受力图如3-2（a、b、c）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2(a)图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111tPxxcxcxxkxkxm)()()()()(232321232321222tPxxcxxcxxkxxkxm)()()(3343233432333tPxcxxcxkxxkxm或)()()(1221212212111tPxkxkkxcxccxm)()()(23323212332321222tPxkxkkxkxcxccxcxm)()()(3343233432333tPxkkxkxccxcxm上述方程组可以用矩阵表示为：)()()(000032132143333222213214333322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkxxxccccccccccxxxmmm三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。若质量、刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵，则三个微分方程是独立的，相当于三个独立的)(1tP1x11xc11xk)(212xxc)(212xxkxm1)(2tP2x)(323xxc)(323xxkxm2)(212xxk)(3tP34xc34xkxm33x)(323xxc)(323xxk1m3m2m)(212xxc单自由度系统，其求解变为三个单自由度系统求解。质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。此例中没有惯性耦合，因为质量矩是对角的。但一般情况下质量矩阵并不是对角的，所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合、也有惯性耦合。下面我们通过一个例子来说明质量矩阵不是对角的情况。[例二]写出图3-3所示系统振动微分方程系统中均质刚性杆AB的质量为m，转动惯量为cJ，前后两端分别用刚度为1k和2k的两个弹簧由承于地面上，杆全为长l。图3-3若用杆两端的竖向位移1x、2x来描述刚杆的运动状态，则受力图如图3.4所示，图3.4显然、质心处的加速度为221xx，根据牛顿第二定律，在竖直方向有：221121)2(xkxkxxm杆的转动加速度为（顺时针为正）lxx21，对C点应用动力矩定理：1x2xAB'A,BC11xk22xk22)(112221lxklxklxxJC整理并写成矩阵形式有：0022222221212121xxlklkkkxxlJlJmmCC质量矩阵并不是对角的。当然，此例中若选质心的平动及绕质心的转动来描述运动，质量矩阵将是对角的。一般地，对n自由度系统，振动微分方程为：4321432121222211121143212122221112114321212222111211...............................................................FFFFxxxxkkkkkkkkkxxxxcccccccccxxxxmmmmmmmmmnnnnnnnnnnnnnnnnnn写成矩阵形式有：FxKxCxM(3.1)根据分析力学，具有定常约束的系统的动能T与势能U可写为下列二次型xMxTT21xKxUT21(3.2)对于稳定平衡的振动系统,系统的动能T总是大于零的(除非系统是静止的)，所以质量矩阵一般是正定的。同样，系统的势能U也总大于零，所以刚度矩阵也是正定的。此外，系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变，对式(3.2)转置，比较可知，刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵，因而有：KKTMMT(3.3)3.2无阻尼自由振动一、固有频率和振形本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。在无阻尼情况下，系统的自由振动微分方程可以表达为：0MxKx(3.4)在单自由度系统中,我们得到无阻尼自由振动解为正弦函数或余弦函数,不失一般性。对于多自由度系统振动解可设为：tieAx(3.5)列向量}{A和ω均为待定复常数。若系统是振动的，则解必为实数。将式(3.5)代入(3.4)，得到下列代数齐次方程组：02AMK(3.6)上面的方程组存在非零解A的充分必要条件是系数行列式为零，即：02MK(3.7)式(3.7)为系统的特征方程，具体写出为：222111112121122221212222222221122nnnnnnnnnnnnkmkmkmkmkmkmkmkmkm=0(3.8)上式左端的行列式展开后是关于2ω的n次代数多项式：22(1)2(2)21210nnnnnbbbb(3.9)称为特征多项式，由式(3.8)或（3.9）可解出n个2ω称为特征值或特征根，将其按升序排列为：22212n0ωωω…显然特征值仅取决于系统本身的刚度和质量参数。这n个特征值在大多数情况下互不相等且不为零，重根的零根说明系统有刚体运动。有零根和情况本书不再讨论，有兴趣的读者可参考相关的线性代数和振动理论书籍。在求得特征值后．把某一个2j代回式(3.6)，可求对应的列向量}{jA。由于式(3.6)的系数矩阵不满秩，在没有重根和零根情况下只有(n-1)个是独立的，故只能求出列向量}{jA中各元素ja1、ja2、ja3…nja的比例关系。我们去掉其中不独立的某一式(例如最后一式)，并将剩下的n-1个方程式中某一相同的项(如nA项)移到等式右边，可得代数方程组：222211111121221,11,11,11222221211222222,12,11,222221,11,111,21,221,11,1+++jjjjnjnnjnjnnjjjjjnjnnjnjnnjnnjnjnjnnjnnnkmakmakmakmakmakmakmakmakmakmakma……………21,1,1,jnnjnnnjkma(3.10)解上面的方程，可得到用nja表达的解1ja、ja2…jna,1，显然都与nja的值成比例。我们可将这些比例常数用121,,,...,jjnj表示，并补充1nj，可得列向量12,,...,Tjjjnj，则有：AjnjjA(3.11)列向量j是确定的常数，反映列向量jA中各数的比例关系，叫作特征向量。同比例放大或减小特征向量并不改变其比例关系，所以应用时常根据需要来放大或减小特征向量。不失一般性，我们可在式（3.11）中用待定复常数jr取代njA，式（3.11）可写为：Ajjjr(3.12)这样，当j成比例变化时，jr有相应的变化，对应不同的特征值，可得到不同的特征向量。对应于n个特征值2j可得n个特征向量12…n，且每一个特征向量都满足式（3.6）。对于一个振动系统，特征值就是系统的固有频率，特征值相对应的特征向量就是系统的振形。显然，对应于n个固有频率j可得n个振形12…n。我们将在后面论述。二、无阻尼自由振动的解显然，将j及jA代入式(3.5)，可得n组满足方程（3.4）的解，将这些解相加，可得多自由度系统自由振动的一般解为：njtijjjex1r(3.13)其中2n个待定常数jjjibar由系统运动的初始位移和初始速度确定。如果系统在某一特殊的初始条件下，使得待定常数中只有kr≠0，则式(3.13)所表示的系统运动方程只保留第k项:tikkkexr(3.14)参见前一章，多自由度系统振动一般解的方程可表达为：)sin(......)sin()sin(2211kknkknkkkkkkkktrxtrxtrx(3.15)这时整个系统按圆频率k、振幅比k作同步简谐运动。振幅分别为kkr，振幅之间都保持固定不变的比值错误!未找到引用源。。因此特征向量k完全确定了系统按固有频率k错误!未找到引用源。振动时的形态，所以特征向量k就是按相应固有频率振动时的振型向量，对应k错误!未找到引用源。的特征向量k称为它的第k阶主振型或主模态，相应的振动叫主振动。在振动过程中，一般还会产生其它阶主振动。对于一个n自由度系统，一般可以找到n个固有频率，以及相应的n个主振型。我们把各阶主振型组成的矩阵叫做振型矩阵：n...21(3.16)[例三]在图3-5所示的三自度系统中，设kkk341，kkk32，mmm231,mm2，求系统的固有频率、振型。图3-5解：分别用3个独立坐标1x、2x和3x描述三个质量块的水平运动，可写出系统的质量矩阵[]和刚度矩阵[]。mmm20000002M；kkkkkkk40204K(1)系统自由振动微分方程为：32120000002xxxmmm040204321xxxkkkkkkk(2)令tieAx